Enunciat
Context Previ
En mètodes variacionals el que fem és intentar adivinar una funció d’ona que aproximi el nostre sistema físic. Anem provant diverses funcions d’ona i valorem si són una bona aproximació o no.
La manera en la que fem aquesta valoració es basa en el principi variacional. El principi variacional ens diu que l’energia de l’estat fonamental corresponent a qualsevol funció d’ona normalitzada sempre serà major o igual que l’energia exacta de l’estat fonamental.
La manera en la com s’aplica aquest principi pot variar, en el mètode variacional de Rayleigh-Ritz (mètode variacional més típic) es fa triant un tipus de funció d’ona (una gaussiana per exemple) i la deixem en funció d’un o diversos paràmetres, calculem la corresponent energia de l’estat fonamental i la optimitzem (derivem respecte aquells paràmetres).
Què ens demanen?
Bàsicament ens estan demanant la demostració del principi variacional.
Això ja està explicat i demostrat a la teoria: Demostració cota superior.
Tot i així ho repetirem aquí.
Notació i idees prèvies
- La funció d’ona exacta , tindrà una energia exacta .
- La funció d’ona aproximada tindrà una energia aproximada .
Per fer la demostració el més general possible no exigim que estigui normalitzada, així que acceptem la possibilitat de que .
Notació alternativa: a vegades es fa servir o enlloc de per referir-se al valor esperat d’ en la base .
- La relació de completesa sempre ens permetrà escriure un ket com a combinació lineal d’una altra base. Així doncs escriurem la base aproximada en funció de l’exacta.
- Els nivells d’energia exactes d’estats excitats sempre són superiors al fonamental, això és
El que hem de demostrar és
Demostració
Partint de les equacions
Si entrem l’expressió de la dreta al numerador de la de l’esquerra, aquest queda
On hem utilitzat que el producte de sumatoris és un doble sumatori. I que si tenim un doble sumatori i una delta de Kronecker multiplicant l’expressió, queda un sumatori simple.
De manera idèntica, el denominador queda
Així dons l’expressió de resulta en
Important no caure en l’error d’ajuntar els sumatoris en un de sol. La divisió de dos sumatoris no és el sumatori d’una divisó, sinó un doble sumatori.
Si ara utilitzem el fet que tindrem que
I ja hem acabat la demostració.
Clarificació (per si de cas)
Un dubte general que pot sorgir al fer probabilitat (també surt a física estadística, en la col·lectivitat canònica), és el següent.
Si volem calcular un valor esperat, en general fem
On és la probabilitat de cada energia (si la distribució està normalitzada).
Molt bé, però i si la distribució no està normalitzada ()? Doncs en el cas general l’haurem de normalitzar fent
Si traiem aquest denominador (que no depèn de ) fora del sumatori, aquest queda
I res ens impedeix canviar l’índex de sota per una (que pren els mateixos valors de zero a infinit).
I aquesta és la expressió típica que ens trobem. Aquesta expressió és perfectament correcta, ara bé és molt important no caure en el següent error
Això és incorrecte ja que el sumatori d’una divisió NO és la divisió de dos sumatoris.
Exemple
Un exemple una mica absurd però per si de cas
Són coses totalment diferents!
De fet seria equivalent a intentar fer
La conclusió és doncs que no podem ajuntar la divisió (o producte) de dos sumatoris en una mateixa expressió sense utilitzar un doble sumatori.
I en el cas de la divisió
Aquesta expressió únicament es pot simplificar si , és a dir si numerador i denominador són el mateix, aleshores l’expressió dona .