Repàs Espai Vectorial i Espai Dual
Espai Vectorial
Un espai vectorial , en el cas general, no són fletxes en (vectors euclidians). Sinó que és una estructura algebraica abstracta (relació entre elements d’un conjunt).
Podem treballar amb qualsevol tipus d’elements, ja siguin pomes, fletxes, matrius, polinomis, derivades, funcions de quadrat sumable… que si es dona el cas que compleixen certes “regles”, estarem davant d’un espai vectorial.
Definició exacta d’espai vectorial (les regles concretes)
.png%3Ftable%3Dblock%26id%3D113c5528-967a-8186-aae9-f9d89d1e5805%26cache%3Dv2&w=1920&q=75)
Notes sobre si haurien de ser 6, 7, 8 o 10 axiomes
Nota 1: Si separem la propietat distributiva en les dues (pels escalars i pels vectors) realment tenim que hi ha 7 axiomes.
Nota 2: En molts llibres de text apareixen 8 propietats que s’han de complir i no pas 7. La que faltaria aquí és la propietat commutativa de la suma.
No és que la definició sigui incompleta, sinó que aquesta propietat es pot derivar de les altres.
Derivació
La gràcia principal està en que per definició un cos (field), ja conté l’element neutre ‘1’. I això fa trivial la propietat commutativa de la suma.
Nota 3: En altres llocs apareixen 10 axiomes. Sent els dos que resten la necessitat de estar tancats per la suma de vectors i la multiplicació per escalars, que realment són implícits en el concepte d’estructura algebraica.
A tenir en compte:
- Un espai vectorial és complet per la suma entre vectors i la multiplicació entre escalars i vectors, però de per si no té definit cap producte intern (multiplicació entre vectors).
Per més informació: .
Producte intern, norma i mètrica
Definició exacta producte intern
Nota: Hi molts tipus de productes interns: el “dot product” de tota la vida entre vectors euclidians, el producte intern entre funcions de quadrat sumable (que es fa amb una integral), la doble contracció entre tensors de rang 2…
En el cas més general però, un producte intern és aquell que compleixi la definició.
Definició Producte Intern
En el cas dels reals (simplificació)
Si dotem un espai vectorial d’un producte intern automàticament el dotem d’una norma.
Al mateix temps, automàticament podem definir angles entre vectors.
I definir-nos una mètrica en l’espai vectorial.
Per més informació: .
Espai Dual
Un espai dual , en el cas general, és el conjunt de funcions lineals que van de l’espai vectorial a un cos (és a dir un covector és qualsevol funció lineal que retorna un escalar).
De per si és una cosa molt abstracte i sense restriccions. Si agafem un vector i fem alguna cosa amb les seves components sempre podem obtenir fàcilment un escalar (per cada vector hi ha infinits covectors).
Ara bé si definim un producte intern, tenim que l’espai vectorial queda dotat d’una mètrica. Aleshores per qualsevol transformació lineal que transforma de a (sent un cos com ara els reals o els complexes) passa una cosa molt curiosa, el concepte de dualitat entre vectors i covectors.
Cada una d’aquestes transformacions lineals són “mesurables” en el sentit que podem mirar on han anat a parar tots els vectors de a sobre el cos que es treballa (per exemple la recta del reals). I resulta que aquestes transformacions lineals tenen unes matrius associades, una matriu fila per cada covector.
Si sempre podem pensar una matriu fila com un vector transposat, significa que existeix un isomorfisme canònic (els dos espais vectorials són equivalents i sense necessitat de definir bases) entre els covectors, que són transformacions lineals i tenen matrius fila associats, i els vectors normals, que podem representar amb matrius columna.
Al mateix temps (ja que és un isomorfisme canònic) podem pensar qualsevol vector normal, com una transformació lineal (covector) que acaba sobre el cos.
Vídeo d’exemple
Aleshores el vector és ell mateix i viu a l’espai vectorial, però té un covector associat que és la transformació lineal que representa. Quan fem doncs el producte intern (o escalar) per exemple realment el que estem fent és agafar la transformació lineal que representa un vector i aplicar-la a un altre vector (transformem segons ).
Per més informació: .
Introducció a l’Espai de Hilbert
Espai de solucions de l’equació de Schrödinger
En mecànica quàntica, tenim partícules i sistemes de partícules descrits per l’equació de Schrödinger, la qual és una equació lineal i complexa.
Al ser una equació lineal, l’espai de solucions és un espai vectorial.
Suposem que és solució de l’eq. de Schrödinger i representa totalment l’estat quàntic 1 d’una partícula (conté informació sobre la seva energia, moment angular, spin…).
Suposem que també és solució de l’eq. de Schrödinger i representa totalment l’estat quàntic 2 de la partícula (té una energia diferent de 1 per exemple).
Aleshores per linealitat, per exemple també serà solució, i representarà un estat quàntic diferent. I així amb qualsevol combinació lineal possible.
Vectorialment, tenim que podem triar qualsevol base de solucions per descriure totes les altres (totes les bases són igual de vàlides en el món quàntic).
I, com veurem més endavant, abans de ser mesurada la partícula està en una indeterminació entre tots els estats quàntics possibles (cada un amb la seva probabilitat). Però al ser mesurada resulta que només s’obtenen experimentalment alguns d’aquests estat quàntics (en el món macroscòpic hi ha una base privilegiada).
Resumint, tenim que l’estat quàntic es pot considerar com un vector, i que una partícula abans de ser mesurada abarca tot l’espai vectorial, i és al ser mesurada que pren un vector (estat quàntic) concret o un altre.
De seguida veurem, que la notació majoritàriament emprada en Mecànica Quàntica per representar aquestes vectors (estats quàntics) s’anomena notació Bra-Ket o de Dirac.
Nota: Si és una de les solucions de l’eq de Schrödinger, aleshores passar de física quàntica a mecànica quàntica (la idea principal) és simplement considerar aquesta funció com un vector .
Vale i ara la pregunta que ens farem és a on viuen aquests vectors? Quines característiques té l’espai vectorial de solucions?
L’espai de Hilbert
La resposta és que viuen en un espai vectorial anomenat Espai de Hilbert. El qual sembla molt fancy i avançat però senzillament és un espai vectorial (estructura algebraica) amb dues restriccions extres.
- És un espai vectorial dotat d’un producte intern Hi ha un isomorfisme entre i i per tant podem representar els covectors (transformacions lineals) de la mateixa manera que representem els vectors, és a dir amb components expressades en una base.
Nota: El producte intern quan és sobre els complexos és més sofisticat que quan és sobre els reals (has de fer el conjugat al aplicar linealitat pel primer argument).
Definició producte intern sobre els reals i sobre els complexes
Reals
Complexes
D’aquí se’n deriva que el producte intern complex és lineal en el primer argument i anti-lineal en el segon (hem de fet el conjugat al entrar o treure un escalar).
Nota: En un braket aquesta antilinealitat va al revés, això és degut a que el braket es defineix a partir del producte intern així: .
- L’espai vectorial és “Cauchy Complet” (complet per qualsevol suma convergent) Encara que tinguem una suma infinita, el vector resultant formarà part de l’espai vectorial.
Un espai (vectorial) de Hilbert pot tenir dimensió finita, o dimensió infinita.
Espais de Hilbert de dimensió finita
Quan són de dimensió finita, el segon requeriment (Cauchy complet) no és necessari.
I per tant qualsevol espai vectorial de dimensió finita dotat d’un producte intern és un espai de Hilbert.
Nota: a un espai de Hilbert de dimensió finita també se’l pot anomenar inner product space o espai pre-Hilbertià.
D’aquests ja en coneixem uns quants. Aquí alguns exemples.
Exemples
Nota
Recordem que un espai vectorial és sempre sobre un cos (els escalars poden ser nombres reals, però també poden ser nombres racionals, complexes o fins i tot imaginaris).
Quan pensem en un espai vectorial euclidià sempre és sobre . El típic espai vectorial geomètric que representem en 2D sempre és sobre per exemple.
En el cas d’un espai de Hilbert, direm que és un espai de Hilbert real quan sigui sobre i direm que és un espai de Hilbert complex quan sigui sobre .
Espais de Hilbert de dimensió infinita
Bla bla
Exemples típics
- (funcions de quadrat sumable, en hi ha infinites)
Propietat principal
Bla bla convergents per qualsevol suma, complets (banach space) bla bla diagrama
Per més informació: .
Notació Bra-Ket definició
Vídeo resum com pensar la mecànica quàntica
Algun dia explicar-la més pas a pas i el seu perquè…
Notació per designar que l’espai vectorial és tancat
Tancat per la suma
Tancat per la multiplicació amb escalars
Nota important: Notació producte intern matemàtics vs físics
Definició (matemàtiques)
- En matemàtiques es fa servir per denotar el complex conjugat i en física es fa servir , ja que l’altra notació es reserva pels spinors de Dirac.
- En el producte intern matemàtic es sol definir tal que compleix linealitat en el 1r argument i anti-linealitat en el 2n . Mentre que en física, quan es fa el producte intern en notació Bra-Ket es considera lineal en el 2n argument i anti-lineal en el 1r.
Ho podem pensar com que s’ha definit el producte intern diferent (propietat ) o simplement (com es prendrà en aquests apunts) que el producte intern en notació bra-ket es defineix tal que així
Recordem també que al fer els productes escalars típics fèiem
Ara bé, això és en matemàtiques. En física, quan estem fent mecànica quàntica, ja que en notació bra-ket és tenim que
Producte intern en notació Bra-Ket (definició)
- Lineal en el 2n argument
- Anti-lineal en el 1r argument
Què passaria si no féssim el conjugat dels escalars?
Però volem que per qualsevol vector. Aleshores hem d’imposar que pel primer argument sigui lineal però faci el conjugat
- Simetria hermítica
Per què fem el conjugat?
De la mateixa manera, si volem que la norma sigui positiva tenim que hem de fer el conjugat al girar els arguments del braket.
- Existeix un únic vector tal que la seva norma és zero (el vector zero)
Expressar vector en una base ortonormal
Una base ortonormal és aquella tal que
Sempre podem expressar un vector en una base
Però si a més aquesta base és ortonormal, ens facilitarà bastant els càlculs.
La principal gràcia és que fer la “projecció” del vector en un dels vectors unitaris de la base ens retorna la component del vector.
Al mateix temps, podem fer el producte intern entre dos vectors
Producte intern entre dos vectors
Recordem: el producte de dos sumatoris és un sumatori doble
Aleshores veiem fàcilment que si són les components de i són les components de aleshores el producte intern d’aquests dos ‘kets’ és el seu bra-ket, que matricialment equivaldria a
Pas al continu
Veiem que la funció d’ona són només les components del vector en una base de dimensió infinita. És per això que en el cas discret la probabilitat era i en el cas continu era .
Molt bé, pel producte entre dos vectors quedarà
On si volem deduir (com hem fet abans) el com hem arribat a aquesta fórmula, hem de fer servir la delta de Dirac.
Deducció amb delta de Dirac
Minut 8:13
Teorema de representació de Riesz
Teorema: Aplicar un operador bra a un ket, és equivalent a fer el producte escalar entre dos kets.
I ja que per la notació Bra-Ket escrivim el producte escalar així…
…Tenim que
És a dir, la gràcia de la notació bra-ket és que ens permet intercanviar entre entitats totalment diferents sense cometre cap incongruència matemàtica (gràcies al teorema de representació de Riesz).
Operador identitat
Si tenim una base ortonormal tenim que
Desenvolupant (amb el poDder de la notació bra-ket) s’arriba a
Desenvolupament
I per tant
Operadors en notació bra-ket
Quan tenim un ket seguit d’un bra, obtenim una objecte matemàtic que ja no és ni un vector ni un covector, obtenim un tensor.
Si ho pensem això ens recorda molt a quan fèiem el producte diàdic entre dos vectors expressant-ho com una matriu columna per una fila.
Recordatori del producte diàdic
Veiem doncs que el producte tensorial ‘’ en notació bra-ket s’expressa com un ket seguit d’un bra. I que aquests tensors que ja estan expressats en una base i anomenarem operadors, es poden expressar com a matrius quadrades.
Per fer èmfasis en quan tenim al davant un operador, els designarem amb un barret (hat).
Significat físic dels operadors
El postulat [insertar num] de la mecànica quàntica ens diu
Tots els observables tenen un operador associat
Aleshores la posició , el moment lineal , el moment angular , l’energia … tenen els seus corresponents operadors …
Quina és la diferència exacta? Bé, és una equació de valors propis i vectors propis.
En què per cada vector propi, per exemple , si li apliquem l’operador associat a l’energia , obtenim un valor propi .
Això implicarà (ja que no podem mesurar un valor d’energia complexa) que els valors propis han de ser sempre reals i per tant (és un teorema que ja veurem) els operadors han de ser hermítics.
Observables
Els observables són operadors hermítics.
Un operador hermític actuant sobre un vector propi (o autoestat) retorna un valor propi real.
El conjunt de vectors propis (autoestats, que poden o no ser estats estacionaris) formen una base ortogonal, és a dir són linealment independents i abarquen tot l’espai vectorial.
Ja que podem normalitzar qualsevol base, i ja que realment no és important en quina base de vectors propis treballem, sinó simplement que es corresponguin a la base mesurable en experiments. Triarem per conveni que la base de vectors propis sempre està normalitzada, i per tant és una base ortonormal.
Regla de Born
Si agafem una base ortonormal de vectors propis, qualsevol estat quàntic expressat en aquesta base tindrà unes components per cada vector propi.
La regla de Born diu que la probabilitat de mesurar l’estat quàntic en un estat concret, és exactament el mòdul de la component d’aquell estat al quadrat
La regla de Born no té perquè ser necessàriament un axioma. Intuïtivament és fàcil pensar que la probabilitat de trobar un estat concret dependrà només de la seva component, és a dir . Ara bé perquè i no a la 3 o simplement el mòdul
El fet de que sigui exactament el mòdul al quadrat es pot derivar a través del que s’anomena Teorema de Gleason simplement assumint que la norma de l’estat quàntic és sempre la mateixa al canviar de base.
Valor esperat
El valor esperat d’un observable donat un estat quàntic és
On . En el cas continu tenim
On és la densitat de probabilitat.
Operadors hermítics
Ja que un operador aplicat a un ket retorna un altre ket, podem adoptar-ho a la notació expressant-ho tal que així
Aleshores un producte escalar, entre dos kets, el segon dels quals ha estat transformat per un operador es pot expressar d’aquestes dues maneres
Molt bé, la pregunta que ara ens fem és, existeix algun operador tal que aplicant-lo al primer ket quan fem el seu producte escalar obtinguem el mateix valor numèric?
La resposta és que sí, i s’anomena operador hermític adjunt .
Propietats hermític adjunt
Altres propietats
- , amb
Quan un operador és igual al seu operador hermític adjunt diem que l’operador és hermític.
Operador expressat en una base
Es pot derivar (mitjançant la notació bra-ket) que el resultat d’aplicar un operador en un ket es pot expressar tal que així
Derivació
I que per tant qualsevol operador es pot expressar en una base de la següent manera
En el cas continu tindríem
Un operador hermític té valors propis reals
Si ara calculem l’operador hermític adjunt d’un operador expressat en una base obtenim
Derivació
Si l’operador és hermític podem passar el valor propi a l’esquerra fent-ne el conjugat
I veiem que tenen el mateix valor propi i que és real. Més formalment això s’anomena el Teorema Espectral.
Propietats dels operadors hermítics
- i (valor esperat real)
Commutadors
Definició de commutador
Dos operadors commuten si
Quan dos operadors (observables) commuten vol dir que es poden mesurar a l’hora i la mesura d’un no afecta a l’altre.
En general un commutador és també un operador.
Si aquest és proporcional a la identitat pot ser útil reescriure-ho tal que així
Si tenim dos operadors i que commuten, el ket resultant d’actuar l’operador sobre un vector propi qualsevol és un vector propi de l’altre operador.
Això implica que si i formen un espai de vectors (degenerats o no), l’espai de vectors propis de no variarà al aplicar-hi .
Hi han sempre dos casos per , vectors propis degenerats o no degenerats.
Si dos operadors commuten i un té vectors propis no degenerats, podem afirmar que l’altre també té els mateixos vectors propis, és a dir .
“Non-degenerate eigenvectors of must also be eigenvectors of if ”
Operadors unitaris
Bla bla
Operador evolució temporal
Bla bla
Resum de notació i postulats
Notació d’Einstein per vectors euclidians
Notació de Dirac per vectors en un espai de Hilbert
Notació d’Einstein per covectors euclidians
Notació de Dirac per covectors en un espai de Hilbert dual
Tonteries
Sentit físic
—> vector qualsevol de l’espai de solucions —> estat\ quàntic
—> vector qualsevol de l’espai vectorial d’energia —> també és un espai de Hilbert però és un espai diferent de l’espai de solucions (malgrat tenir la mateixa dimensió).
—> moment angular
—> moment angular en l’eix
—> spin
Exemple
Suposem energia discretitzada i valors experimentals possibles finits
El vector s’expressa en la base
Al ser de dimensió 3, podríem intentar representar-lo en , ara bé, el més probable és que els coeficients siguin complexes i per tant necessitéssim 6 dimensions per visualitzar-lo.
Molt bé, imaginem que ara canviem la base en la que expressem aquest vector. Si ho pensem, sempre podem construir nous vectors base com a combinacions lineals dels que coneixem i expressar en aquesta nova base.
De totes les bases possibles, en quina ens interessa expressar el vector genèric energia? Doncs en la base dels valors que és possible obtenir experimentalment, ja que a la natura només som capaços de mesurar aquests estats.
Molt bé suposem un sistema físic que efectivament presenta valors d’energia discretitzats però pot prendre infinits valors diferents (per exemple l’oscil·lador harmònic quàntic).
Aleshores tenim que
I al ser un espai de Hilbert (Cauhcy complet) tenim que el vector final de la suma infinita també pertanyerà a l’espai vectorial.
Cas típic - Spin
Estem davant d’un espai de Hilbert sobre . La dimensió és el nombre d’elements linealment independents de la base, . La base triada és la dels resultats experimentalment observables.