Enunciat
Context previ
Un oscil·lador harmònic bidimensional (i isòtrop) és una mica diferent del oscil·lador harmònic unidimensional. A 
P3 Gener 2024 està explicat més detalladament.
Entre les diferències principals hi ha el fet que els estats excitats presenten degeneració.
- L’estat fonamental no té degeneració
Ens diuen que prenguem sistema de unitats .
- El 1r nivell d’energia del sistema té dos estats corresponents
- El 2n nivell d’energia del sistema té tres estats possibles
Apartat A
Els tres estats amb menor energia seran
Prenent (tal com diu l’enunciat) .
Si no tenim les funcions d’ona de l’oscil·lador harmònic unidimensional apuntades, les podem calcular a partir de que ens dona l’enunciat, i mitjançant l’operador creació .
Procés
Per l’estat fonamental de l’oscil·lador harmònic unidimensional ens diuen que la funció d’ona és
I per calcular haurem de fer servir l’operador creació
Recordem que
Així doncs
I ara considerant (unitats de l’enunciat) tenim
Però realment podem tenir-les apuntades al formulari i simplement recordar que són
Veiem que sempre tindrem la següent expressió
Bé, i realment segons l’enunciat .
Així doncs, les funcions d’ona de manera explícita són
Apartat B
Introducció
Anem a fer teoria de pertorbacions degenerada. Tenim el hamiltonià del nostre sistema sense pertorbar i li introduïm una pertorbació .
A l’enunciat li diuen a la (paràmetre que gradua lo petita que és la pertorbació), i ja la inclouen dins de és a dir . Nosaltres ho farem mantenint la notació de la manera típica i tal com està explicat a la teoria.
Recordem els passos de teoria de pertorbacions degenerada
- Trobar les matrius i (en la base pròpia de )
- és diagonal (i degenerat), els elements són que ja coneixem.
- no és diagonal, els elements es calculen fent .
- Trobar la base “bona” diagonalitzant (en el subespai de la degeneració)
- Les correccions a 1r ordre de l’energia seran els valors propis
- Els vectors propis (estesos) són els estats “bons”
- Aplicar teoria de pertorbacions (no-degenerada) als estats “bons”
- Les correccions dels estats seran
- I les correccions a segon ordre de l’energia seran
Pas 1: Trobar les matrius i
La matriu del hamiltonià sense pertorbar estarà format per les energies que hem trobat al primer apartat.
La matriu corresponent a la pertorbació, la trobarem a partir dels bra-kets següents.
Si volguéssim, podríem fer servir la notació i passar el hamiltonià en funció dels operadors creació i destrucció i aprofitar les seves propietats per obtenir els bra-kets (de fet seria més senzill ja que no hauríem de fer cap integral). Seguint aquest mètode es resol el P3 Gener 2024, en aquest però, ho farem fent integrals.
De manera general tindrem per tots els bra-kets
On és el producte de dos dels següents elements: , i .
Anem a calcular-los doncs. Si ho fem, veurem que per paritat tots donen zero
On hem utilitzat que les funcions senars al integrar-se (en un interval simètric) donen zero, i que al ser una exponencial sempre podem separar una integral doble en el producte de dues integrals simples (una per la i l’altra per la ), amb que una de les dues tingui una potència senar ja donarà zero.
I per l’última integral hem utilitzat l’ajut de l’enunciat, que són unes fórmules que també es poden trobar a la subpàgina integrals gaussianes.
Així doncs la matriu és
Pas 2: Trobar la base “bona” diagonalitzant
La diagonalització és bastant immediata
Els valors propis, són doncs
Que es corresponen a les correccions de l’energia . Si ens ho demanessin, els desplaçaments a 1r ordre de l’energia són i les energies corregides
On pels nivells no degenerats, és a dir
I en la notació de l’enunciat queda
I ja estaríem.
Si ara ens demanessin els estats corregits o les energies a segon ordre, primer estendríem els estats propis trobats (no sols en el subespai de la degeneració), i considerant per l’estat no degenerat, tindríem
I aquests serien els estats “bons” als quals podríem aplicar les fórmules de teoria de pertorbacions no degenerada.