Introducció
Tensor d’inèrcia
Anem a prendre l’exemple del tensor d’inèrcia, que potser és el primer tensor que vam conèixer (a fonaments de mecànica). Aquest és simètric per definició.
Per què és simètric?
Cada element del tensor d’inèrcia es defineix amb la fórmula
Quedant per tant
És simètric doncs ja que fer la integral de és el mateix que fer la integral de , i el mateix amb i , ja que els escalars commuten.
Al ser simètric serà diagonalitzable, i per tant hi haurà un sistema de referència en què es podrà escriure en forma diagonal.
Molt bé, aquesta seria una anisotropia lineal amb direccions principals. Si ens fixem en cada direcció principal hi ha un moment d’inèrcia diferent.
Ara ens podríem preguntar, existeix algun moment d’inèrcia en la direcció ? És a dir a 45 graus de l’eix X i a 45 graus de l’eix Y. I la resposta és que sí!
I el podem calcular perquè és una anisotropia lineal.
La realitat és que existeix un moment d’inèrcia en totes les direccions, això ho podem representar visualment de la manera següent (ho veurem més endavant).
On la magnitud de cada fletxa indica el moment d’inèrcia en aquella direcció.
Tensors no simètrics
Podem tenir tensor no simètrics, i per tant no-diagonalitzables, i per tant sense direccions principals. Aquests seran de la forma.
On, en general , però seguirem tenint una anisotropia lineal (ara sense direccions principals).
Un exemple en seria el gradient de la velocitat en mecànica de fluids (física dels medis continus).
Aviam?
El gradient de la velocitat és
Que es pot descompondre (com qualsevol tensor no-simètric) en una part simètrica i una antisimètrica.
On
Isotropia
Parlem de isotropia quan totes les direccions són iguals. Això serà així quan tenim un tensor amb direccions principals on tots els valors propis són idèntics.
Prenent l’exemple del tensor d’inèrcia tindrem isotropia quan .
Aleshores no ens cal un tensor, només ens cal un escalar.
Visualment seria amb totes les fletxes iguals i perpendiculars a la superfície (tot serien direccions principals), el que s’anomena “simetria esfèrica”.
Molt bé, anem a fer un petit resum.
Resum
- Isotropia
- Ho podem descriure amb un escalar
- Anisotropia lineal amb direccions principals
- Ho podem descriure amb una matriu diagonal
- Un exemple en són els tensors simètrics
- Anisotropia lineal general
- La matriu no és diagonalitzable
- El tensor sempre es pot descompondre en una suma d’un tensor simètric i un tensor antisimètric.
- Anisotropia no-lineal
- No es pot descriure amb tensors (ni amb matrius).
Explicació més detallada
Concepte
Anem a intentar entendre un tensor de rang 2, amb un producte intern definit (euclidià per exemple), com una transformació lineal entre dos espais vectorials.
Concretament un tensor de rang 2, agafa un espai vectorial i retorna un altre espai vectorial. Els espais vectorials d’entrada i de sortida poden ser, o un espai vectorial normal o un dual. Donant lloc als 4 tipus de tensors de rang 2.
Visualització
Prenem l’espai vectorial blau i retornem el vermell.
.png%3Ftable%3Dblock%26id%3D113c5528-967a-8109-a75a-ea27a9b32373%26cache%3Dv2&w=3840&q=75)
Per exemple, agafant un vector qualsevol tenim
I això ho podem fer per tots els vectors que ens puguem imaginar (tot l’espai vectorial), i com que la transformació és lineal, si sabem la transformació lineal dels vectors unitaris, sabrem la de tot l’espai vectorial (el transformat d’un vector arbitrari qualsevol serà el transformat del del vector unitari en aquella direcció escalat pel mateix factor).
Així doncs una bona representació visual d’aquest tensor serà el conjunt de vectors unitaris transformats, posats cada un a sobre del seu vector unitari, és a dir en la superfície d’una esfera unitària.
Nota: Realment amb tres vectors en fem prou per descriure el tensor, però ens anirà bé imaginar tots els vectors unitaris transformats per tal d’entendre millor el concepte d’anisotropia lineal.
Així seria amb sols tres vectors.
I així en la representació típica que estem acostumats (en forma de cub)
Isotropia i anisotropia
A aquest redactat li falta una revisió
Isòtrop significa “igual en totes les direccions”. Per tant no-isòtrop (anisòtrop) significa que aquella propietat és més gran o més petita en algunes direccions que d’altres.
En general sempre que a física parlem de isotropia ens referim a isotropia global, per exemple d’un material (macroscòpic) o d’un fluid, o de l’univers. Diem “donat aquest sistema de referència”, com s’observen les diferents direccions. Si en totes s’observa la mateixa densitat, el mateix índex de refracció, la mateixa viscositat… el material és (globalment) isòtrop.
Però a nivell local, mai tenim anisotropia escalar, perquè la densitat, la viscositat, l’índex de refracció, etc. són propietats escalars i, en una zona molt petita de l’espai, són constants. No varien.
La isotropia global bé justament de plantejar-se les diferències escalars entre aquestes zones locals, és a dir un vector des de la propietat en l’origen del sistema de coordenades fins a un punt llunyà en la direcció estudiada. De nou, el vector en aquella direcció es fa al estudiar la propietat escalar al llarg d’aquell eix.
En canvi si ens plantegem propietats vectorials, com la velocitat d’un fluid. Podem tenir fàcilment anisotropia local. Suposem els següents exemples de zones locals d’un camp vectorial.
Exemples
(1)
(2)
(3)
(4)
Si ara considerem un cercle unitat, i la interpretació d’un tensor de rang 2 i dimensió 2, tindrem que és equivalent a
(1)
(2)
(3)
(4) no és un tensor
Per exemple un tensor de rang 2 (i dimensió 2) arbitrari seria
Independentment de si són tensors (linealitat entre fletxes) o no, tenim que podem tenir isotropia o anisotropia.
Els següents dos casos presenten isotropia, són tensors (concretament un tensor simètric i un antisimètric).
En canvi el següent, (en principi si estigués ben dibuixat seria lineal) també és un tensor, i no presenta isotropia (anisòtrop).
Com definim la isotropia? Doncs podríem definir-la com l’angle entre el vector i el vector transformat, si aquest angle és constant (igual en totes les direccions) tenim isotropia, sinó tenim anisotropia.
Nota
No estic segur de que el següent…
…sigui isotropia. Mira en 2D potser ho és, però en 3D no ho és (al ser antisimètric, només seran iguals els vectors en una direcció). Potser la isotropia es defineix a partir de quan un tensor (i per tant matriu) és diagonalitzable, i els seus valors propis (invariants sota canvis de base generals) són tots iguals.
Per exemple el tensor d’inèrcia, quan és diagonalitzable queda
I quan són els tres iguals tenim
Que seria isotropia. En canvi, qualsevol altre tipus de matriu és anisotropia lineal. I si la matriu és simètrica (i per tant diagonalitzable) tindrà tres direccions principals. I si la matriu és no-diagonalitzable, tindrem que és anisotropia lineal sense direccions principals. I si és antisimètrica, seria diagonalitzable en els complexes però no presenta isotropia.
I són justament les direccions principals aquelles en què la fletxa és perpendicular a la superfície. És a dir aquelles en què no és una combinació lineal de dues direccions principals.
Exemples
- (?)
- (?)
- Realment no se’m acudeixen exemples de matrius 2x2 que es puguin visualitzar com hem vist fins ara amb un cercle unitat.
Tensor d’esforços
El tensor d’esforços casi sempre es correspon a una anisotropia sobre com s’ha aplicat aquest esforç. És a dir, quan comprimim, o quan fem un shear stress, ho fem en unes direccions concretes (i la resta prenen un esforç corresponent per linealitat) mai fem un esforç homogeni, com una esfera aplicant en totes les direccions el mateix esforç.
Tensor de deformacions
No es sol produir una deformació isòtropa, en el sentit que es deforma en tots els eixos (amplien o el que sigui) d’igual manera, excepte en una dilatació tèrmica. En general el tensor d’esforços hi ha deformacions principals al llarg d’uns eixos.
Tensor d’inèrcia
Bla bla
Tensor de Faraday (electrodinàmica)
Bla bla
Tensor d’energia-moment (relativitat general)
Bla bla
Realment visualment no acabo de diferenciar entre isòtrop i homogeni en totes les direccions. Quin seria un exemple de isòtrop però no homogeni?