Enunciat
Apartat 0 (previ)
Al dir ‘’ estem fent referència al vector propi que té per valor propi . Els valors propis són les entrades d’una matriu diagonal, li direm . Aquesta expressada en la seva base pròpia és
I ara el que ens donen, és l’expressió d’ en funció dels projectors dels vectors propis de . Recordem que en la base pròpia, els vectors propis s’expressen a si mateixos com els canònics , i , i recordem que una transformació lineal pot tenir diverses matrius associades, en funció de la base. El que farem serà expressar la matriu corresponent a en la base pròpia de .
Veiem que aquesta conté també el terme , anem a calcular-lo.
Així doncs en aquesta base (que no li és una base pròpia) s’expressa així
On amb el subíndex estem fent referència a la base , que és la base pròpia de .
Per trobar la base pròpia d’ l’haurem de diagonalitzar.
Procés diagonalització
Per facilitat, podem diagonalitzar només la sumbatriu que no és diagonal
Que tindran per vectors propis
Nota important: en el cas real, donat un valor propi obteníem un eix, per exemple amb , i de tots els vectors propis pertanyents a aquell eix ens quedàvem amb un dels normalitzats. Podíem triar entre vectors propis possibles de mòdul , el i , és a dir i , i podíem triar el que més ens agradés, els dos igual de vàlids.
En el cas complex, ara l’eix és on , de manera que l’eix es torna més aviat un pla complex, on qualsevol vector de la forma té mòdul i és igual de vàlid. Dit d’altra manera, ara no tenim només dues opcions a triar sinó infinites, on si volem podem prendre que el vector propi és o o o fins i tot .
Triant …
I ja sabem que que
I recordem que sempre té per valors propis energies, així doncs reanomenarem els valors propis de a .
I sempre podrem podrem expressar així
Apartat 1
Ens diuen que el nostre sistema físic es troba en l’estat
Això vol dir que si féssim una mesura en aquell instant de l’operador , el valor propi que obtindrem seria , amb un 100% de probabilitat. Ara bé, a la que passi el temps , el nostre estat quàntic començarà a evolucionar cap a un estat en superposició
La manera exacta (determinista) en com evolucionarà el nostre estat ens la dona l’operador evolució temporal .
Nota: en la forma general és , però sempre que podem considerem .
Aquí tenim la matriu dins d’una exponencial, tal com hem vist a teoria, es pot calcular seguint dos camins diferents.
Camí 1: en la base pròpia de
Hauríem de calcular la matriu resultant de
Podríem perfectament però no és la manera més intuïtiva
Procés
Bla bla (un altre dia)
La clau està en adonar-se que
I recordar que
I clarament
Al final el resultat és
Camí 2: en la base pròpia de
Ja que l’operador evolució temporal és l’exponencial d’ (i per tant diagonal en la base pròpia d’), ens serà millor expressar el nostre estat quàntic també en la base pròpia d’.
Com a matrius canvi de base
Recordatori:
De manera genèrica, si volem anar de la base a la base farem
On construirem la matriu de canvi de base a partir dels vectors propis d’.
En el nostre cas, la matriu de canvi de base que ja coneixem serà
I només hem de calcular la matriu inversa (que per una matriu 2x2 és molt ràpid)
Així doncs
Que ens permet escriure directament el que ja hem vist
Pot semblar un procés lent perquè l’hem explicat pas per pas, però si el tens per mà és pràcticament immediat.
Així doncs el nostre estat quàntic és
O matricialment
Molt bé, per veure com evoluciona , haurem de calcular abans el nostre operador evolució temporal.
El perquè es pot expressar l’operador així en forma diagonal i amb aquests valors propis ho veiem a la teoria.
Molt bé, i ara ja podem calcular l’evolució del nostre estat de manera matricial
Si volguéssim podríem tornar-lo a expressar en la base pròpia de
Procés
Ho farem a partir de la matriu de canvi de base, però també ho podríem fer substituint els vectors i en les expressions de , de fet és exactament el mateix.
Que de manera completa seria
Calculem el canvi de base
I ara simplement ho estenem a les tres dimensions.
I recordant les següents relacions trigonomètriques queda
Apartat 2
Ara hem de calcular el valor esperat de l’energia. És a dir
A priori podríem seguir dos camins amb les expressions matricials que ja coneixem
- utilitzant i l’expressió
Aviam?
- utilitzant en forma diagonal i l’expressió
Aviam?
Però hi ha dues vies encara més ràpides! Si hem entès bé la teoria sabrem que per Hamiltonians independents del temps i commuten, és a dir .
Perquè?
Per Hamiltonians independents del temps, l’operador evolució temporal és
I ja que un operador commuta sempre amb una funció d’ell mateix i el commutador és distribuïble per la suma, és a dir
Tenim que
Per hamiltonians dependents del temps en canvi la cosa no és tan senzilla
Com seria?
L’operador evolució temporal ja no té una expressió tan senzilla
I de manera general, el hamiltonià a mida que passa el temps canvia d’expressió (no és el mateix operador), així que no commuta amb ell mateix.
Així doncs els podem girar en una expressió, i com l’operador evolució temporal és una matriu unitària tenim
De manera que el nostre valor esperat es torna simplement
Aquest truc sempre és vàlid per hamiltonians independents del temps.
I ara podem calcular aquest bra-ket matricialment en qualsevol de les dues bases de manera molt directa.
- amb l’estat independent del temps
- també bastant directe
Conclusió
Sempre que tinguem un hamiltonià independent del temps, el seu valor esperat també ho serà.