Subpàgines
Transport Paral·lel
Relacionat
Resum
El tensor mètric és un producte intern
El tensor mètric és una generalització del producte escalar
Coses a notar
- si només si és simètrica, és a dir .
- Per definició (i en concordança amb la RG), el tensor mètric sempre és simètric.
- sempre
- i per tant es compleix la definició de producte intern
El tensor mètric a relativitat especial no cal entendre el seu significat geomètric, només saber utilitzar-lo. Ara bé, quan la mètrica canvia a cada punt de l’espai, hem d’entendre com es calcula.
Explicació del tensor mètric per relativitat general (en procés)
Vídeo útil a mirar
Info que pinta útil
“A metric tensor takes two tangent vectors and returns a number, their inner product. Under a coordinate transformation or a map between manifolds, tangent vectors u are transformed (pushed-forward) by the differential of the map represented by the Jacobian matrix: u↦Ju, and the Euclidean inner product , és a dir que el tensor mètric és .
1a part
Nota prèvia
Els vectors euclidians o vectors geomètrics són un cas particular dels “coordinate vectors”, els quals són vectors que es poden expressar com a tuples d’escalars, això implica (per escalars típics) que . I aquests són un cas particular dels vectors genèrics.
Molt bé, a partir d’ara assumirem que estem en un espai vectorial format per “coordinate vectors”, és a dir .
Idees clau
- Si tenim un espai curvat (manifold) localment es pot aproximar a un espai euclidià. Considerem l’exemple d’una esfera en 3 dimensions que a cada punt de la seva superfície té un pla tangent. Podem projectar tots els punts de l’esfera en el pla tangent, i per la regió més propera (local) aquesta serà una bona aproximació.
- Aleshores podem definir un mapa (transformació no-lineal) que va de la regió curvada (l’esfera sencera) a la regió plana.
Nota: Si expressem la superfície de l’esfera en coordenades cartesianes i ho projectem al pla passem de una graella curva a una graella recta, però també podem representar la superfície de l’esfera com una graella recta (on ara els eixos són i ) que al ser projectada en el pla tangent pren una forma curva. En tot cas la transformació sempre serà no-lineal.
- Quan tenim una transformació no-lineal (com per exemple quan passem de coordenades curvilínies a cartesianes o al revés), podem aproximar localment la transformació a una transformació lineal a partir de la matriu Jacobiana.
- Nota important: No hi ha una única projecció que vagi de l’esfera al pla (per exemple de mapes de la Terra tenim el mapa de Peters, el de Mercator…).
- Tot i així, si considerem que el manifold ja té unes curves definides (els meridians i paral·lels), aleshores la projecció “més natural” és aquella que pren com a vectors tangents les derivades direccionals (en la direcció de les curves).
- Molt bé, doncs la idea clau està en que si tenim un vector pintat a la superfície de l’esfera i el volem fer tangent, hem d’utilitzar el que serà el tensor mètrica.
- I el tensor mètrica serà justament la jacobiana transposada amb ella mateixa
Resum
Aleshores a cada regió de l’espai ens podem definir un espai vectorial tangent. El qual es defineix amb la derivada i nsq.
Vale aleshores
2a part
Exemples de Mètriques
Nota 1: Realment diem “mètrica” com a abús de terminologia i estem fent referència a “tensor mètrica” no pas a una mètrica en el sentit de distància.
Nota 2: El tensor mètrica realment és un camp tensorial (un tensor a cada punt de l’espai) però en el cas de la relativitat especial (espai-temps pla) és el mateix a tot arreu.
Nota 3: Aquí fem servir per indicar que és una mètrica general, però algunes mètriques especials tenen la seva pròpia lletra, per exemple és la mètrica de Minkowski.
Mètrica euclidiana 2D
Mètrica Minkowski 2D+1
Mètric euclidiana 3D
Mètrica Minkowski 3D+1
Cas mètrica general 2D
Començarem (per facilitar la vida) amb el cas d’una mètrica 2D.
Pujar i baixar índexs
“La mètrica baixa els índexs”
Això implica que per exemple en la mètrica de Minkowski:
El que ens permet expressar el producte escalar entre dos vectors com a
La mètrica sempre té els índexs a baix, i la mètrica inversa (matriu inversa) els té a dalt.
“La mètrica inversa sempre puja els índexs”
Nota: La mètrica inversa és realment però pel fet de tenir superíndexs ja indica que és la inversa. És a dir
En el cas de Minkowski i el cas euclidià ja que (-1)·(-1)=1 i 1·1=1 els dos tensors tenen les mateixes components.
3a part
Tensor mètric general
Relativitat especial - Mètrica de Minkowski 3D+1
Nota 1: Hi ha dos tipus de “signature” per aquesta mètrica, el que la diagonal és (-1,1,1,1) i el que la diagonal és (1,-1,-1,-1). En aquests apunts triarem la primera.
Nota 2: El fet de que hi hagi (-1,1,1,1) a la diagonal és perquè estem representant la mètrica de Minkowski en coordenades cartesianes. En esfèriques per exemple seria (-1,1,).
Nota 3: Les mètriques en general poden tenir valors a cada component de la matriu. Si només tenen elements a la diagonal s’anomenen mètriques de Lorentz (o pseudo-Riemannianes) i si aquests elements són tots positius s’anomenen mètriques Riemannianes.
Sobre tensors mètrics i manifolds
Al mateix temps, una mètrica fa referència al manifold (tipus d’espai) sobre el que estem. Ja que la mètrica de Minkowski és una pesudo-Riemanniana, implica que l’espai en el que vivim (un espai-temps curvat) és un Manifold pesudo-Riemannià.
Definició tensor mètric
Definition: A (Riemannian) metric tensor field on a smooth manifold M is a map which assigns, in a "smooth" way, to each point p∈M an inner product gp on the tangent space TpM.