Aquest apartat està en revisió
Un exemple ràpid
de manera que per deduïm que…
Significat de tenir una matriu com a exponent
És defineix a partir de la sèrie de Taylor de la funció .
_to_raise_e_to_the_power_of_a_matrix_DE6.png%3Ftable%3Dblock%26id%3D113c5528-967a-8145-ba43-db349d4e19c0%26cache%3Dv2&w=3840&q=75)
Vídeo complet aquí.
I si volem fer enlloc de o qualsevol altre nombre?
Doncs recordem que si tenim per exemple la seva sèrie de Taylor serà la mateixa que posar a la sèrie de Taylor .
Pel cas de matrius seria equivalent a posar com a matriu en la expansió infinita (de manera que ).
És una expansió infinita, així que no farem cap càlcul matricial. La manera de procedir serà utilitzar si podem alguna propietat especial de la matriu per tal de convertir una sèrie infinita en una altra.
Sèrie de Taylor
Exponencial real
Exponencial imaginaria
Si compleix alguna propietat recurrent al elevar-la a una potència potser podrem treure-la fora del sinus i el cosinus.
Cas típic: matriu involutiva
Quan tenim una matriu involutiva tindrem doncs que
I per tant, la sèrie de Taylor quedarà
I en el cas típic d’exponencial negativa, serà
Un exemple en són les matrius de Pauli ( per qualsevol eix , inclosos , i ).
Cas típic: matriu idempotent
Un altre exemple en serien les matrius idempotents (com els projectors)
Aquí cal anar amb compte, ja que , sinó que .
Així doncs al desenvolupar la sèrie de Taylor farem el següent
Que resulta en l’expressió
Així doncs
I per tant
En el cas dels projectors, que són matrius idempotents (i hermítiques) tindrem doncs
Cas més típic: matriu hermítica
Teorema previ
Tenim un teorema que afirma que si és una matriu hermítica, aleshores podem construir una matriu unitària de la forma .
I el mateix temps el teorema afirma que d’aquesta forma podem expressar qualsevol matriu unitària. És a dir que cada matriu hermítica té la seva corresponent unitària i viceversa.
Demostració ràpida
1r demostrem que si és hermítica és unitària.
En efecte, una matriu unitària és aquella que compleix . I tenim que
Al ser hermítica, es compleix la condició i per tant tenim que és unitària.
Demostrem ara que qualsevol matriu unitària es pot expressar d’aquesta forma.
Una matriu unitària és ortogonalment diagonalitzable, i per tant es pot expressar a partir de la seva descomposició espectral.
I coneixem que els seus valors propis són nombres complexes de mòdul 1
Demo recordatori
Per una matriu diagonalitzable el seu determinant (invariant sota canvis de base) és el producte de valors propis (determinant de la matriu diagonal). Així doncs
Aviam clarament falta un quelcom extra i aquesta demo no està ben enfocada
Així doncs, tal com hem vist al apartat anterior, els projectors es poden baixar o pujar en l’exponencial
Com hem vist en aquest propi apartat, això es pot convertir (per ortogonalitat entre els projectors i per la seva idempotència) en un productori.
NO ENTENC RES, però aleshores l’única condició és que A sigui diagonalitzable, no pas hermítica, ni tan sols diagonalitzable ortogonalment.
Descomposició espectral matriu hermítica
Una matriu hermítica és ortogonalment diagonalitzable, i per tant
Demostració projectors
Volem demostrar que
Utilitzant les propietats dels projectors (idempotència i ortogonalitat)
- per
- ç
I recordem que per qualsevol matriu quadrada tenim , així doncs
Demo
Abans de tot, tenim que
Així doncs per cada tenim
I el productori
Agafem l’exemple de dues per veure què passarà
Veiem doncs com el productori es torna un sumatori
El que està passant
Podem expressar qualsevol matriu diagonalitzable , tal que així
I com a conseqüència de les propietats dels projectors
La matriu resultant de l’exponencial també és una matriu diagonalitzable, amb els mateixos vectors propis però valors propis diferents (els d’abans exponenciats).
Relacionat
Recordem que si la matriu projector és el producte tensorial entre VEPS, la matriu canvi de base, té les seves columnes formades per VEPS.
Això ens implica (no acabo de veure com) que la matriu resultant és doncs un canvi de base respecte .
I com ja sabem hi ha molts canvis de base, però els que més ens interessen són els canvis de base unitaris (o ortogonals). Així doncs ens interessarà aquesta matriu com a canvi de base sobretot quan sigui unitària.
Resulta doncs que aquesta matriu exponencial és unitària si només si és hermítica.
Demo
Demostrem que si és hermítica és unitària.
En efecte, una matriu unitària és aquella que compleix . I tenim que
Que només si és hermítica, es compleix la condició i per tant tenim que és unitària.
Això és important per exemple en MQ
Aviam?
Sabem que
I volem que
La manera en com canviarà serà una rotació (complexa), preservant la normalització del nostre estat. I això serà així únicament si és hermític.
Conclusió
Donada una matriu diagonalitzable ens podem construir unes matrius de canvi de base i que ens serveixen per diagonalitzar la matriu
Quan aquesta matriu resulta que és hermítica, aquest canvi de base és unitari (o ortogonal)
Descomposició espectral
La descomposició espectral d’una matriu diagonalitzable és
Fixem-nos que una matriu diagonalitzable sempre compleix
I per tant
Cosa que implica que si , la seva matriu diagonalitzada serà del estil
I que per tant la descomposició espectral d’aquesta matriu es simplifica a
Cosa molt pràctica, ja que al ser els mateixos vectors propis, només hem de canviar els valors propis per calcular la matriu resultant de .
Inici del que no entenc
Matriu hermítica (o simplement diagonalitzable)
Pfff
Matriu idempotent (projectors)
Matriu involutiva (matrius de Pauli)
Fi del que no entenc
Això és així per qualsevol matriu diagonalitzable. És a dir que es pugui expressar com a
Ara bé, si la matriu no està sola en l’exponent, ho podem seguir fent si aquesta
I en cas de ser negatiu aquesta
Resum propietats
Física Quàntica i Física Estadística
Bla bla equació diferencial
On si fos un nombre real obtindríem com a solució , i en el cas de tenir una matriu, s’obté com a solució .
Un exemple molt clar és l’equació de Schrödinger
On és l’operador Hamiltonià, el qual és una matriu.
Un altre exemple molt clar és en física estadística. On el factor de Boltzmann és