Recursos externs útils
Tipus de matrius
- Simètrica | Hermítica
- Ortogonal | Unitaria
Bases i matrius de canvi de base
Notació i idea conceptual
Si tenim una base i una base , podem representar la transformació lineal , expressada en aquestes bases, amb les matrius associades i respectivament.
Canvi de base (al expressar vectors)
Si volem canviar d’una base a l’altra (simplement canviar de base, no estem aplicant cap transformació ) podem fer-ho a partir d’una matriu de canvi de base .
Aquesta matriu, sempre va d’una base arbitrària a la nostra base. Si per exemple prenem com la nostra base (i expressem els vectors com a combinacions lineals de ) aleshores la matriu de canvi de base serà
De manera que podem expressar vectors arbitraris en la base que preferim
Canvi de base (al expressar transformacions lineals)
Si ara volem expressar la transformació lineal (que seria un tensor de rang 2), en una base diferent a la nostra (és a dir coneixent ), ho podem fer fent el següent:
- Canviem de base:
- Efectuem la transformació lineal desconeguda:
- Tornem a la nostra base original:
I per tant
Base ortogonal vs. canvi de base ortogonal
Idea conceptual molt important: No hi ha cap base superior
Pot semblar una tonteria però és un matís conceptual bastant important.
“No hi ha cap base intrínseca a l’espai. No hi ha una base millor que cap altra.”
Per a veure-ho anem a considerar un exemple en . Suposem que nosaltres tenim una base , i en aquesta base ens agrada representar un vector .
Podríem tenir la necessitat (una necessitat bastant irracional) de voler expressar al mateix temps aquests vectors i amb la seva descomposició.
Bé doncs en aquest punt podríem (equivocadament) pensar que aquests vectors s’expressaren en la base … però no!
Els vectors base s’expressen en la seva pròpia base!!!
És a dir no existeix “la nostra base”, ja que la nostra base sempre és una base ortonormal, que s’expressa a partir de si mateixa a partir de vectors unitaris.
Si ara el que féssim és expressar i en la base , estaríem realitzant un canvi de base (no pas una expressió més profunda).
Aleshores perquè no li diem sempre a la nostra base? Si sempre és i … La resposta és que sí que ho fem. Sempre que diem la “nostra base” té aquesta expressió, aleshores el que fem és a priori donar-li el nom de per tal de poder-ho generalitzar fàcilment. I l’anomenem base canònica o base cartesiana, i és des d’aquesta que ens imaginem altres bases, com ara i .
Però és important remarcar que no té res d’especial, que en principi no existeix un “vector base” per defecte, que l’etiqueta o és només un nom per referir-se a la base sobre la que construïm la resta de bases i expressem la resta de vectors.
Dit d’altra manera, “la nostra base”, sempre és i si diem “base ” és només en tant que estem expressant aquesta base des de la nostra, perquè a la que canviem a l’altra base, automàticament es converteix en i l’antiga base passa a ser, per dir-li d’alguna manera .
Base ortogonal
Si està formada per vectors ortogonals diem que es tracta d’una base ortogonal.
Nota: si tan com estan formades per vectors ortogonals direm que tenim dues “bases ortogonals”, això no vol dir que siguin ortogonals entre elles (cosa que no té sentit), sinó que cada una per separat és ortogonal.
En general les bases amb les que treballarem estaran normalitzades, aleshores és millor que ens referim a “base ortonormal”, per evitar confusions.
Canvi de base ortogonal
Quan la matriu de canvi de base és unitària (és a dir compleix ) diem que es tracta d’un canvi de base ortogonal, que a nivell geomètric es tracta d’una rotació (amb o sense un reflexió involucrada).
Això implica que
- i (només estem rotant els eixos al re-expressar els vectors)
- i (canvi de base ortogonal)
Propietats d’un canvi de base ortogonal
Resulta que si (corresponent a l’expressió de la transformació lineal en la base ) és una matriu hermítica aleshores expressada en una altre base qualsevol també ho serà.
És a dir la propietat de “simetria” es conserva al canviar de base ortogonalment (rotar).
I al mateix temps, si al canviar de base la matriu associada a la transformació lineal segueix sent hermítica, implica que el canvi de base ha estat ortogonal
Teorema relacionat
Quan tenim dues bases ortonormals ( i ), la matriu de canvi de base entre elles resulta ser una matriu ortogonal (o unitària en el cas complex), és a dir .
Demostració
Recordem que si és la nostra base, aleshores tenim , on la matriu de canvi de base és
Nota: per simplificar les expressions ho farem en el cas de 3 dimensions, però és perfectament generalitzable a vectors de dimensions.
I per tant l’expressió (condició matriu unitària) resulta en
Que en el cas de ser una base ortonormal es simplifica en la matriu identitat
Ara bé, aquí al haver simplificat les expressions en la seva forma matricial implícitament hem assumit que era una base ortonormal. Per a veure-ho anem a fer el càlcul explícit.
Nota: no farem per cada un, només com a exemple per , però és fàcil veure que passaria el mateix amb tots.
Que en el cas de ser una base ortonormal, es simplifica a
Això és important ja que si tenim la nostra base ortonormal i tenim una matriu unitària, aquesta ens permetrà obtenir una nova base ortonormal.
O dit d’altra manera, les columnes d’una matriu unitària sempre es correspondran als vectors d’una nova base, i aquests formaran una base ortonormal (sempre i quan la nostra base original fos ortonormal).
Diagonalització
Resulta que hi ha transformacions lineals, que (malgrat la majoria de vectors els transforma rotant-los i escalant-los) per alguns vectors concrets (eixos de l’espai), aquests queden únicament escalats.
A aquests vectors els hi diem vectors propis i al valor pel que queden escalats els hi diem valors propis.
Visualització
Aquesta transformació lineal, implica que és possible un canvi de base, tal que al ser expressada en la base dels vectors propis resulti en una matriu diagonal. És a dir
On tenim que
Teorema Espectral
Si la matriu és hermítica , aquesta és diagonalitzable .
I a més a més els vectors propis són reals i els vectors propis són ortogonals entre ells.
Matriu ortogonalment diagonalitzable
Sabem que una matriu diagonalizable és aquella que compleix , on és una matriu diagonal.
Bé, doncs una matriu ortogonalment diagonalitzable (o unitàriament diagonalitzable pel cas més general), és aquella que compleix , és a dir que es pot diagonalitzar amb una matriu de canvi de base unitària.
Teorema molt important
Si una matriu és unitàriament diagonalitzable implica que és hermítica, i viceversa, si és hermítica implica que es pot diagonalitzar unitàriament.
Això ho podem veure fàcilment a partir de dues propietats que hem vist en les seccions anteriors
- Teorema espectral: Si
- Propietat canvi de base ortogonal: Es manté la simetria, la matriu associada a la transformació lineal segueix sent hermítica al canviar ortogonalment de base.
- Si
I ja que una matriu diagonal sempre és hermítica (), implica el canvi de base ha estat un canvi de base ortogonal .
Producte escalar entre vectors i canvi de base
Previ: recordem que un vector és un tensor de rang 1, i que com a tal és un objecte matemàtic independent del sistema de coordenades. Les seves components poden dependre de la base, però el vector (la fletxa) segueix sent el mateix en qualsevol base.
Ara el que ens preguntem és, si tenim dos vectors (objectes matemàtics independents de la base) i els multipliquem amb el producte escalar, el resultat que obtenim depèn de la base?
A priori podríem pensar que no, que la longitud de les fletxes és la mateixa en qualsevol base i l’angle entre aquestes també. Però si ho pensem bé, un canvi de base és una transformació lineal molt general. Aquesta pot escalar, rotar (per diferents angles cada un) i reflectir els vectors.
De fet l’únic tipus de transformacions lineals que no escalen els vectors (mantenen les longituds constants) i que mantenen l’angle entre ells igual, són les rotacions de l’espai. Ja siguin rotacions pures o amb una reflexió inclosa (és a dir qualsevol matriu ortogonal o unitària), les longituds i angle es mantenen constants i per tant també el producte escalar.
La conclusió és per tant que els únics canvis de base que mantenen invariant el producte escalar són aquells realitzats per matrius unitàries
Resum: Propietats matriu unitària
Una matriu unitària és aquella que compleix , cosa que implica com a condició equivalent, la següent
Nota: en el cas que una matriu unitària només estigui formada per nombres reals li direm matriu ortogonal.
Propietats matriu unitària
- Determinant unitari
- Que en el cas real (matriu ortogonal) queda simplificat a
- Serveix com a canvi de base xulo, que preserva simetria
- Si és la matriu associada a una transformació lineal, al canviar ortogonalment de base la matriu associada seguirà sent hermítica.
- És un canvi de base tan xulo, que ens permet agafar qualsevol matriu hermítica i diagonalitzar-la sense haver de calcular matrius inverses. I al mateix temps ens assegura que si a partir d’una matriu qualsevol podem canviar (ortogonalment) a una matriu diagonal, la matriu original era hermítica.
- Si
- Sempre la podrem escriure a partir d’una matriu hermítica
- Si és hermítica —> és unitaria.
- Qualsevol matriu unitària es pot expressar així
- Si és antisimètrica —> és ortogonal
Conservació de propietats al canviar de base
Canvi de base general
- Rang
- Dimensió de l’espai nul
- Determinant
- Traça
- Polinomi característic
- Valors propis
- Polinomi mínim
- Si és diagonalitzable o no
Canvi de base ortogonal o unitari
- Simetria (si és hermítica)
- Antisimetria
- Unitarietat (si és unitària)
- Normalitat
- Aleshores lògicament es conserva si és hermítica o unitària, al ser-ne casos particulars
- Idempotenietat (si és idempotent o no)
Conclusions que n'extraiem
Està bé fixar-se per exemple que una matriu hermítica i idempotent (operador projector) preserva aquestes propietats al canviar ortogonalment de base. Per tant ja que en la base diagonalitzada el producte tensorial de vectors propis (que es descriuen a si mateixos com els canònics) donen lloc a matrius idempotents i hermítiques, aleshores el producte tensorial de vectors propis en descrits des d’una altra base també formen un projector.
De manera semblant, tenim que si el determinant d’una matriu diagonalitzada és el producte de valors propis, en qualsevol altre base també el podrem calcular amb aquest producte.
Això implica que si per exemple els valors propis d’una matriu són 1 i -1, el determinant sempre serà -1. I si aquests són 1, 0 i -1 el determinant sempre serà 0, etc.
Extra
Demostració preservació idempotenietat
Anem a veure com efectivament si apliquem un canvi de base ortogonal a una matriu idempotent, la matriu resultant també és idempotent.
Ingredients
Matrius quadrades totes elles, amb una fixa
- és la matriu idempotent
- és una matriu unitària, i per tant
- és la matriu resultant del canvi de base ortogonal
Demostració
Demostració preservació normalitat (i per tant hermiticitat i unitarietat)
Ingredients
- és una matriu normal, és a dir
- Fem un canvi de base ortogonal
- Volem demostrar que també és normal, és a dir
Demostració
Calculem primer
Ara anem a calcular les dues expressions per separat i veure que són iguals
Donat que , les dues expressions són iguals i per tant és una matriu normal.