Funció gamma
Definició
Per valors reals positius es defineix:
Propietats
Definició per valors negatius
Per valors reals negatius, s’utilitzen les propietats.
Exemple: Càlcul del valor de
Alguns valors concrets
Càlcul de
Solució integral Gaussiana: Vídeo demo
Sabent el valor d’aquesta integral podem calcular
Fórmula per nombres semienters positius
A partir de la propietat s’observa que
I coneixent el valor de , la fórmula per semienters positius queda
Expressió alternativa
A partir de la identitat següent (doble factorial per nombre senars)
Podem reescriure l’expressió sense involucrar dobles factorials
Extra: Valors concrets més avançats
Nota: les següents són constants transcendentals i independents algebraicament de
Valors numèrics aproximats
Alguns valors concrets per
Alguns valors concrets per
A partir de la propietat podem calcular més valors
Més informació sobre valors particulars de la funció Gamma
Extra: Gràfic de la funció Gamma
Gràfic per valors reals
Gràfic per valors complexes
Gràfic interactiu fet amb Plotly
Integrals impròpies relacionades (Integrals Gaussianes)
Introducció
En física sovint necessitem calcular les integrals d’aquest tipus de funcions:
A on es fa servir això?
Física Estadística, Mètodes I, Astro…
Valor mitjà d’una variable en què la seva densitat decau exponencialment
“Recordem que i per tant cal saber trobar també i ”.
Física Quàntica i Mecànica Quàntica
Moltes vegades la funció d’ona té un terme que decau exponencialment
I per normalitzar-la o per trobar valors esperats necessitarem integrals gaussianes
Com solucionar-les
1. Integral de
Fent un canvi de variable obtenim
Procediment canvi de variable
Canvi de variable:
Diferencial:
Notar que per aquesta integral no podem estendre l’interval d’integració.
Exemples ràpids
2. Integral de
A partir d’un canvi de variable obtenim
Procediment canvi de variable
Canvi de variable:
Diferencial:
Per senar
No entenc com dona
Per parell
Exemples ràpids
En aquest cas la funció presenta simetria i per tant podem estendre l’interval d’integració.
Repàs de paritat de funcions
Les següents funcions presenten simetria parell (EVEN) o senar (ODD).
Per aquests funcions es compleix
Per més informació entrar a
Per senar
Per parell
Exemples ràpids
3. Integral de
Exemples ràpids
Tenim que per
Per
Per
Per
Per
Fórmula general
On és una funció de part entera, que indica que sempre es pren el número més baix. En el cas de (que és el que considerem ja que sinó la integral divergiria) és equivalent a la funció truncament. Per exemple .
Per si es necessita: primers valors del sumatori
Podeu si voleu comprovar, que el sumatori dona efectivament aquests valors. I que multiplicats per donen efectivament els resultats de les integrals.
Com obtenir aquestes integrals
Deducció de la fórmula general (procediment)
Comprovació
Podem comprovar si volem que el resultat obtingut, és equivalent al que consta al Wolfram MathWorld:
‣
Notes conceptuals prèvies
Fixem-nos que
- La part de la serà només una constant que podrem treure de la integral
- Amb un canvi de variable sempre podem aconseguir
- Poder solucionar per és equivalent a poder solucionar per
- Encara que el paràmetre dins de només modifica la posició de la funció i no la seva àrea. Quan la funció es troba multiplicada per , el paràmetre sí que en modifica l’àrea, i per tant la integral. Això ho podem veure en el Geogebra mateix.
1r Pas: Arreglar l’exponent
Arreglem l’exponent per tal d’obtenir una integral del tipus que ja sabem fer.
Pasos (molt senzills) seguits
Primer traiem com a factor comú la a l’exponent
Després arreglem lo de dins el parèntesis a partir de la identitat notable següent
Que en el nostre cas queda
Tornant a multiplicar per la obtenim
I finalment, posant-li un signe negatiu a tot obtenim l’expressió que hem esmentat.
Així doncs podem treure la part que és constant fora de la integral
A partir d’ara treballarem amb i ja al final farem .
2n Pas: Canvi de variable
Definim , i realitzem el canvi de variable
Fixem-nos que l’interval d’integració no canvia ja que sumar un nombre finit a infinit segueix donant infinit.
Nota procediment casos particulars
Ara ja podríem procedir a calcular fàcilment el resultat si volguéssim.
Per exemple per , ens quedaria
També podríem calcular fàcilment per
Tot i així, el que a nosaltres ens interessa demostrar, és el cas general per una arbitrària. Necessitarem doncs utilitzar el binomi de Newton.
3r Pas: Binomi de Newton
Recordem de que
Així doncs podem expressar el nostre parèntesis així
4t Pas: Veiem com queda la l’integral
Així doncs les següents dues integrals són equivalents
Entrant la integral dins del sumatori (tal com veiem a ), i traient les constant fora de la integral, obtenim
Raonament clau: Paritat de les funcions
Fixem-nos que tenim aquí una suma d’integrals. Aquestes integrals són de la forma .
Sabem que per senar, aquestes integral es faran zero, al ser funcions senars en intervals simètrics. Així doncs, només sobreviuran les integrals en què sigui parell.
Al estar la integral a dins d’un sumatori, és equivalent a dir que tots els valors pels quals sigui senar, no contribuiran a la suma.
5è Pas: Separem el sumatori
Sabem que sempre podem separar un sumatori de nombres naturals en un de parells i un de senars. La manera correcta de fer-ho és
Per què ?
Sovint estem acostumats a expressar la separació de nombres naturals parells i senars en un sumatori infinit
Ara bé, quan el sumatori és finit, cal tenir en compte en la separació, que ara no poden anar els dos sumatoris des de fins a .
Anem a veure-ho amb un exemple molt senzill
Aquesta suma, la podem considerar com una suma de parells i una de senars
Si ara volem cada suma d’aquestes com un sumatori de parells i senars, és a dir
Necessitarem pel nostre cas que el primer sumatori vagi de fins a ja que volem () i que el segon vagi de fins a per obtenir ().
Si ens fixem això és equivalent a dir que volem que el primer vagi des de fins a i que el segon vagi des de fins a .
Ho podem provar amb qualsevol , que al fer la separació entre senars i parells, la correcció correcta en l’interval dels sumatoris sempre serà aquesta.
De manera més formal. Considerant que un sumatori també pot incloure nombres negatius (per exemple que vagi de a ). Utilitzarem la funció ‘pis’ o “floor function”, la qual és una generalització de la funció truncament però pels reals.
Nota: On és la funció “floor” o “pis”, una funció de part entera que sempre retorna l’enter més baix. Per nombres positius (nosaltres sempre considerem ja que sinó la integral divergiria) és completament equivalent a , la funció truncament.
Aleshores, sent conscients que pel nostre sumatori la part senar es farà zero, ens quedarem només amb el sumatori dels parells . Així doncs
6è Pas: Resolem la integral
Hem vist a l’apartat anterior d’aquesta pàgina que
Així doncs tenim que la part que hem d’integrar quedarà
I per tant la integral serà
I la integral final, tindrà per expressió
Fins aquí aquesta demostració :)
Extra
Antic (hi ha alguna cosa útil encara)
(aquest apartat no està bé, està en revisió)
Per resoldre aquesta integral ens anirà bé fer un repàs sobre la distribució Gaussiana, també anomenada distribució normal.
Resultat trobat a internet
Repàs distribució Gaussiana
La distribució gaussiana o distribució normal té com a expressió:
En què és el valor mitjà de la variable i és la anomenada desviació estàndard.
Per no allargar-se aquí explicant el significat estadístic d’aquests paràmetres ni el d’on surt l’expressió, deixarem un fragment de 2 minuts d’un vídeo de 3Blue1Brown que ho explica.
Vídeo explicació 3Blue1Brown
Molt bé, la distribució normal (com qualsevol funció realment) té uns moments (matemàtics) associats. Per la distribució normal aquests moments són
On es compleix que
Nota: quan a la pàgina de estigui més completada i això estigui explicat bé i al detall allà, simplement referenciar-la.
Bé, doncs la gràcia està en adonar-se que podem expressar com una distribució normal si considerem i .
Bla bla
I això permet resoldre la integral en funció dels moments d’una distribució normal estàndard
Si aquí hi afegim la constant que ens faltava, l’expressió queda
Ara bé, no és trivial (veure el repàs per més informació), ja que depèn de la funció error, de fet depèn de la funció error complementària, que per pren el valor de , però per no hi ha solució analítica (crec).
Extra
L’expressió resultant d’integrar per parts:
Info
“All normal distribution can be transformed into standard normal distribution by centralized and normalized the random variable by the formula:”
“As mentioned above, the sequence of moments (starting from order 1 moment) of a normal distribution when calculated has the pattern: {μ, μ2 + σ2, μ3 + 2μσ, μ4 + 6μ2σ2 + 3σ4, μ5 + 10μ3σ2 + 15μσ4, μ6 + 15μ4σ2 + 45μ2σ4 + 15σ6, μ7 + 21μ5σ2 + 105μ3σ4 + 105μσ6, μ8 + 28μ6σ2 + 210μ4σ4 + 420μ2σ6 + 105σ8, ...”
“Thus, for a standard normal distribution, its moment sequence (starting from order 1 moment) is always: {0,1,0,3,0,15,0,105,...} (subtituting σ = 1 and μ = 0 into the sequence above”