Com funciona aquest formulari
Això és un formulari resum col·laboratiu
Cada fórmula va acompanyada d’una breu explicació sobre què és, la seva utilitat i en quins casos es pot fer servir.
L’objectiu és que en el formulari hi hagi totes les fórmules necessàries per poder resoldre un examen.
Després a partir d’aquestes se’n genera un document d’Overleaf i el corresponent PDF.
Procesos
- Producte de Kronecker
- Diagonalització
- Degeneració T. Pert.
Primer Tema
Matemàtiques necessàries
Àlgebra Lineal - Diagonalització
Procés
Cas degenerat i no degenerat
Degeneració: (diem que hi ha degeneració) quan dos o més valors propis són iguals
Multiplicitat algebraica o grau de degeneració (o simplement ‘degeneració’): vegades que es repeteix un valor propi
Multiplicitat geomètrica: nombre de vectors propis diferents associats a un mateix valor propi
Exemples
Matriu multiplicada per una constant
Si és una matriu i una altra, aquestes tindran els mateixos vectors propis, i els valors propis d’una i de l’altra estaran relacionats per la constant .
És a dir si són els valors propis de , aleshores seran els valors propis de .
Àlgebra Lineal - Tipus de matrius i propietats
Tipus de matrius i teoremes espectrals
Matriu hermítica/simètrica
- Diagonalitzable. Més concretament unitàriament diagonalitzable
- Valors propis reals
- Vectors propis ortogonals, els qual sempre normalitzarem
Matriu unitària/ortogonal
- Unitàriament diagonalitzable
- Valors propis amb valor absolut 1 , en principi complexes
- Determinant unitari
- En el cas real , és a dir una matriu ortogonal és una rotació pura o una rotació amb una reflexió.
- Vectors propis ortogonals
Matriu normal (generalització de unitària i hermítica)
- Ortogonalment diagonalitzable
- Vectors propis ortogonals
- Valors propis en principi complexes i no necessàriament unitaris. (ns jo)
Relacionat
Matriu unitària a partir de hermítica
- Si és hermítica —> és unitaria.
- Qualsevol matriu unitària es pot expressar així
- Si és antisimètrica —> és ortogonal
Matriu involutiva
Conservació de propietats al canviar de base
- En un canvi de base general es conserven
- Determinant
- I per tant el determinant en matrius diagonalitzables és el producte dels valors propis.
- Traça
- Valors propis
- Si és diagonalitzable o no
- Si a més, és un canvi de base ortogonal o unitari, es conserven
- Si és hermítica o no
- Si és unitària o no
- Si és idempotent o no
- Producte escalar entre vectors
- Normes i angles entre vectors
De manera que si per exemple és hermítica, aleshores també ho serà.
Matriu idempotent i hermítica (operador projector)
Matriu idempotent
- Valors propis i
- o
Les matrius idempotents s’anomenen també “matrius de projecció”. Perquè poden prendre un vector i projectar-lo sobre un subespai vectorial.
Si a més és hermítica, aquesta projecció resulta ser ortogonal (obtenim el que ens interessa, la sombra del vector sobre un pla o una recta).
- Hermítica
- Unitàriament diagonalitzable
A aquestes matrius idempotents i hermítiques les podem anomenar “matrius de projecció ortogonal” o simplement “projectors”.
Cal notar que si tenim una diagonalització ortogonal, el producte tensorial d’un vector propi amb ell mateix resulta en un projector .
Per què?
Una matriu de projecció ortogonal pot prendre diverses formes, una de les més senzilles és el següent tipus
Aquestes matrius es poden expressar amb els següents productes tensorials
Sabem que els vectors propis en la base diagonalitzada s’expressen a si mateixos així. I sabem també que quan tenim una matriu idempotent i hermítica i fem un canvi de base ortogonal, la matriu resultant seguirà sent idempotent i hermítica.
Aleshores la lògica clara és que si les matrius són projectors en la base dels vectors propis , també ho seran en qualsevol altre base similar ortogonalment.
Això serà important ja que en MQ tots els operadors són hermítics, i per tant ortogonalment diagonalitzables, i com a conseqüència en qualsevol base els vectors propis multiplicats tensorialment donaran un projector.
Altres exemples de matrius idempotents
Un exemple de matriu idempotent que no és hermítica
Commutadors
Propietats útils de matrius i commutadors
Si és una matriu diagonal, molt possiblement
Si no hi ha degeneració (els valors propis d’ són tots diferents), caldrà que també sigui diagonal.
Si un valor propi té degeneració, la matriu commutarà segons la forma de (haurà de ser diagonal per blocs). I per tant és més possible que commutin.
Si tots els valors propis són iguals (el bloc agafa tota la matriu), commutarà per qualsevol matriu .
Si les dues matrius són diagonalitzables simultàniament
És a dir que podem trobar una base de vectors propis comuna (encara que amb valors propis diferents).
Si no presenta degeneració i , i comparteixen vectors propis
És a dir, al tenir tenim que les dues matrius són diagonalitzables simultàniament.
I resulta que si tots els valors propis de són diferents, obtenim els mateixos vectors propis per les dues matrius (i diferents valor propis en general).
Matrius com a exponents
Una matriu sempre compleix
Si aquesta compleix involutivitat , com les matrius de Pauli , la podem treure fora del sinus i el cosinus, quedant
Si compleix idempotència , com els projectors , la podrem baixar de l’exponent de la següent manera
D’aquesta manera per una matriu diagonalitzable podrem calcular-ne a partir de la descomposició espectral
Procediment pas a pas
Al tenir els mateixos vectors propis tenim doncs que és un canvi de base respecte . Concretament resulta ser el canvi de base que diagonalitza .
I és només que quan sigui hermítica, que la matriu de canvi de base serà unitària, i per tant tindrem un canvi de base unitari (o ortogonal).
Així doncs, en la notació de mecànica quàntica tenim que per una matriu diagonalitzable
i es diagonalitza amb . On els valors propis de són . I els de són . Que com ja hem vist en el cas de ser matriu hermítica, la matriu exponenciada és unitària i el canvi de base ortogonal .
Una propietat extra, que no sé a on posar
Matriu diagonal per blocs exponenciada
Si tenim una matriu diagonal per blocs
I la exponenciem, serà equivalent a exponenciar cada bloc de la diagonal
Per exemple
Ja que i .
Producte tensorial i producte de Kronecker
El producte de Kronecker és el germanet petit del producte tensorial. Tenen el mateix símbol i generen les mateixes components, però les estructuren diferent.
Producte de Kronecker per matrius
Si multipliquéssim tensorialment dues matrius, obtindríem un tensor de rang 4 (que ens és difícil d’imaginar i d’escriure, per exemple per dimensió 2 seria una matriu 2x2x2x2).
Aleshores el que fem és escriure aquestes components en una matriu més gran. (Enlloc d’un tensor de dimensió 2 i rang 4 tindrem un tensor de rang 2 i dimensió 4).
Això ho podem fer sempre i quan fem el mateix amb els vectors (el producte tensorial de dos vectors que donaria un tensor de rang 2, el considerem com un producte de Kronecker que dona un tensor de rang 1, és a dir un vector més llarg).
Recordem, el producte de Kronecker el que fa és agafar la matriu de la dreta i “entrar-la” a cada element de la matriu de l’esquerra.
De manera que si tenim el producte de Kronecker de dos matrius columna (dos kets) obtenim una matriu columna més llarga
Mentre que si tenim el producte de Kronecker entre un vector i un covector (matriu columna i matriu fila) obtenim una matriu com amb el producte tensorial
Integrals típiques
Oscil·lador harmònic
Recordem de que els primers polinomis de Hermite són
I de que
Per parell
Per senar
Amb
Alguns valors ràpids
Àtom d’hidrogen
On recordem de que són els polinomis associats de Legendre, que són els polinomis associats de Laguerre. I sabem també que es compleix la ortogonalitat següent.
Funcions d’ona fins a
Senceres
Part radial
Segons aquesta web
Considerant la variable
Amb el nombre atòmic de l’àtom. Tenim que
Ja que hi som, l’energia associada a cada nivell d’energia serà
Recordem de que
Està bé saber també de que
- ;
- ;
Enllaços amb més informació
Per més informació, entrar a les següents subpàgines
.svg%3Ftable%3Dblock%26id%3D113c5528-967a-8145-9527-ec8f95d508ea%26cache%3Dv2&w=64&q=75)
Notació Bra-Ket i postulats de la mecànica quàntica
Notació d’Einstein per vectors euclidians
Notació de Dirac per vectors en un espai de Hilbert
Notació d’Einstein per covectors euclidians
Notació de Dirac per covectors en un espai de Hilbert dual
Sentit físic
—> Estat quàntic del sistema —> és un vector qualsevol de l’espai de solucions (espai de Hilbert).
El podem expressar des de diferents bases. Les bases poden ser pròpies de diferents operadors.
Indiquem l’estat corresponent a el valor propi.
- La base és pròpia de l’operador .
- La base…
Matrius de Pauli i Stern Gerlach (mesura de spin electró)
Operadors, projectors, descomposició espectral i probabilitat
Projectors
Els projector són, estrictament parlant matrius idempotents, però els podem generar amb el producte tensorial de dos vectors propis.
Nota: de fet, d’ara en endavant ens referirem a un ‘ket-bra’ d’un vector amb ell mateix, no com a un producte tensorial sinó com a un projector.
Podem deduir fàcilment la funció d’un projector aplicat a un vector (propi o no) que no sigui el que ha generat el projector.
- Aplicat a un vector qualsevol és la projecció entre els dos
Projectors de les matrius de Pauli
Per les matrius de Pauli, els seus vectors propis i , els podem anomenar i ja que els valors propis són independents de l’eix. Podem calcular-nos el projector d’aquests autoestats en funció de a partir de les següents expressions.
Descomposició espectral de
Cal tenir en compte que hi ha un signe negatiu
Braket amb operador hermític
El següent és equivalent
Simultanietat de mesura
Diem que dos observables són “compatibles” o es poden mesurar “simultàniament” si només si “commuten”, és a dir
[Probabilitat autoestats
Un autoestat, és l’estat en què la probabilitat de mesurar el valor propi és del 100%
La probabilitat de mesurar un valor propi concret al fer una mesura (és a dir, que l’estat col·lapsi en un autoestat concret), es mesura fent el bra-ket entre l’espai de solucions i l’autoestat que voldríem que sortís.
Valor esperat i incertesa
El valor esperat d’un observable és el braket de l’estat amb l’observable al mig
La incertesa (desviació estàndard) d’un observable es calcula fent
Valor esperat de
Ui però això és només per l’estat [1/sqrt(2)](1,1)
I per tant els valors són .
Nota sobres sobre el fet de mesurar
Extretes de l’Apèndix F dels apunts del Garrido & Pons
“Resumint, l’Stern-Gerlach transforma un estat no entrellaçat , on no hi ha correlacions entre les parts de spin i el moment, i fabrica un estat de sortida entrellaçat on hi ha una correlació un a un entre el moment i l’spin. Per tant, la determinació del moment determina unívocament l’spin. Això és precisament el que ens permet la pantalla. El “clic” en algun detector de la pantalla ens determina quin és el component del moment i, per tant, podem deduir-ne l’spin.”
“El procés de mesura, utilitzant el sistema {estat + aparell detector}, el podem descriure considerant que el sistema segueix una evolució temporal ordinària de la MQ (…) [el que passa però és l’aparell detector és macroscòpic i l’estat estudiat és microscòpic, un té molts graus de llibertat i l’altre només en té un (spin up o spin down) així doncs] quan hi ha interacció entre un estat quàntic i el detector (o entorn amb molts graus de llibertat), l’estat total és un estat entrellaçat entre els dos sistemes i, per tant, es perd la possibilitat d’observar interferència entre les diferents parts del sistema quàntic que han quedat.”
“El fet que la MQ comporti dos tipus d’evolució temporal, una que preserva el principi de super-posició –i que és unitària– i una altra, associada a processos de mesura, ha fet córrer inacabables rius de tinta (debats filosòfics i intel·lectuals).”
Àlgebra amb les matrius de Pauli
Introducció breu a les matrius de Pauli
Suposem que existeix una espècie de rotació interna de les partícules elementals, que anomenarem spin, la qual és una mica més sofisticada que una rotació externa de tota la vida.
No entrarem en detall però, si un rotació externa la podíem descriure amb el grup de rotacions , per descriure aquesta rotació interna necessitarem el grup .
Per informació sobre el significat físic i geomètric: .
El grup , es pot generar per una base de 4 matrius unitàries linealment independents, i segurament la base més utilitzada és la de les matrius de Pauli (juntament amb la identitat).
En general quan mesurem l’spin d’una partícula (Stern-Gerlach per electrons) ho fem en l’eix per conveni, i ja que la partícula (per naturalesa de la quàntica) quedarà forçada en aquella direcció, prenem aquest eix com l’eix de rotació física real (matriu ja diagonalitzada).
Bé, i ara ens podríem preguntar com seria una matriu unitària en un eix arbitrari qualsevol. Doncs la resposta és que seria la matriu .
On és l’anomenat vector de Pauli, un vector de matrius.
Notar que
Així doncs tenim que en cartesianes
I en esfèriques, és a dir , tenim
Si diagonalitzem aquesta matriu trobarem que la matriu diagonalitzada és (com ja esperaríem), i per tant els valors propis sempre seran .
Comprovació que efectivament
Sigui una matriu de rotació genèrica (canvi de base ortogonal)
I per tant
Ojut que hi ha un error segur
Ara bé, quins són els vectors propis? Si fem el càlcul obtindrem que aquests són
I des d’aquí podem comprovar que cada eix resulta en els vectors propis de cada matriu , i .
Matrius de Pauli
En l’eix
Propietats generals
Són hermítiques, unitàries, involutives, amb determinant -1, sense traça i amb valors propis ±1.
Vectors propis
Convenció utilitzada pel Garrido
En l’eix
Nota: moltes vegades també es fa servir aquesta notació
Projectors
Expressions matricials completes i eix
Per qualsevol matriu tenim
Per les matrius de Pauli queda
On els projectors són tensors de rang 2, que tindran diferents components en funció de la base que els expressem.
Per l’eix
I per l’eix
I per l’eix
I per l’eix
Vector de Pauli
El vector de Pauli, entre altres coses, en serveix per mesurar en eixos arbitraris. La matriu corresponent en l’eix és doncs .
Aquesta compleix la propietat i , amb .
Altres propietats de les matrius de Pauli
En notació indicial
Matrius de Pauli com a exponents
Una matriu de Pauli (sigui en l’eix que sigui) sempre compleix , i per tant
I tindrà per descomposició espectral (ja que ), la següent
Propietats a tenir en compte
Si fem un braket entre l’estat del sistema i una matriu de Pauli, n’obtenim l’eix.
Per exemple
Quin sentit té? No hauria de ser el valor esperat de l’observable? i per tant 0 per les matrius de Pauli?
Matrius de spin
En breus veurem de què serveixen les matrius de spin. Pel cas de spin “una meitat” tenim que aquestes són de dimensió 2 i complexes, complint
Al aplicar doncs sobre un estat corresponent a l’estat d’un electró, obtindrem el seu spin, en aquell eix, el qual serà o o .
Si obtenim una mesura o una altra, què li passa al estat de l’electró
Si per exemple mesurem , fent cas al postulat 5 de la mecànica quàntica, tindrem que el nou estat de l’electró serà . Que expressat en la base , és l’estat
Comentari sobre la notació d’autoestats
A vegades ens referim a un autoestat (quan no hi ha degeneració) a partir del seu valor propi corresponent
En el cas d’electrons (spin 1/2), ens podem referir també en funció de l’eix de rotació (eix en el que realitzem la següent mesura)
S’ha de vigilar però, ja que per conveni la base diagonalitzada és la de l’eix , i es sol fer el següent abús de notació
Per complicar-ho encara més, ens podem referir a aquests autoestats d’electrons a partir de la matriu de spin (seguida d’una coma i si aquest és positiu o negatiu).
Expressar-ho en una altra base
Recordem que en la base de les , és a dir teníem
En l’eix
Però ens convindrà també poder expressar i en les altres bases
En l’eix
Quina utilitat té això?
Si tenim un estat i fem una mesura en l’eix , obtindrem spin up o spin down, i la probabilitat de mesurar un valor o l’altre vindrà determinada per les constants d’expressar l’estat en la base , és a dir.
Que dona
Fixar-se que
Això en la base , en la base serà (pico y pala)
Ja que hi som anem a posar les diferents matrius de canvi de base
Matrius de canvi de base
Un exemple de com fer-les servir
Matrius de canvi de base
Dubte
Una matriu que serveix com a canvi de base entre vectors, serveix també com a canvi de base entre matrius?
És a dir si podem tenir també ?
Nota: fixar-se que totes són unitàries, són doncs canvis de base unitaris (ortogonals).
Matrius de Pauli operant sobre autoestats
Com ja sabem
Però podem operar també matrius de Pauli en eixos diferents sobre aquests autoestats
I d’un eix qualsevol
Nota
Sempre treballem en la base . Sempre.
Podríem arribar a preguntar-nos què donaria per exemple fer ‘’, la resposta és que donaria
Fixar-se però que el resultat l’expressem igualment en la base , altrament si l’intentéssim donar en la base hauríem de canviar les expressions de les matrius de Pauli.
Per exemple, en el cas hipotètic que volguéssim treballar en la base de les , la matriu de Pauli tindria la mateixa expressió que en la de les (valors propis 1 i -1 en la diagonal).
Però de nou, això no ho farem mai. Només utilitzarem bases diferents a la de la , quan ens estiguem preparant per la següent mesura i vulguem saber quina probabilitat hi ha d’obtenir en aquell eix spin up o spin down. Però un cop calculada la probabilitat, seguirem expressant l’estat en la base .
Un fet important: un bracket és invariant sota canvis de base unitaris
Tenim per una banda que
Així doncs
I ara ve el fet important
El producte escalar és invariant sota canvis de base unitaris.
Així doncs
I ho podem expressar en la base (camí llarg ja que hauríem de re-expressar ), o ho podem expressar tot en la base i matricialment.
Probabilitat de mesurar spin up o spin down en un eix donat un estat
Previ: Recordar que i per tant matricialment s’ha de fer el conjugat.
Nota: si no ho féssim matricialment, sabent que i , arribaríem al mateix escalar.
Així doncs
Càlcul
Recordem que
D’aquí surt una suma que involucra exponencials complexes, i fem
I després aprofitant que
Simplifiquem fins al resultat obtingut
Expressió de en la base
Matrius de spin
Recordatori matrius de spin 1/2
Amb valors propis , però amb els mateixos vectors propis que les matrius de Pauli.
Tenim que
En l’eix
Valors propis
Vectors propis
En l’eix
Projectors
Matrius al quadrat
Sistemes compostos i evolució temporal
Idees principals sistemes compostos
Introducció als sistemes compostos
Idea general
Si tenim una partícula, caracteritzada per i tenim una altra partícula caracteritzada per , aleshores el sistema queda caracteritzat per
On
Per exemple si fem passar dos electrons per un Stern Gerlach (fem la mesura a l’hora de quin spin tenen cadascun). Tindrem que si féssim l’estudi de cada partícula per separat seria
I si decidim fer l’estudi del sistema (de moment mentirem i direm “per estalviar fer el càlcul en què multipliquen probabilitats”) obtenim l’estat
Que podem reanomenar tal que així
Per exemple: L’estat equivaldria a l’estat en el que quedaria el sistema si es mesurés en l’eix que la primera partícula té spin up i la segona té spin down.
Electrons entrellaçats
Anem a escriure el vector del sistema com una matriu (de seguida ho escriurem en forma de vector columna).
Fixem-nos que aquesta matriu ha estat construida d’una manera determinada, és a dir que no és una matriu general amb components qualsevols.
Per ser més precisos, si ens calculem el determinant, veurem que aquest és zero. Això ens indica que les seves files (o columnes) no són linealment independents (podem indicar-ho dient que la matriu és de rang 1).
Això és important. Resulta que quan tenim un producte tensorial de dos vectors, la matriu obtinguda sempre és de rang 1 (rang de matriu, no de tensor).
Què implica això? Que si tenim el següent estat
I es compleix , aleshores efectivament .
Ara bé, i aquí la pregunta del milió, pot existir un estat del sistema (en la naturalesa) en què tenim i per tant que no podem escriure l’estat del sistema com el producte tensorial entre els estats de les dues partícules? Dit d’altra manera, existeix en la naturalesa partícules que la probabilitat de mesurar una afecta a la altra? Dues partícules que no són independents?
La resposta és que sorprenentment sí! S’anomena entrellaçament, i és un dels fets més curiosos de la mecànica quàntica.
Així doncs procedirem de la següent manera, considerarem que a priori efectivament , , i poden ser constants qualsevols, i és només quan que podrem tractar les partícules de manera independent.
Recordatori projectors per 1 partícula
Recordem que un projector (per una partícula) era de la forma . Amb això podíem definir les matrius de Pauli, a partir de la seva descomposició espectral, com una suma (o resta) de dos projectors.
Matricialment seria
Productes tensorials diversos
No sé si seria amb el producte de Kronecker o sense. És a dir amb matrius dins de matrius o simplement matrius 4x4.
Anem a fer per com a exercici recreatiu diversos productes tensorials (de Kronecker realment). Tenim principalment 4 matrius diferents
I ja que el producte tensorial no commuta tindrem un total de resultats diferents, anem a veure’ls per poder identificar quins ens poden ser úitils
Productes tensorials entre projectors
Entre els de una partícula, signes diferents
I aquests girats
I amb el mateix signe
Així doncs
Productes tensorials entre dues matrius de Pauli
I si fem ara dues matrius de pauli multiplicades tensorialment entre elles?
Pel que hem vist abans, matricialment això es correspon a
Projectors per la identitat
El positiu per la identitat
I per tant
Ara al revés
Ara el negatiu per la identitat
I ara al revés
Combinació de projectors per la identitat
Anem a fer alguns càlculs més
I també
Matrius de Pauli per la identitat
Tenim que
Ara girat
Ara anem a sumar els productes tensorials canviant l’ordre
Una propietat important
Veiem que fent les operacions es compleix per dos operadors i qualsevols que
Probabilitats estats sistema
Ara hem de saber distingir a quina partícula correspon cada autoestat
Podem veure fàcilment que
Càlcul matricial
Fem el primer cas matricialment per il·lustrar-ho
Com jo ho veig
Al fer una mesura de spin en una de les partícules i obtenir un estat positiu, automàticament anul·lem la probabilitat dels altres estats (col·lapsem el sistema).
Això matemàticament equival a
Així doncs el nou estat serà
Extra
L’estat del sistema, expressat detalladament, queda
La manera que operarem al multiplicar dos productes tensorials serà la següent
Anem a fer un experiment, anem a aplicar l’operador , , i al nostre estat , aviam què obtenim en cada cas
Resultats
Per obtenim
Nota: on posa és perquè el bracket quedarà .
Anem a fer el càlcul ara per
Veiem doncs un fet important
Cosa que no té massa sentit la veritat.
I ara per però canviem l’ordre del producte tensorial
I si no canviéssim l’ordre?
Obtindríem coses que no ens interessen
I finalment per
Així doncs tenim també que
Posant-ho en comú tenim que el següent bracket esdevé
Arribem doncs a que
Camí 2 Projectors
Si fem una mesura en l’eix de l’spin dels electrons, estarem actuant sobre la partícula 1 i sobre la partícula 2, però hi estarem actuant al mateix temps.
Observables i probabilitat
El vector estat del sistema (que realment seria un matriu 2x2, i formalment un tensor de rang 2 però tractarem com un vector de dimensió 4) és
Cas general estat entrellaçat
Recordem a nivell físic un estat entrellaçat (no té perquè ser totalment) era quan l’estat quàntic del sistema no es podia descompondre en el producte tensorial de l’estat quàntic de les dues partícules per separat.
A nivell matricial això implica que la matriu del sistema és
La condició per tal que la matriu representi un estat entrellaçat és que
Ja que si una matriu té determinant zero, hi ha un teorema, que ens diu que sempre es podrà escriure com el producte de Kronecker de dues altres matrius.
Notació
Sistema de dos electrons
Estat del sistema
En forma matricial
Si tindrem que els electrons són independents, i si tindrem que els electrons estan entrellaçats.
Mesures en el sistema
Matriu de Pauli en l’eix i identitat a partir dels projectors
Definim els projectors sobre el sistema
Que ens permeten expressar matemàticament el nou estat del sistema
És a dir que un cop feta la mesura, hi ha algunes components que s’anul·len i les que queden s’han de renormalitzar
Nota abús de notació
Moltes vegades s’escriu una suma com a abús de notació
Probabilitat de trobar un estat concret del sistema
Mesura de spin
El moment angular total degut al spin serà
Fent els càlculs arribem a la matriu
Resulta que i commuten, i gràcies això podem “trencar la degeneració” passant a una base de vectors propis comuna no degenerats. Aquests són
Més coses
I per exemple
Operadors i
Es defineixen els següents operadors
Veiem que
Podem entendre l’operador com que puja una unitat d’, i si no es pot pujar més retorna l’estat nul. I de la mateixa manera que l’operador baixa una unitat d’, i si no es pot baixar més retorna l’operador nul.
Així doncs si
Tindrem que
Podem veure que es compleix
Com és evident, no són operadors hermítics i per tant no seran diagonalitzables per matrius unitàries.
Mateixes expressions però matricialment
Projectors del sistema
Mesures
Per exemple al obtenir en una mesura que la primera partícula té spin up, el nou estat del sistema el podem pensar com
I per normalitzar hem de dividir per
Productes tensorials entre projectors
Aquests ens indiquen una mesura concreta (primera partícula spin up i segona spin down per exemple)
Així doncs tenim que
Matrius de Pauli per la identitat
Tenim que
Ara girat
Ara anem a sumar els productes tensorials canviant l’ordre
Així doncs
Operador evolució temporal
L’equació de Schrödinger és
Volem expressar l’evolució temporal del sistema. Sabem que l’equació de Schrödinger és lineal i de primer ordre en la part temporal, així doncs podrem expressara aquesta evolució amb un operador lineal.
L’operador evolució temporal, que compleix l’equació de Schrödinger per hamiltonians independents del temps és
Per què?
Si tenim la següent equació diferencial, amb com a condició de contorn
Obtenim com a solució
Aleshores
Recordem que el hamiltonià és un observable físic amb valors propis reals (que són les possibles energies) i per tant hermític. Els seus vectors propis seran els estats estacionaris corresponents a cada energia possible. La descomposició espectral serà
Per calcular els vectors propis haurem de diagonalitzar . Aleshores tenim dues opcions de procedir
Manera 1
En la mateixa base en què ens han donat i en la que hem trobat els vectors propis, fem els productes tensorials per cada valor propi i obtenim , que en general no serà una matriu diagonal.
Apliquem a fent el càlcul matricial i obtenim en la base original.
Manera 2
Expressem i en la base , i ens serà més fàcil aplicar ja que sempre tindrà forma diagonal.
Per exemple per un electró
Amb i .
Al aplicar obtindrem en la base .
Teorema de Ehrenfest
Resulta que sempre sempre, es compleix aquesta propietat tan important
Constants del moviment en l’evolució temporal
Tenim que per hamiltonians independents del temps, el valor esperat de serà sempre una constant del moviment
Diem que un observable és constant del moviment si
Aleshores que es conservi el valor esperat de , degut al teorema d’Ehrenfest, és equivalent a demanar que
Tindrem en general 4 casos molt clars
- no depèn del temps i —> constant del moviment
- no depèn del temps però —> no pot ser constant del moviment
- depèn del temps i —> no pot ser constant del moviment
- depèn del temps i —> pot ser o no ser constant del moviment
- Ho serà si es compleix la igualtat
- No ho serà si no es compleix la igualtat
Hamiltonians típics
Factors
Spin 1/2
- Electró
- Muó
- Protó
- Neutró
Spin 1
- Fotons —> no tenen moment magnètic —> no podem definir
- Bosons i tenen (exactament 2).
Nota: el majoria de fórmules per l’electró es pren , és a dir en positiu.
Hamiltonià per un electró
El hamiltonià corresponent a la part d’interacció magnètica del sistema serà
Pel moment magnètic corresponent al spin tenim
Que en el cas d’un electró amb i queda el Hamiltonià
Comprovació hermític
Tenim que on al ser les matrius de Pauli hermítiques multiplicades per escalars segueixen sent hermítiques i una suma de matrius hermítiques dona una matriu hermítica. Recordem i si .
On la constant del magnetó de Bohr és .
Que ens permet expressar el Hamiltonià també en funció de la freqüència angular, que definirem com a , on és el mòdul del camp magnètic.
Aquesta nova expressió s’anomena ‘Hamiltonià de Pauli’, i per una partícula en general és
Hamiltonià amb acoblament
Si expressem
On és propi de la base que ens interessa (actuar-lo sobre retorna i no pas per exemple) i és un factor d’acoblament (sí retorna combinacions lineals de vectors de la base).
Tenim que en general
I per tant
Que els observables commutin vol dir que en podem trobar una base de vectors propis comuna, aquesta base serà justament la que diagonalitzi .
Aleshores si els vectors propis de són , tindrem que , i es podran expressar en descomposició espectral amb els mateixos projectors i valors propis diferents.
Per exemple en el cas de , tenim base els projectors seran
Teoremes i relacions
Relació d’incertesa general:
Equació del moviment de Heisenberg
Ona , amb l’operador evolució temporal. La gràcia, està en que si fem el valor esperat obtenim
És a dir que
I pels casos que no depèn explícitament del temps tenim
Teorema de Von Neumann
—> Útil en rotacions i simetries
Espais de Hilbert de dimensió infinita (Continu)
Posició i moment
Operadors i
Matrius que compleixen
En el cas idíl·lic, un estat propi de la posició seria una funció d’ona que fos nul·la a tot arreu excepte en un punt, allà on localitzaríem la partícula.
D’un estat completament localitzat al punt en direm , que serà un autoestat de l’operador posició, és a dir
Aquests estats seran sempre ortogonals. Un estat general, serà una combinació lineal d’aquests autoestats
On és la funció d’ona expressada en la base (de les posicions).
Delta de Dirac
Fixem-nos que els autoestats posició són ortogonals entre ells
On és la de Kronecker, un valor real, i en canvi és la delta de Dirac, una distribució, que és semblant a una funció però no és el mateix. Com a conseqüència els no són elements d’un espai de Hilbert de quadrat sumable.
Analogia al continu
Resolució de la identitat
Que al actuar en un autoestat queda
I per tant
La delta de Dirac serà
L’estat quàntic serà
Les ‘components’ d’aquest estat quàntic en la base , serà justament la funció d’ona
Operador moment (expressat en la base )
Això crec que és sempre que el hamiltonià és . I potencial nul! (partícula lliure)
Probabilitat de mesurar una , o
Crec que si tenim i per exemple. La probabilitat de mesurar serà simplement l’amplitud de una, però si tenim la possibilitat de mesurar , com que tenim degeneració, hem de sumar les amplituds de les dues. (? no ho sé realment).
Partícula de massa en 1D en funció del potencial i del Hamiltonià
a) Partícula lliure hamiltonià típic
Aleshores
El mateix VEP té dos valors propis, que són les funcions d’ona
Diria doncs que
I que sempre les funcions d’ona seran les vistes a dalt
b) Partícula sota un pou de potencial infinit i Hamiltonià típic
Tenim que a dins del pou l’espectre és discret i no està degenerat (recordem que va per nivells d’energies) i a més funció d’ona normalitzada (podem normalitzar-la).
En canvi fora del pou l’espectre és continu i doblement degenerat, i la funció d’ona no es pot normalitzar.
Funció d’ona Gaussiana
La seva constant de normalització és
I els valors esperats són
Tenim que
Àtom d’hidrogen
La funció d’ona de l’estat fonamental és
Ja sabem que és el radi de Bohr. I aquesta funció d’ona és la que obteníem a física quàntica al multiplicar els harmònics esfèrics amb la part radial.
Si ara ens demanen ‘canviar la base’ a la dels moments tindrem
Si ho passem a esfèriques tenim
Oscil·lador harmònic
Formalisme Oscil·lador harmònic
Hamiltonià del oscil·lador harmònic quàntic 1D
Podem crear-nos uns operadors adimensionals
Aleshores el Hamiltonià queda
Commutador
Introduïm dos operadors nous
Algunes fórmules típiques
El Hamiltonià queda doncs
Més propietats
Teorema d’Ehrenfest aplicat a posició i moment
Valors propis
Energia com a base pròpia de , i (en colorets a mode de prova, però no m’agrada com queda)
I per tant podem arribar a
i en la base pròpia de l’energia
I com a extra
En forma matricial
Cada operador en la base com un matriu infinita però discreta
Expressions matricials
Relacions d’incertesa
I per tant
Funció d’ona
Al final resulta que
Recordem que són els polinomis de Hermite.
Més coses
- Valors propis del hamiltonià concret
- Si potencial harmònic 2D
El moment angular serà constant del moviment si
2 oscil·ladors harmònics independents
Si tenim el Hamiltonià següent
Ens inventem els operadors
Són ortogonals, és a dir que
Tenim que podem re-expressar el hamiltonià així
I per tant els valors propis de l’energia seran
Transformacions canòniques i evolució temporal
Transformació unitària espaial (indiquem l’operador amb O, i el nou estat amb un a prima)
Transformació temporal continua (amb la U i l’estat amb la mateixa lletra i un temps diferent)
Mesura, col·lapse (transformació temporal discreta denotem amb l’operador del observable mesurat A,P,X,H… i l’estat o amb una lletra diferent (psi, phi…) o amb un subíndex 1,2,3…)
Hem de subministrar una dinàmica d’evolució temporal per als estats, i una altra per als operadors
A partir de l’eq. de Schödinger per podem trobar que
I recordem també que
Pff ns, altres coses
Rotació de entorn de l’eix .
Imatges de Schrödinger
Considera que l’evolució temporal l’experimenten només els estats i no els operadors (en l’altre formalisme seria prendre )
Imatge de Heisenberg
Considera que només els operadors experimenten evolució temporal i els estats no.
Tenim que el hamiltonià en la imatge de Heisenberg és
Si ni ni depenen del temps tindrem
Imatge de Dirac
Es considera una hamiltonià de partida
I el Hamiltonià serà
I també
No sé, no he acabat d’entendre la imatge de Dirac, i bé les altres tampoc la veritat.
Addició de moments angulars i coeficients de Clebsch-Gordan
Simetries i constants del moviment
Notació final sistemes compostos
Cas general estat
L’estat general del nostre sistema (de dos fermions) és
Recordem la notació
I amb l’estat normalitzat .
Aquesta és la base més típica, l’anomenarem .
Quan indiquem la representació matricial d’un ket, un bra o un observable, ho farem posant la base com a subíndex (notació no oficial).
Nota
Si fóssim més formalment correctes, entendríem els kets i bras com a tensors de rang 1, i els observables com a tensors de rang 2. I faríem servir la seva representació matricial (components) sense indicar-ne la base fent servir el símbol
\doteq que vol dir “es representa per”. Per exemplePerò en els apunts de MQ no ho fan així, i tampoc fan servir la base com a subíndex, simplement un “igual” independentment de si és en funció de altres kets o si és una representació matricial.
La representació matricial serà doncs
Alternativament també podem expressar el nostre estat així.
Recordem que entre kets és un producte tensorial, però entre les seves representacions matricials és un producte de Kronecker.
Estat separable, estat entrellaçat parcialment i estat singlet
En el cas general, l’estat no sempre es pot factoritzar en l’estat de dues partícules independents.
Cas separable
Es dona quan . Tindrem dues partícules independents i podrem factoritzar l’estat en i . El problema es simplifica.
Cas entrellaçat parcialment
Vindria a ser un cas genèric en què l’estat del sistema no es pot separar en el producte tensorial dels dos estats individuals. És a dir tenim que , però tampoc és un estat singlet.
Cas estat singlet
Un estat singlet és aquell en què tenim les partícules completament entrellaçades. Això vol dir que si en una li mesurem spin-up, sabem amb un 100% de certesa que l’altra tindrà spin-down, i viceversa.
L’estat singlet sempre és el següent
Per què?
Si al mesurar spin-up d’un sabem que l’altre té spin-down, vol dir que no existeix la possibilitat de mesurar l’estat ni l’estat , així que .
Al mateix temps, la probabilitat de mesurar l’estat i l’estat haurà de ser la mateixa (sinó un seria més probable i no estarien entrellaçats completament), és a dir que .
Això ho podem escriure també de la següent manera
La fase absoluta de cada una ( i ) no és rellevant, només la fase relativa ().
Molt bé, doncs resulta que per un estat singlet aquesta fase relativa és .
Això és així ja que la funció d’ona ha de ser antisimètrica (recordem que són dos fermions), de manera que si girem les dues partícules ha de canviar el signe de l’estat.
Així doncs de moment tenim que
I ara es pren per conveni que sigui real i positiva. I per tant queda només queda una possibilitat pel nostre estat singlet
Nota: qualsevol altre valor també hagués servit i representaria el mateix estat físic. Així doncs el conveni és vàlid.
D’on ve el nom? Ho veurem més endavant a l’apartat de “Spin del sistema”.
Recordatori: spin una partícula
Quan teníem una sola partícula, la notació era així
Denotàvem els valors propis de amb .
Nota: a vegades es fa servir el petit abús de notació .
Calculant el valor esperat obteníem
Així doncs, el valor esperat de l’spin era la mitjana ponderada dels dos resultats possibles amb les probabilitats de cadascun.
Spin del sistema
Ara tenim el següent
On i realment són la mateixa matriu, corresponent a la d’spin d’una sola partícula. A nivell matricial això és (per exemple per )
Fixem-nos que l’espectre és degenerat. I que podem obtenir com a valors propis , o . Aquests es corresponen a . On i poden ser .
Hamiltonians típics, funcions d’ona i energies
Oscil·lador harmònic
Fórmules relacionades
Primers polinomis de Hermite
Àtom d’hidrogen
Ortogonalitat
Recordem de que són els polinomis associats de Legendre, que són els polinomis associats de Laguerre. I sabem també que es compleixen les ortogonalitats següent.
Funcions d’ona fins a
Senceres
Part radial
Harmònics esfèrics
Segons aquesta web
Considerant la variable
Amb el nombre atòmic de l’àtom. Tenim que
Segons Sakurai
Que és equivalent a
Donant com a primeres parts radials
Crec que la relació és simplement o generalitzant a qualsevol .
Els nivells d’energia són
Pou de potencial infinit
De a
De a
Cercle unidimensional de perímetre
Altres (en 1 dimensió) - No solen sortir
Pou de potencial infinit
Barrera potencial
Pou de potencial finit
Escaló potencial
Altres
Antic
El nom estat singlet ve de.
Bla bla
També ho podem pensar com que per partícules de spin-, l’spin total del sistema (actuar ) ha de donar , és a dir , per un estat singlet.
En canvi si tinguéssim un signe positiu i calculéssim l’spin total obtindríem , és a dir , que es correspon a un dels tres estats triplet.
I efectivament per un estat singlet volem que es compleixi .
Bla bla