Aquesta pàgina està orientada a l’assignatura Física dels Medis Continus
Bibliografia i apunts
Aquesta pàgina es basa principalment en els següents recursos externs
- L’apèndix A de notació vectorial i tensorial del Transport Phenomena - Bird
- Els apunts Vectors and Tensors de la universitat d’Auckland.
- L’article de la Wikipedia Del in cylindrical and spherical coordinates
- La playlist de Continuum Mechanics - Tensor Algebra i el seu power point en PDF
- El document Notación indicial de Ignacio Romero
- La playlist de Introducción a los tensores de David Márquez
Altres recursos externs a considerar
- Uns apunts més formals sobre el tema
Introducció
Nota prèvia sobre formalitat
Segurament a ningú li van començar explicant a batxillerat els vectors des de la definició d’espai vectorial per després, un cop entès el concepte abstracte, anar al cas particular de vectors euclidians (fletxes) que tenen mòdul i direcció i interpretació geomètrica.
De la mateixa manera aquí no definirem matemàticament un tensor, obviarem alguns detalls del cas més general i cometrem certes imprecisions de llenguatge.
Per exemple algunes simplificacions que farem
- Considerarem només vectors i vectors transposats (no parlarem de covectors ni d’espai dual) i la notació sempre serà amb subíndexs.
- Tots els vectors i tensors amb els que treballarem seran euclidians.
- Els tensors principals que utilitzarem seran transformacions lineals de vectors. La notació formal seria la d’un tensor mixt però nosaltres escriurem , ja que en general només treballarem amb aquest tipus de tensor.
- Al mateix temps, sovint ens referirem a aquests tensors mixtos com a “tensors de rang 2”, quan per ser més específics serien tensors valència .
- Farem servir el vector i la seva representació matricial indistingiblement.
Tots aquests detalls més avançats els veurem a .
Un cop aclarit que en aquesta pàgina no es tractaran els tensors des de la seva estricta formalitat, procedim!
Notació ràpida
Què és un tensor?
Un tensor és un objecte matemàtic que existeix per ell mateix, per expressar-lo necessitem una base (sistema de coordenades) i unes components (la seva descripció en aquella base).
La manera senzilla de pensar-ho és considerant un tensor de rang 1, és a dir un vector.
Com qualsevol vector, necessita estar expressat des d’un sistema de coordenades i descrit per unes components que indiquen quina combinació lineal dels vectors de la base necessitem per construir el vector.
Si canviéssim a un altre sistema de coordenades , les components variarien però el vector com a objecte matemàtic (és a dir la fletxa) seria el mateix.
Quan ja es sobreentén en quin sistema de coordenades estem, podem expressar el vector simplement agrupant les seves components en una matriu (matriu de 1x3 en aquest cas).
Donat que quan treballem amb equacions, implícitament sempre les estem aplicant des d’un sistema de coordenades concret, podem escriure simplement .
La generalització als tensors de rang 2 no és gaire complicada, els tensors de rang més alt permeten descriure coses més complexes, i per tant necessiten més components. Per representar un tensor de rang 2 escrivim les seves components en una matriu.
El més important a recordar aquí és que els tensors no són matrius. Els tensors existeixen per si mateixos i necessiten tan les components com el sistema de coordenades per ser descrits. És només quan ja es sobreentén en quin sistema de referència estem, que podem descriure’ls amb matrius.
Tipus de tensors
Un tensor té algun significat geomètric?
Hem dit que és un objecte matemàtic que existeix per ell mateix, però quin exactament?
Un objecte matemàtic és realment una definició formal matemàtica. En el cas d’un vector és l’element d’un espai vectorial (sent un espai vectorial un grup abelià sobre un cos).
Definició espai vectorial
Molt bé, però en alguns casos les definicions matemàtiques abstractes es poden visualitzar geomètricament. Pels vectors en 3 dimensions, quan es dona el cas que són vectors geomètrics (espai euclidià amb norma definida), una de les possibles maneres de visualitzar-los és com a fletxes situades a l’origen d’un espai .
En aquesta pàgina 🧿Àlgebra Tensorial no entrarem en la definició matemàtica abstracta d’un tensor. Però tot i així, de la mateixa manera que una de les possibles maneres de visualitzar un vector euclidià és amb una fletxa, hi ha una possible manera de visualitzar un tensor euclidià de rang 2, que és la següent.
Interpretació geomètrica ràpida per tensors de rang 2 (euclidians)
Un tensor de rang 2 es podria entendre com una ‘esfera unitat’, la superfície de la qual en surten vectors.
Si prenem un sistema de coordenades concret, estem seleccionant 3 vectors dels (infinits) totals. Aquests vectors seran aquells que es trobin en la superfície en el punt exacte on tallen els eixos.
Nota: no tenen perquè ser els eixos del SR els que tallen l’esfera sinó uns iguals (mateixa orientació i angles respectius) amb origen al centre de l’esfera.
Des d’aquest sistema de coordenades, podem representar el tensor com una matriu, on les files de la matriu descriuen les components dels tres vectors.
(Per exemple si moguéssim l’eix Y, modificaríem la 2a fila de la matriu).
Aquests objectes geomètrics que de moment anomenarem ‘esferes unitat’ el que et diuen és a cada vector possible que et puguis imaginar, quin vector (transformat) li correspon.
(Sent la transformació per vectors no unitaris simplement el vector unitari transformat i escalat en proporció).
Aleshores el que fa una d’aquestes esferes, és transformar un vector en un altre vector. I la clau principal és que, de totes les esferes possibles que ens poguéssim imaginar, només són tensors aquelles que ho fan de manera lineal.
Què vol dir que ho fan de manera lineal?
Bàsicament fan que les variacions que hi ha entre fletxes al llarg de la superfície siguin variacions “lineals”.
Exemple: esfera unitat que no és un tensor
Això implica que si coneixem 3 vectors de l’esfera (amb els seus vectors transformats) podem per combinació lineal construir la resta de vectors de la superfície de l’esfera.
Això és un tensor. Una aplicació multilineal (bilineal en aquest cas) que agafa un espai vectorial (en blau a la imatge) i en retorna un altre (en color carn a la imatge).
En la definició formal es diu que pren dos espais vectorials (el normal i el dual) i retorna un escalar. En aquesta definició diem que pren un espai vectorial i en retorna un altre. No cal entrar-hi, però quan hi ha definit un producte intern (com és en el cas euclidià), hi ha una equivalència directa entre les dues definicions.
Camp tensorial
Molt bé, bastant ràpid, si un camp vectorial és aquell en què a cada punt de l’espai hi tenim un vector, un camp tensorial és aquell en què a cada punt de l’espai hi tenim un tensor.
Foto que no ajuda gaire, però bno…
(a internet no en hi ha gaires…)
Representació d’un camp tensorial homogeni
Així doncs podem concloure fàcilment que un camp tensorial (de rang 2) és aquell que pren un camp vectorial i retorna un altre camp vectorial.
Però i la típica foto d’un tensor com un cub?
Doncs molt senzill, si aquestes esferes unitat les observes des d’un sistema d’eixos cartesians, obtens la típica representació geomètrica d’un tensor
Si per exemple estem estudiant un sòlid, sempre el pensem com un conjunt de cubs petits (infinitesimals), que ens podrien descriure per exemple les forces superficials que s’exerceixen a cada diferencial de volum cartesià.
Però no cal oblidar que és perquè tenim aquests eixos d’aquesta manera que els imaginem així, si rotéssim el nostre sistema de referència i consideréssim un altra cara arbitrària del cub (exemple del Tetraedre de Cauchy) hi hauria un vector força igualment en aquell punt. És a dir realment hi ha infinits vectors força per cada diferencial de superfície que et puguis imaginar.
Tensors de rang 3
Va això ja és per motivats de les interpretacions geomètriques, ni en Medis Continus ni en Electrodinàmica s’utilitzen realment tensors de rang 3. Però ja podem veure que una de les maneres possibles de representar-los seria amb una esfera unitat, la superfície de la qual tingués un tensor de rang 2 a cada punt.
En aquell cas al triar un sistema de referència estaríem seleccionant 3 tensors i (imaginant-nos uns eixos iguals però centrats en cada tensor) estaríem seleccionant 3 vectors per cada tensor, i al descriure cada vector amb 3 escalars (que ens definirien les unitats de mesura o vectors unitaris dels eixos), obtindríem un total de 29 components, que d’alguna manera podríem representar en una matriu tridimensional (estil cub de Rubik).
Això era només una pinzellada
A aquesta interpretació però, li falten bastants matisos, per exemple s’aplicaria només a tensors mixtos de valència , i no caldria tractar els conceptes d’espai vectorial i espai vectorial dual des de la seva estricta formalitat. De la mateixa manera un tensor pot no ser mixt, i ser covariant o contravariant, i realment és una aplicació multilineal en tant que agafa vectors i covectors i els combina amb un nou producte anomenat producte tensorial de manera lineal.
Sent realistes però aquesta interpretació geomètrica era una mera curiositat, no cal entendre cap interpretació geomètrica per tal de superar ni entendre conceptualment les assignatures de Medis Continus i Electrodinàmica.
Per Medis Continus amb comprendre els tensors com a matrius (que poden canviar si canviem de SR) és més que suficient.
I per Electrodinàmica amb entendre la representació indicial dels tensors amb la notació d’Einstein, els conceptes de covariància, contravariància i amb conèixer la mètrica de Minkowski i el tensor de Faraday i com aplicar-los, també és més que suficient.
Aquesta part corresponent a entendre Electrodinàmica (i previ a entendre Relativitat General) es troba a .
Més sobre la visualització de tensors
Tensor GlyphsI té algun significat físic?
Sí, descriuen una anisotropia lineal. Aquí una subpàgina on està explicat.
Tensors de rang 2 com a descripció d’una anisotropia lineal local
Notació indicial i matricial
Podem treballar amb equacions matricials si els tensors són fins a rang 2, però arriba un punt (fins i tot amb tensors de rang 2) on resulta molt més pràctic treballar amb equacions on els tensors estan escrits en notació indicial, és a dir component a component.
Exemple de notació matricial
Exemple de notació indicial
Per expressar les equacions en notació indicial són molt útils la delta de Kronecker () i el símbol de Levi-Civita (). Aquests símbols, que funcionen per treballar amb escalars, tenen el seu equivalent immediat com a tensors de rang 2 i rang 3 respectivament.
Delta de Kronecker <—> Tensor unitat
Símbol de Levi-Civita <—> Tensor Levi-Civita
Vectors unitaris i diades unitat
Hi ha una cosa (que ja veurem més endavant) anomenada el producte diàdic entre dos vectors, el qual dona un tensor de rang 2. D’aquesta manera definim les diades unitat.
Notació d’Einstein pels sumatoris
Per últim, podem aconseguir simplificar les expressions en notació indicial (que solen tenir sumatoris) mitjançant el Conveni de Sumes de la Notació d’Einstein.
Cal fer un apunt aquí, la Notació d’Einstein (treballar amb tensors en notació indicial) és un tema bastant ampli i complex per si sol, involucra subíndexs, superíndexs, i és la manera en la que s’explica Càlcul Tensorial (ja que permet simplificar i clarificar les expressions un munt). El Càlcul Tensorial no només va de productes, sumes i restes entre tensors, requereix entendre conceptes nous i no precisament trivials com el de tensor covariant, contravariant o mixt, i la idea de tensor mètric, espai dual, aplicació multilineal, etc.
Tots aquests conceptes i la Notació d’Einstein completa, es tracta a fons a .
Ara bé, per utilitzar la part de la notació d’Einstein que és exclusivament un conveni de notació per les sumes, no cal entendre tot això.
La notació que utilitzarem és realment molt senzilla: Si es repeteix un índex en una expressió vol dir que hi ha un sumatori implícit.
Així quasi com a curiositat, a un índex que apareix dues vegades en un mateix terme se l’anomena dummy index (o índex mut) i a un índex que apareix una vegada se l’anomena free index (o índex lliure).
Coses a tenir en compte:
- Els dummy indexs es poden substituir per un altre índex qualsevol
- Un índex no pot aparèixer mai més de dues vegades en una mateixa expressió
- Una expressió sol ser multiterme (inclou una suma de termes), el com s’avalua quins índexs són free o dummy en l’expressió sencera no és trivial.
Explicació: Com avaluar una expressió multiterme
bla bla
(pendent de redactar)
- En una equació (amb una expressió a cada costat del igual) els free indexs de l’una amb l’altra han de ser iguals. I els dummy indexs han de ser coherents en les dues expressions.
Explicació: Quines equacions són vàlides i quines no
bla bla
(pendent de redactar)
- Un tractament més estricte sobre el tema, seria la gimnàstica de índexs (pujar-los, baixar-los, cancelar-los, etc.) que s’utilitza a electrodinàmica i relativitat general.
Nota breu sobre la notació d’una matriu transposada
- Si és una matriu formada per nombres reals —> és la matriu transposada
- Si és una matriu formada per nombres complexes —> és la matriu transposada conjugada, també anomenada matriu adjunta.
Quan la matriu pot estar formada per nombres complexes (cas més general) fem servir el símbol dagger per indicar que no només és una matriu transposada, sinó que cada element passa a ser el seu complex conjugat .
Per què és interessant fer la matriu transposada conjugada (i no transposada i prou)?
La idea principal es basa en que . Anem a veure-ho més detalladament.
Raó principal
Per definició una norma ha de ser positiva, i ja que la nostra norma és la induïda pel producte escalar .
Tenim que el producte escalar d’un vector amb si mateix ha de ser necessàriament positiu (sinó la nostra norma no estaria ben definida).
Nota: en general volem que però .
Aleshores si provéssim de definir el producte intern com un càlcul matricial en què transposem un dels vectors…
Arribaríem a un resultat que no ens interessa, necessitem que sigui un nombre real positiu (i no complex). És per això que hem de fer la matriu transposada i conjugada.
Una altra raó (li falta revisió en aquest apartat)
En el cas que tinguem una matriu diagonalitzable, ens interessa que aquesta compleixi una propietat molt important de la diagonalització.
On
Aquesta propietat que es compleix pels reals i permet tot lo de sistema d’eixos principals escalables (per exemple eixos principals d’inèrcia). Ens facilita un càlcul que d’altra manera seria molt complicat. Aleshores en el cas que la matriu estigui formada per complexes també ens interessa mantenir aquesta propietat.
Per una matriu qualsevol , el seu quadrat s’expressa com a:
Que en el cas que fos la matriu fos diagonal, seria simplement
Recordem que
En aquests apunts, és irrellevant quin símbol utilitzem ja que treballarem amb matrius formades per nombres reals. Farem servir el símbol per indicar que també s’aplicaria en el cas general, però per simplicitat i per no liar al personal (ja que a Medis Continus totes les matrius són reals), no escriurem un a cada element de la matriu transposada, i es donarà per implícit, que en el cas complex cada element està conjugat.
Notació per indicar el resultat d’un producte en notació indicial
Exemples
Càlcul del rang en funció del símbol de producte
Productes diversos
A continuació els productes principals d’àlgebra tensorial expressats de 3 maneres diferents
- En notació matricial
- En notació indicial
- En notació indicial fent servir el conveni d’Einstein per les sumes
(I fent ús quan s’escaigui de les diades unitat, el símbol de Levi-Civita o la delta de Kronecker)
ENTRE VECTORS
Producte Diàdic = Producte Tensorial
*Rang = (1) + (1) - 0 = 2
Comentari sobre el Producte de Kronecker
El producte tensorial és entre dos vectors. El producte de Kronecker és entre dues matrius.
Si ho pensem matricialment, realment seria . On és un covector i indica l’expressió matricial del vector.
El producte entès com a producte de Kronecker (entre dues matrius columna) donaria un vector llarg de 9 components.
Per medis continus aquesta distinció es pot ignorar i considerar que
On és el producte tensorial. Però a mecànica quàntica ens caldrà saber-ho distingir.
Més informació a .
Producte Punt = Producte Escalar = Producte Intern
*Rang = (1) + (1) - 2 = 0
Producte Creu = Producte Vectorial
*Rang = (1) + (1) - 1 = 1
ENTRE TENSORS DE RANG 2
Nota important sobre la notació de la doble contracció
En aquest punt pot ser una mica liós ja que no hi ha un conveni oficial i en diferents webs i apunts fan sevir notacions diferents. Al multiplicar escalarment dos tensors de rang 2, podem fer-ho principalment de dues maneres.
L’important aquí, és que la Manera 1 compleix la definició de producte intern.
Definició de producte intern
Nota: En català sovint diem producte escalar i en anglès es diu “inner product”. En aquests apunts a vegades es fa servir producte intern com a traducció literal, però són el mateix producte. Recordem que un escalar pot ser un nombre real, però també pot ser un nombre complex.
L’altre apunt important és que la Manera 1 i la Manera 2 són el mateix tipus de producte quan un dels dos tensors és simètric.
(I ja que en l’assignatura de Medis Continus el tensor d’esforços i el de deformacions són simètrics, s’anomenin com s’anomenin i es faci servir el símbol que es faci servir la doble contracció serà un producte intern).
Vale, es poden utilitzar diferents símbols per referir-se a la double contraction. Tot i que principalment només se’n veuen 2.
- Producte Doble Punt Vertical —> per tensors quadrats —> Manera 1 o 2
- Producte Doble Punt Horitzontal —> per tensors quadrats —> Manera 1 o 2
En general si es fa servir per expressar la Manera 1, aleshores es fa servir per expressar la Manera 2, i viceversa.
A vegades, es fa servir només , i simplement es transposa una de les matrius quan es vol fer el producte .
És important no confondre’s amb el que s’anomena Producte de Hadamard (que genera una matriu enlloc d’un escalar).
Producte de Hadamard
Seria com una matriu generada a través de la Manera 1.
Nosaltres farem servir el conveni i
Producte Doble Punt Vertical = Producte Intern
*Rang = (2) + (2) - 4 = 0
Producte Doble Punt Horitzontal
*Rang = (2) + (2) - 4 = 0
Producte Punt (entre dos tensors)
*Rang = (2) + (2) - 2 = 2
Producte Tensorial (entre dos tensors)
*Rang = (2) + (2) = 4
ENTRE TENSORS I VECTORS
Producte Punt (entre tensor i vector)
Aquí el tensor actua com a transformació lineal, agafa un vector i en retorna un altre.
*Rang = (2) + (1) - 2 = 1
Producte Punt (entre vector i tensor)
Aquí també tenim una transformació lineal, però fem una mica de trampes amb la notació.
Quines trampes?
Realment
Però podem escriure
Que és el mateix si el tensor és simètric.
*Rang = (1) + (2) - 2 = 1
Producte Tensorial (entre vector i tensor)
*Rang = (2) + (1) = 3
Producte Tensorial (entre tensor i vector)
*Rang = (2) + (1) = 3
Nota 1: El Producte Tensorial té mil noms diferents
És fàcil liar-se entre els noms dels diferents productes, així que anem a facilitar-ho una mica. Aquí tots els noms dels productes amb què un es podria confondre, acompanyats del seu símbol. Els noms estan en anglès per distingir correctament entre outter i exterior product.
- Inner Product —> ,
- Outter Product —> ,
- Dyadic Product —>
- Kronecker Product —>
- Tensor Product —>
- Dot Product —>
- Cross Product —>
- Direct Product —>
- Cartesian Product —>
- Exterior Product —>
Coses que ajuden a clarificar.
- El Producte Directe és l’equivalent del Producte Cartesià (per conjunts) però per grups algebraics, i no té res a veure amb el Producte Vectorial (o Producte Creu) malgrat es faci servir el mateix símbol.
- El Producte Exterior , també anomenat Wedge Product, és semblant al Producte Vectorial (Cross Product) però ve del formalisme de l’Àlgebra Exterior (que després ha evolucionat a l’Àlgebra Geomètrica), fa referència a quan es genera un pseudovector o bivector. Així per fer-se una idea ràpida el bivector on seria amb siguent un objecte matemàtic diferent al d’un vector, mentre que seria com a objecte matemàtic un vector, i amb .
Més informació a .
- El Producte Intern (o producte escalar) és qualsevol que compleixi la definició de producte intern. Ja que sempre retorna un escalar (real o complex), entre dos tensors serà sempre la màxima contracció possible. Per exemple entre dos vectors el producte intern és el dot product mentre que per dos tensors de rang 2 el producte intern és el double dot product .
Definició de Producte Intern
- El Producte Tensorial i el Producte Diàdic són el mateix tipus de producte.
- El producte diàdic és exclusiu per vectors, i sempre retorna un tensor de rang 2.
- El Producte Tensorial ve de treballar amb tensors i el seu significat com a transformacions lineals.
- El Producte de Kronecker també es denota amb el símbol però aquest pren sempre matrius, en el cas de prendre dos vectors, genera un vector “llarg”. En el cas de prendre dues matrius, genera una matriu gran. En general el Producte de Kronecker és la vectorització (o matrització) de la matriu (-dimensional) generada pel Producte Tensorial.
Un exemple per clarificar
Relació entre el Producte de Kronecker i el Tensorial.
Aleshores es compleixen les identitats següents
Per més informació: .
- El Outter Product en principi és exactament igual al Producte Diàdic, és a dir és un Producte Tensorial exclusiu per vectors, el problema és que per confusió en la traducció, en molts llocs també l’utilitzen per designar el Exterior product.
Aleshores per què cal el terme Outter Product si ja tenim els altres termes?
Bàsicament raons històriques, el terme Outter Product ve de que es fa “per fora” en el sentit que dona un tensor de rang més gran, enlloc d’un tensor de rang més petit (inner product).
Hi ha una web bastant xula, que és un recopilatori sobre l’origen de certa terminologia matemàtica. A la pàgina de la “i” hi trobem que sobre “Inner Product” diu:
“Inner Product was coined by Hermann Günther Grassman in 1884 in his book of general algebra of hypercomplex numbers. He realized that more than one type of multiplication was possible. So to two of the many possible types he gave the names inner and outer. The names seem to have been chosen because they are antonyms rather than for any intrinsic meaning. Even though, the Oxford English Dictionary claims that the inner product was so named because <an inner product of two vectors is zero unless one has a component 'within' the other i.e. in its direction.>”
La manera en què a mi m’agrada pensar-ho és que si tens dos vectors en , quan fas el seu producte intern acabes en un escalar, és a dir (un subespai de ) mentre que quan fas el seu outter product, el tensor resultant no el pots representar dins de (de fet seria un subespai de l’espai en el que viuria el tensor, que al tenir 9 components, seria ).
Aleshores d’una manera el resultat queda dins de l’espai vectorial (inner) i de l’altra manera queda fora (outter).
- El Producte Directe té una relació bastant propera amb el Producte Tensorial, un correspon a la suma directa de grups algebraics, i l’altre correspon a la multiplicació directa d’espais vectorials (que també són grups algebraics).
Relació entre el Direct Product i el Tensor Product
Hi ha molta confusió en la terminologia en gran part perquè l’Àlgebra de Conjunts i l’Àlgebra de Matrius (transformacions lineals) històricament no es van desenvolupar plegades i cada branca de les matemàtiques va posar els seus noms.
Però després va venir la nostra amiga , que va trobar una relació entre aquestes.
El producte més general és per objectes qualsevols en una categoria, quan els objectes són elements d’un conjunt qualsevol s’anomena producte cartesià, i quan els objectes són elements d’un grup algebraic s’anomena producte directe. Recordem que un grup algebraic és un conjunt (set) que compleix unes propietats al combinar els seus elements amb una operació concreta (suma per exemple). Hi ha molts grups algebraics, però els que ens interessen ara són els espais vectorials (el quals són grups abelians).
Bé, doncs tan el producte entre dos conjunts (cartesià) com el producte entre dos grups (directe) s’escriu . Ara bé, si els grups són abelians (espais vectorials per exemple) el producte directe es pot escriure i també es pot anomenar suma directa. Per altra banda quan un fa un producte tensorial entre aquests espais vectorials escriu . En els dos casos, vas d’un espai vectorial a un altre. Però l’espai vectorial al que arribes en els dos casos és ben diferent.
Aquí un article on està explicat una mica per sobre.
I aquí les definicions formals per si es vol aprofundir.
Nota 2: El inner product sempre és la traça del producte que dona lloc a una matriu
Divergències, Rotacionals, Laplacians…
Nota prèvia
Àlgebra Tensorial 1 vs Àlgebra Tensorial 2 vs Càlcul Tensorial
L’àlgebra tensorial fa referència a la notació i els productes diversos entre tensors (com quan aprens a sumar multiplicar i dividir), i el càlcul tensorial fa referència a les seves aplicacions (com quan et defineixes el concepte de límit, integral i derivada).
Què seria Àlgebra Tensorial 2?
D’alguna podríem dir que la notació utilitzada en aquesta pàgina és “incompleta” ja que no tracta els tensors des de la seva estricta formalitat.
A Tensor is a collection ofvectorsandcovectorscombined together using thetensor product.
Necessitem doncs el concepte de dualitat (espai dual), de vectors vs covectors o tensors covariants vs contravariants o mixtos… I malgrat tot això ja queda explicat a la pàgina de , és important fer notar que s’hagués pogut estructurar diferent.
És a dir, la manera correcta hagués estat crear una segona pàgina anomenada Àlgebra Tensorial 2 en què es treballés tota l’Àlgebra Tensorial des d’un sentit més estricte i general, i fent servir la Notació d’Einstein completa (és a dir amb subíndexs i superíndexs).
I després una pàgina de Càlcul Tensorial 1 en què els productes passessin a ser amb l’operador nabla i hi hagues la divergència, gradient…. i una de Càlcul Tensorial 2 en què es treballés tot això més formalment amb derivades covariants i contravariants i el tensor mètrica general per espais curvats.
Ara bé s’ha considerat deixar aquesta pàgina com una introducció més friendly als tensors que permet ser útil sobretot per l’assignatura de Medis Continus i una mica també per Electrodinàmica.
Definició de l’Operador Nabla
Quina notació estem fent servir per i ?
Identitats útils
Útils per Medis
Laplaciana d’un Tensor, cas més general
COORDENADES CARTESIANES
Gradient d’un camp escalar
Laplaciana d’un camp escalar
Divergència d’un camp vectorial
Rotacional d’un camp vectorial
Laplaciana d’un camp vectorial
Gradient transposat d’un camp vectorial
Nota extra: Diferència entre gradient, jacobiana i tensor diàdic
Suposem que volem referir-nos a l’expressió de càlcul multivariable que ens produeix (en cartesianes i 2D) les següents 2 matrius d’una funció vectorial .
Doncs es veu que hi ha diverses notacions, i clar tot plegat pot ser una mica confós.
La notació més comuna, la més lògica (tenint en compte la definició de producte diàdic entre vectors) i la que utilitzarem en aquests apunts, és la següent.
MATRIU A = Jacobiana d’una funció vectorial = Gradient d’un camp vectorial
MATRIU B = Tensor diàdic d’un camp vectorial
Aleshores (amb la notació escollida) es compleix
Contracció entre un camp vectorial i el seu gradient transposat
Divergència d’un camp tensorial
Producte escalar entre un tensor i el gradient d’un camp vectorial
COORDENADES POLARS (cilíndriques en 2D)
Gradient d’un camp escalar
Laplaciana d’un camp escalar
Divergència d’un camp vectorial
Rotacional d’un camp vectorial (passem de a )
Laplaciana d’un camp vectorial
Gradient d’un camp vectorial
Contracció entre un camp vectorial i el seu gradient
“Divergència” d’un camp tensorial
Producte escalar entre un tensor i el gradient d’un camp vectorial
COORDENADES CILÍNDRIQUES
Gradient d’un camp escalar
Laplaciana d’un camp escalar
Divergència d’un camp vectorial
Rotacional d’un camp vectorial
Laplaciana d’un camp vectorial
Gradient transposat d’un camp vectorial
“Divergència” d’un camp tensorial
Expressions extres (shortcuts per Medis Continus)
Contracció entre un camp vectorial i el seu gradient transposat
Rotacional del rotacional d’un camp vectorial
Gradient (escalar) de la divergència d’un camp vectorial
Producte escalar entre un tensor i el gradient transposat d’un camp vectorial
Derivada direccional d’un camp vectorial
COORDENADES ESFÈRIQUES
Gradient d’un camp escalar
Laplaciana d’un camp escalar
Divergència d’un camp vectorial
Rotacional d’un camp vectorial
Laplaciana d’un camp vectorial
Gradient transposat d’un camp vectorial.
“Divergència” d’un camp tensorial
Expressions extres (shortcuts per Medis Continus)
Contracció entre un camp vectorial i el seu gradient transposat
Rotacional del rotacional d’un camp vectorial
Gradient (escalar) de la divergència d’un camp vectorial
Producte escalar entre un tensor i el gradient transposat d’un camp vectorial
Derivada direccional d’un camp vectorial
Derivació de les expressions en coordenades curvilínies
Al principi resulta una mica confús veure certs termes com o en les expressions de la divergència en cilíndriques i en esfèriques. El mateix passa amb el laplacià, el rotacional o el gradient d’un camp vectorial, on apareixen termes del “no res”.
És realment poc intuïtiu perquè precisament si un intenta fer els productes matricials que hem après en la secció anterior, un pot fàcilment “equivocar-se” (no tenir en compte un detall important) i obtenir unes expressions errònies.
Per no fer aquesta pàgina més llarga del necessari, simplement dir que té a veure amb les derivades dels vectors unitaris. Anem a posar un exemple, divergència en cilíndriques.
Per què? Veiem-ho, anem a fer el producte escalar de la manera formal, escrivint els vectors com a combinacions lineals de vectors unitaris enlloc de la seva simplificació matricial.
Molt bé, doncs el detall clau aquí està en adonar-se que al entrar a cada terme, hem de tenir en compte les derivades dels vectors unitaris també!
I resulta que no totes les derivades parcials entre vectors unitaris i components són nul·les, (malgrat la majoria sí, ho veurem més endavant). Per exemple:
Aleshores al entrar l’expressió en el primer terme obtenim:
Que és efectivament el terme que ens resultava estrany de l’expressió de la divergència en cilíndriques.
Bé això era només un exemple. Però ja us podeu imaginar que el mateix passa amb la resta de les expressions.
“For the sake of completeness” que diuen els anglesos, totes les derivacions de les expressions que involucren l’operador nabla tan en coordenades cilíndriques com en esfèriques, les teniu a la següent subpàgina: .
Algunes relacions útils
En el càlcul vectorial hi ha moltes identitats (algunes útils d’altres no tant). Aquí la pàgina de la Viquipèdia, bastant completa:
I aquí una selecció de les més útils, aplicables tan a vectors com a tensors:
Descomposició de Helmholtz
Per qualsevol camp tensorial , sempre i repeteixo sempre, es podrà expressar aquest com la suma d’un camp que només divergeix o convergeix i un camp que només és rotacional.
Malgrat quasi no es tracti en l’assignatura de Càlcul Vectorial ni assignatures posteriors, la descomposició de Helmholtz és un dels conceptes més fonamentals (i no trivials) de la física.
De fet, tan les equacions de Maxwell (base pilar de l’electromagnetisme) com les equacions de Navier-Cauchy o Navier-Stokes (base pilar dels medis continus), es poden escriure tal com s’escriuen precisament per què el teorema de Helmholtz és cert. No per res se l’anomena “El teorema fonamental del càlcul vectorial”.
És per això que té la seva pròpia subpàgina dedicada: .
Teoremes Integrals per vectors i tensors
Resum per camps vectorials a .
Extensió per camps tensorials
Bla bla
Extra
Tensors simètrics i antisimètrics
Tensors de 3 tipus: simètrics, antisimètrics o cap de les dues.
Simètric
Antisimètric
La gràcia
Qualsevol tensor es pot expressar com la suma d’un tensor simètric i un tensor antisimètric
Simètric —>
Antisimètric —>
On
Diagrames Tensorials i Notació Gràfica de Penrose
Hi ha una cosa anomenada “Tensor Diagram Notation” inspirada en la notació gràfica que feia servir Roger Penrose pels tensors. Conceptualment és bastant xula, consisteix en tractar les matrius com a punts i el nombre de línies que surten d’aquest com el rang del tensor resultant. Ho comento merament com a curiositat, però si us interessés pot servir per tenir una bona intuïció respecte l’Àlgebra Tensorial.
Per si algú té curiositat aquí un article relativament breu al respecte.
I aquí una subpàgina sobre el tema.
Diagrames Tensorials - Notació Gràfica de Penrose
