Mètodes Variacionals

Recursos externs

Bla bla

Concepte

Igual que en teoria de pertorbacions independent del temps, volem resoldre el nostre sistema , però aquesta vegada no se’ns acudeix cap conegut. Així doncs com no tenim cap pista, conceptualment anirem provant diferents funcions d’ona a assaig i error i anirem mirant quina representa millor el nostre sistema.

De totes les funcions d’ona que provem, sabrem que la que millor representa físicament el nostre sistema, serà aquella que tingui un energia de l’estat fonamental corresponent més baixa.

Dit d’altra manera, buscarem una tal que minimitzi .

A la pràctica escriurem una funció d’ona típica (per exemple una gaussiana) en funció d’un paràmetre , i després calcularem l’energia corresponent a i optimitzarem respecte aquest paràmetre (), trobant , i per tant la que millor representa el nostre sistema.

El motiu pel qual sempre podem assegurar que l’energia de l’estat fonamental aproximada sempre serà major que l’energia real del sistema , el veurem més endavant.

Formulari

Procés

Obtenir la funció d’ona normalitzada en funció d’uns paràmetres

Això ho fem posant una a la funció de l’enunciat i calculant la integral .

Calcular la integral següent

Casi sempre s’ha de separar en dues integrals, una serà (que no depèn de ) i l’altra serà que haurem de calcular sí o sí.

Derivar respecte els diferents paràmetres per trobar .

Funcions d’ona típiques

🦉

TIP: en els exàmens del T. Fiol es poden dur apuntades les següents dreceres per estalviar temps.

Expressarem 3 coses útils: la funció d’ona proposada, la constant de normalització i el terme de l’energia cinètica resultant (que es posa en la integral).

Decaïment quadràtic

Gaussiana

Gaussiana multiplicada per

No sé si està bé.

Deducció ChatGPT

To calculate the expected value of the kinetic energy \(\langle T \rangle\) given the wavefunction \(\psi(x) = N x e^{-ax^2/2}\), where \(N^2 = \frac{2a^{3/2}}{\sqrt{\pi}}\), we need to compute the integral \(\int_{-\infty}^\infty \psi^*(x) \hat{T} \psi(x) \, dx\), where \(\hat{T}\) is the kinetic energy operator.

Kinetic Energy Operator

The kinetic energy operator in quantum mechanics is given by: \[ \hat{T} = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \]

Wavefunction and Normalization

Given: \[ \psi(x) = N x e^{-ax^2/2} \] where \(N^2 = \frac{2a^{3/2}}{\sqrt{\pi}}\), and \(a\) is a constant.

Kinetic Energy Expectation Value

The expectation value of the kinetic energy is given by: \[ \langle T \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^(x) \hat{T} \psi(x) \, dx \] Since the wavefunction \(\psi(x)\) is real, \(\psi^(x) = \psi(x)\).

Substituting \(\hat{T}\) into the integral: \[ \langle T \rangle = -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \frac{d^2 \psi(x)}{dx^2} \, dx \]

First and Second Derivatives of \(\psi(x)\)

Let's first compute the derivatives of \(\psi(x)\).

First derivative: \[ \frac{d\psi(x)}{dx} = N \left( e^{-ax^2/2} - ax^2 e^{-ax^2/2} \right) \] \[ \frac{d\psi(x)}{dx} = N e^{-ax^2/2} (1 - ax^2) \]

Second derivative: \[ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = N \frac{d}{dx} \left[ e^{-ax^2/2} (1 - ax^2) \right] \] \[ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = N \left[ -ae^{-ax^2/2} (1 - ax^2)x + e^{-ax^2/2}(-2ax) \right] \] Simplifying further: \[ \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = N e^{-ax^2/2} \left[ a^2x^3 - 3ax \right] \]

Expectation Value Integral

Now substitute \(\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}\) into the integral: \[ \langle T \rangle = -\frac{\hbar^2}{2m} \int_{-\infty}^{\infty} N x e^{-ax^2/2} \cdot N e^{-ax^2/2} \left[ a^2x^3 - 3ax \right] dx \] \[ \langle T \rangle = -\frac{\hbar^2}{2m} N^2 \int_{-\infty}^{\infty} x e^{-ax^2} \left[ a^2x^3 - 3ax \right] dx \]

Expanding and simplifying: \[ \langle T \rangle = -\frac{\hbar^2}{2m} N^2 \left[ a^2 \int_{-\infty}^{\infty} x^4 e^{-ax^2} dx - 3a \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2} dx \right] \]

Solving the Gaussian Integrals

Now, we solve the Gaussian integrals:

\(\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2} dx = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a^3}}\)

\(\int_{-\infty}^{\infty} x^4 e^{-ax^2} dx = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{\pi}{a^5}}\)

Substituting these into the expression for \(\langle T \rangle\): \[ \langle T \rangle = -\frac{\hbar^2}{2m} N^2 \left[ a^2 \cdot \frac{3}{4} \sqrt{\frac{\pi}{a^5}} - 3a \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\pi}{a^3}} \right] \]

Simplifying

Substitute \(N^2 = \frac{2a^{3/2}}{\sqrt{\pi}}\): \[ \langle T \rangle = -\frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{2a^{3/2}}{\sqrt{\pi}} \left[ \frac{3}{4} \cdot a^{-3/2} - \frac{3}{2} \cdot a^{-1/2} \right] \] \[ \langle T \rangle = -\frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{2a^{3/2}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left( \frac{3}{4} - \frac{3}{2} \right) a^{-1/2} \] \[ \langle T \rangle = -\frac{\hbar^2}{2m} \cdot \frac{2a^{3/2}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left( -\frac{3}{4} \right) a^{-1/2} \] \[ \langle T \rangle = \frac{3\hbar^2 a}{4m} \]

Thus, the expected value of the kinetic energy is: