Enunciat
Context previ
Estem en dues dimensions (tot passa en el pla ) així que l’oscil·lador harmònic és bidimensional.
Nota: sempre estudiem el cas isotropic, és a dir que si , el potencial és igual en totes les direccions , sinó seria massa complicat.
L’oscil·lador harmònic bidimensional (isotròpic) és una mica diferent de l’unidimensional.
- Presenta degeneració (el nivell d’energia té degeneració )
- El hamiltonià és la suma corresponent a dos OHS independents
- enlloc de
- enlloc de
I per tant
Amb i .
- L’estat quàntic es correspon al producte tensorial de dos OHS independents
Prenent , i
- La funció d’ona es correspon al producte de les dues funcions d’ona independents
El hamiltonià del sistema és doncs
Passant a variables adimensionals
Nota: en general fem servir com a notació una tilde per referir-nos a variables adimensionals () però en aquest exercici han decidit fer servir el símbol breve (), en tot cas és el mateix.
I a partir de les definicions dels operadors creació i destrucció (recordem-les)
Podem comprovar que es compleix i que per la resta de commutadors dona zero (ens serà útil més endavant).
Aviam?
Si algú ho vol fer, endavant.
S’arriba a l’expressió
On es compleix que
Apartat A
Aïllant les variables unidimensionals en funció dels operadors creació i destrucció obtenim
Substituint-les a la definició de que ens dona l’enunciat i desenvolupant una mica, podem aconseguir demostrar el que ens demanaven.
On hem utilitzat que
Apartat B
Ens demanen els estats corresponents al segon nivell excitat del sistema.
Hi ha tres maneres de sumar , de manera que hi haurà tres estats (del sistema) corresponents a aquesta energia. Dit d’altra manera el segon nivell d’energia té degeneració .
Càlcul de la degeneració pel cas general
Si un oscil·lador harmònic té dimensions, on
Es compleix que la degeneració és
Les funcions d’ona d’aquests tres estats seran doncs
Si volguéssim les podríem calcular explícitament
Funcions d’ona dels tres estats calculades explícitament
Recordatori funció d’ona oscil·lador harmònic unidimensional
De manera explícita les funcions d’ona dels tres estats són
Però no és el que ens demanen a l’enunciat (ens demanen l’estat quàntic enlloc de la funció d’ona) així que podem donar-los simplement així
Que en notació simplificada són
Aquests estats són els de la base pròpia del hamiltonià del sistema (abans d’introduir la pertorbació).
Apartat C
De moment aquests dos apartats eren molt immediats i relativament fàcils, ara per compensar ens posen teoria de pertorbacions degenerada :)
Tenim un hamiltonià sense pertorbar anomenat (que és amb el que hem estat treballant fins ara i anomenàvem ). I li afegim una pertorbació que ens dona l’enunciat.
Podríem expressar-ho tot si volguéssim en funció de les variables o les variables adimensionals , i fer els bra-kets que ens sortirien (al calcular la matriu ) mitjançant integrals i utilitzant les funcions d’ona del sistema, però ens serà més fàcil procedir si ho deixem en funció dels operadors creació i destrucció , i aprofitem les seves propietats.
Anem a simplificar l’expressió de la pertorbació definint una constant
Molt bé, recordem els passos de com procedir en teoria de pertorbacions degenerada.
- Calcular les matrius i (en la base pròpia de )
- Trobar la base “bona” diagonalitzant (en el subespai de la degeneració)
- Aplicar teoria de pertorbacions (no degenerada) als estats “bons” (propis de la base “bona”)
- Calcular la correcció dels estats (a 1r ordre)
- Calcular la correcció de l’energia a 1r ordre, i si és necessari també a 2n ordre
Pas 1: Trobar les matrius
A nivell matricial, en la base pròpia d’ (base ) el hamiltonià no pertorbat és diagonal (però degenerat)
I la pertorbació és
Si calculem aquests bra-kets veurem que la majoria es simplifiquen o s’anul·len, donant lloc a la matriu
Procés
Sabem de la teoria d’oscil·lador harmònic unidimensional que
En el cas bidimensional és exactament igual
Però cada operador actua únicament en el seu subespai. Per exemple:
També ho podríem pensar com que al fer la distribució del parèntesis, l’operador actua en l’altre subespai sense alterar-lo (es correspon a la matriu identitat). De manera que per exemple
Si en tinguéssim moltes ganes i ho volguéssim fer més formal, podríem fer com a sistemes compostos i agafar els operadors (matrius infinites) i “estendre’ls” multiplicant-los tensorialment per la identitat (a un costat per operadors i a l’altre per operadors ) de manera que cada operador actuaria (matricialment) únicament en un dels dos subespais dels estats del sistema (també estesos). Però la veritat és que no cal complicar-se tant.
I per tant, els kets resultants d’aplicar l’operador als estats de la base, seran
El procediment correcte al fer un bra-ket compost és
Així doncs el calcular els bra-kets corresponents a les components, farem
Que són les components de la matriu que buscàvem
Les matrius anti-simètriques només són diagonalitzables en els complexes. (Ens sortirien valors propis complexes).
Aviam?
Així doncs els valors propis veiem que són
Així que tan per tant podem substituir de nou
Pas 2: Diagonalitzar
En aquest cas el subespai corresponent a la degeneració (d’) és tota la matriu així que diagonalitzarem sencera.
Així doncs els valors propis són
Bé, realment els valors propis de són
I si hem entès la teoria sabem que es corresponen a les correccions a primer ordre de l’energia. (Són els elements diagonals de en la base “bona”, , i aquests són invariants sota canvis de base, així que també ho són en la nostra base).
I ja està, com que ens demanen els desplaçaments de l’energia “a primer ordre” (), ja són les correccions que hem trobat
I tot i que no ens ho demanen, les energies del sistema corregides seran
I no cal que fem res més, si volguéssim podríem calcular també les correccions a primer ordre dels estats i les correccions a segon ordre de l’energia, però no ens ho demanen.
Si ho féssim sí que hauríem de calcular els vectors propis al diagonalitzar , i prendre aquests com els estats “bons” als quals després (Pas 3) aplicar les fórmules de teoria de pertorbacions