Recursos a tenir en compte
Vídeos que involucren MQ i topologia
Apunts i wikipedia
Previ: Tipus de matrius
- Simètrica | Hermítica
- Ortogonal | Unitaria
- Involutiva
Previ: Definició de grup
Si tenim un conjunt qualsevol . Diem que el conjunt té “estructura” (algebraica) de grup si per tots els elements (, , ) del conjunt compleix (amb una operació binària que denotarem per ‘’), les següents propietats.
- Ha de ser tancat —>
- Ha de complir la propietat associativa —>
- Ha de tenir un element neutre (o zero) —>
- Ha de tenir un element invers (o simètric) —>
Nota: el conjunt de matrius quadrades (per exemple ortogonals o unitàries) de dimensió formen un grup amb l’operació suma, però no és aquest el grup al que ens referim.
Les transformacions lineals associades a matrius ortogonals o unitàries (que sempre tenen inversa) són transformacions que compleixen la definició de grup amb l’operació composició.
Nota: aleshores direm que per exemple “el grup està format pel conjunt de matrius ortogonals”, i és cert, però el que té l’estructura de grup que ens interessa és el conjunt de transformacions lineals associades a aquestes matrius ortogonals.
Grup O(3)
Conjunt de matrius ortogonals, és a dir satisfan
Aquestes matrius sempre són quadrades. Si tenen files o columnes diem que formen part del grup .
Definició formal
Definició cas general:
On és el cos, el tipus d’escalars del que estan fetes les components de la matriu (nombres reals, complexes, racionals o imaginaris). I on és el “General Linear Group”, el grup de matrius quadrades que tenen (existeix) inversa.
Relacionat: Grup
És el conjunt de matrius unitaries, és a dir
És simplement una generalització als complexes. Ho veurem de seguida.
Simplement quan la matriu està formada per nombres reals li diem ortogonal i quan està formada per nombres complexos li diem unitaria. En el cas real són el mateix.
Les matrius que són ortogonals es pot demostrar que han de tenir determinant ±1
Demostració
Ja que una matriu ortogonal compleix , fent el determinant de totes obtenim
I ja que el determinant de la matriu unitat és . I una de les propietats dels determinants és que . Aleshores tenim
Quan el determinant és positiu (+1) diem que es tracta d’una rotació pura, i si és negatiu (-1) diem que es tracta d’una rotació impròpia (hi ha hagut també una reflexió respecte un eix).
Grup SO(3)
En anglès “Special Ortogonal matrix”. Són matrius ortogonals amb determinant +1.
Representen una rotació pura, és a dir sense reflexions. És el grup de rotacions pures en .
Visualització
Per més informació:
Grup de Rotació SO(3).
Grups O(2) i SO(2)
El grup inclou tan rotacions com reflexions en , mentre que és únicament el grup de rotacions pures.
L’avantatge d’aquest grup és que l’expressió matricial és molt senzilla.
Expressió matricial
Per més informació:
Grup O(2).
Grup U(2)
és el conjunt de matrius unitaries, és a dir que satisfan
Es pot demostrar fàcilment que aquestes han de complir
Demostració
De la mateixa manera que amb les ortogonals, s’arriba a que , però ara al ser matrius complexes, el determinant també pot ser complex, i pren com a solució tot el cercle unitari.
Grup SU(2)
En anglès “Special Unitary matrix”. és el conjunt de matrius unitaries amb determinant +1.
Si agafem les seves columnes i les interpretem com a vectors, aquests formarien una base ortonormal.
Per entendre perquè, clicar aquí.
Igual que és el grup de rotacions pures en , és el grup de rotacions pures en .
Relacionat:
Matrius de Pauli - Significat Geomètric.
Relació entre SO(3) i SU(2)
Formalment els matemàtics diuen que el grup és la “double cover” del grup , per entendre aquesta afirmació cal una mica de topologia, i matemàtiques relativament avançades.
És a dir la relació entre els dos grups no és ben bé trivial, tot i així i simplificant moltíssim, podríem dir que el grup “cobreix doblement” el grup “” en dos sentits importants
- Apareix una simetria
- Un angle en es correspon a un angle en
Això té molt a veure amb les matrius de Pauli, el spin d’un electró i fins i tot amb la polarització de la llum en medis materials.
Per més informació: SU(2) com a double cover de SO(3)