Recursos externs
‣
Previ: Espais topològics (cas més general d’un espai)
Resum
Quan tenim un conjunt, i definim una distància entre els seus elements (mètrica), podem definir-nos també el que s’anomenen boles obertes. El conjunt de boles obertes forma el que s’anomena “una topologia”, concretament una topologia mètrica. És en aquest sentit que un espai mètric és un espai topològic.
En el cas general un conjunt sempre té com a mínim una topologia (el conjunt potència, que és el conjunt de tots els subconjunts possibles) però pot tenir altres topologies. Una topologia dona al conjunt la noció de proximitat, i si aquesta topologia és una topologia mètrica aquesta és una proximitat mesurable.
Explicació més llarga
Previ: Què és un conjunt?
Un conjunt és qualsevol agrupació d’elements. Un element pot ser qualsevol cosa, fins i tot un altre conjunt.
Exemple: 🌶️👾
Un conjunt pot ser finit o infinit. Un conjunt pot estar inclòs dins d’un altre conjunt. Un conjunt no té ordre i si presenta elements repetits, aquests s’ignoren.
Previ: Conjunts de conjunts
Imaginem que tenim el següent conjunt
Notes importants que han de quedar clares
- Nota 0: Un conjunt ignora els elements repetits
És a dir:
- Nota 1: un conjunt d’un sol element es pot considerar un element, però un conjunt de dos o més elements no.
És a dir: però
i al mateix temps .
- Nota 2: el conjunt buit i el propi conjunt sempre són subconjunts del conjunt
És a dir: i . El conjunt buit és .
- Nota 3: La unió de conjunts és agafar tots els elements que apareguin en els dos conjunts i posar-los al conjunt unió
És a dir: i però cal tenir en compte que per conjunts que contenen altres conjunts .
- Nota 4: Un conjunt de subconjunts no pot ser subconjunt.
Sinó tot el contrari
- Nota 5: Fem servir el símbol per indicar que un element pertany a un conjunt, i fem servir el símbol per indicar que un conjunt està inclòs dins d’un altre. Només els podem intercanviar quan ens referim a un conjunt que sols té 1 element.
És a dir: i .
Si és un conjunt de més elements tenim però . Que fos un element implicaria que pertany a un conjunt tipus .
Què és “una topologia”?
Nota: “una topologia” i “topologia” són coses diferents. Topologia és una branca de les matemàtiques i “una topologia” és (ara ho veurem) un conjunt de conjunts.
Conjunt potència
Recordem el nostre conjunt simple
A partir de podem formar els següents subconjunts
- (conjunt buit)
- (el propi conjunt)
I ja està, no en hi ha més, 4 en total.
Notar que no hi ha més subconjunts. Per exemple . I al mateix temps no és ni un subconjunt.
Molt bé, i si agaféssim un conjunt de 3 elements, com per exemple , quants subconjunts podríem formar? Anem a veure-ho.
Veiem doncs que obtenim 8 subconjunts. De fet si el nostre conjunt té elements, sempre podrem fer un total de subconjunts.
Al conjunt de tots aquests subconjunts se’l anomena conjunt potència (power set).
Si aleshores .
Molt bé, i ara ve la gràcia: El conjunt potència és una topologia (sobre el conjunt ). Però no sols el conjunt potència, sinó subconjunts del conjunt potència també poden ser “una topologia”.
Definició exacta d’una topologia
Exemple
Si és el conjunt i el conjunt potència.
Primer de tot podem comprovar que el conjunt potència és una topologia
Comprovació
- (exemple)
- i (exemples)
Agafem els elements que vulguem de sempre es compliran les condicions 2 i 3.
Però a part, hi ha alguns subconjunts del conjunt potència, que també són una topologia
Per exemple
Comprovació
- (exemple)
- i (exemples)
Agafem els elements que vulguem de sempre es compliran les condicions 2 i 3.
Aleshores podríem dir que i que … seria una manera d’indicar que els dos conjunts de subconjunts compleixen la definició de topologia .
Al parell l’anomenaríem espai topològic. A un conjunt doncs, el podem equipar amb diferents topologies i per tant podem obtenir diferents espais (topològics).
Algunes coses que cal aclarar
- Nota 1: Els conjunts han de ser oberts, això és molt important. Com ara veurem.
De moment tot el que estem dient no sembla que tingui gaire a veure amb el que ens interessa. Però ara ve la gràcia.
Si tenim una mètrica, és a dir si podem definir una distància entre elements d’un conjunt…
Definició de Mètrica
Tenim que podem definir el que s’anomenen “boles obertes” (open balls).
Definició bola oberta
El qual són conjunts oberts. Bé, doncs a partir del conjunt de boles obertes possibles obtenim una topologia, la qual s’anomena topologia mètrica.
És a dir que si tenim un mètrica automàticament tenim un espai topològic.
Nota sobre el tema extreta de Stack Exchange.
“Using the topology we can define notions that are purely topological, like convergence, compactness, continuity, connectedness, dimension etc. Using the metric we can talk about other things that are more specific to metric spaces, like uniform continuity, uniform convergence and stuff like Hausdorff dimension, completeness etc, and other notions that do depend on the metric we choose.”
Relacionat: Teorema de Nagata-Smirnov
Teorema: A topological space is metrizable if and only if is regular and has a basis that is countably locally finite.
Què vol dir que un conjunt sigui regular? I que tingui una base que es pot contar localment?
Un altre dia… no cal endinsar-se tant.
Tipus d’espais topològics
Jerarquia bàsica
.png%3Ftable%3Dblock%26id%3D113c5528-967a-81ba-bc74-d9462108d197%26cache%3Dv2&w=1080&q=75)
Més concretament
Un espai vectorial no sempre és un espai topològic, en general són conceptes molt diferents.
Ara bé, tots els espais vectorials normats són espais topològics, i dins dels espais normats tenim els que són complets i els que tenen definit un producte intern. Si es dona el cas que tenim les dues coses els hi diem espais de Hilbert.
Un espai de Hilbert pot ser de dimensió finita o infinita. és un exemple d’espai vectorial euclidià, el qual és un espai de Hilbert de dimensió finita (3), mentre que (funcions de quadrat sumable) és un exemple d’espai de Hilbert de dimensió infinita.
Producte Intern
Definició producte intern
Norma
Definició de norma
Norma induïda per un producte intern
Altres exemples de normes (que no necessiten producte intern).
- -norma quan l’espai vectorial és o (i per tant el vector es pot expressar com una tupla d’escalars).
- -norma quan l’espai vectorial és (funcions integrables).
Nota 1: fixar-se que en els dos casos, quan obtenim la norma induïda per un producte intern.
Nota 2: a la -norma se l’anomena sovint “norma euclidiana”. És un mal nom ja que un espai vectorial amb norma euclidiana no és necessàriament un espai vectorial euclidià (per exemple l’espai té norma euclidiana però no és un espai vectorial euclidià). Només són espais vectorials euclidians.
Més informació sobre les -normes
Nota: Que s’anomeni norma euclidiana no implica que l’espai sigui . De fet només és un espai euclidià si la seva norma és euclidiana, però se li poden definir altres normes.
Ortogonalitat
Com es defineixen els angles?
Sempre es compleix la desigualtat de Cauchy-Schwarz
Si els vectors són unitaris tindrem que i per tant podem definir que els vectors són paral·lels quan i ortogonals quan el seu producte intern dona zero .
Recordem que sempre que tenim un vector i l’espai vectorial està normat, podem obtenir el seu vector unitari (normalitzar-lo).
Si hi ha un continu (l’espai vectorial és sobre un cos com ara els reals o els complexes), podem mesurar aquest interval que va d’ortogonals a paral·lels amb un angle .
Mètrica
Definició de mètrica
Mètrica a partir de norma
Tensor mètric
Relació entre la mètrica (distància) i el tensor mètric
En relativitat especial i general el que ens interessa és el tensor mètric. La mètrica no ens interessa gaire, ja que per la noció de distància ja tenim l’interval espai temps .
Tot i així, la mètrica correspondria efectivament a la induïda pel producte intern. Això és:
On en notació inicial (amb el conveni d’Einstein)