Commutativitat dels límits, integrals, sumatoris…

Entre dos sumatoris

Sempre podem intercanviar dos sumatoris, siguin finits o infinits

Límit i Integral

La pregunta que ens fem és quan podem i quan no podem aplicar la següent igualtat

Condicions suficients per poder aplicar-la:

Quan sigui monòtonament creixent i tingui una cota superior

Quan sigui monòtonament decreixent i tingui una cota inferior

Teoremes formals sobre el tema

Teoremes que hi ha al darrera

Monotone Convergence Theorem

Monotone convergence theorem

In the mathematical field of real analysis, the monotone convergence theorem is any of a number of related theorems proving the convergence of monotonic sequences (sequences that are decreasing or increasing) that are also bounded. Informally, the theorems state that if a sequence is increasing and bounded above by a supremum, then the sequence will converge to the supremum; in the same way, if a sequence is decreasing and is bounded below by an infimum, it will converge to the infimum.

https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem

Dominated Convergence Theorem

Dominated convergence theorem

In measure theory, Lebesgue's dominated convergence theorem provides sufficient conditions under which almost everywhere convergence of a sequence of functions implies convergence in the L1 norm. Its power and utility are two of the primary theoretical advantages of Lebesgue integration over Riemann integration.

https://en.wikipedia.org/wiki/Dominated_convergence_theorem

Dominated Convergence Theorem

Fatou's Lemma, the Monotone Convergence Theorem, and the Dominated Convergence Theorem are three major results in the theory of Lebesgue integration which, when given a sequence of functions $\{f_n\}$, answer the question, "When can I switch the limit symbol and the integral symbol?" In this post, we discuss the Dominated Convergence Theorem and see why "domination" is necessary.

https://www.math3ma.com/blog/dominated-convergence-theorem

Fatou’s Lemma

Fatou's lemma

In mathematics, Fatou's lemma establishes an inequality relating the Lebesgue integral of the limit inferior of a sequence of functions to the limit inferior of integrals of these functions. The lemma is named after Pierre Fatou.

https://en.wikipedia.org/wiki/Fatou's_lemma

Convergència uniforme vs convergència puntual

Convergencia uniforme Vs. Convergencia puntual

En este vídeo se muestran de manera intuitiva la diferencia entre la convergencia uniforme y la convergencia puntual con sendos ejemplos gráficos que permitirán comprender la principal diferencia entre estos conceptos. Este vídeo es una prueba de mis primeros pasos programando con las bibliotecas de Manim basadas en Python desarrolladas por Grant Sanderson para su canal 3Blue1Brown cuyo trabajo puedes (y casi debes) visitar en: https://www.youtube.com/channel/UCYO_jab_esuFRV4b17AJtAw Si tienes interés en programar con Manim, échale un ojo a https://www.manim.community/ donde podrás encontrar un tutorial de instalación y de primeros pasos, aunque si te quedan dudas, puedes escribir en los comentarios o contactar conmigo en 🐦https://www.twitter.com/ParaDoppler La música es de Vincent Rubinetti y está disponible en: https://vincerubinetti.bandcamp.com/album/the-music-of-3blue1brown

https://www.youtube.com/watch?v=B9TmoYdaMe0

Més referències sobre el tema

Convergence Theorems in the Theory of Integration.pdf

143.3KB

[Llibre sencer]

Aleshores, podem aplicar-ho quan…

Sumatori i Integral

Podem intercanviar sumatoris i integrals sempre que el sumatori sigui finit

Nota: Això inclou integrals impròpies , l’únic problema està en el sumatori.

Ara bé si el sumatori és infinit… ja que

Podrem intercanviar-los en els mateixos casos en què puguem intercanviar un límit i una integral. Això al final pel sumatori es tradueix a que podem intercanviar-los quan la suma infinita sigui absolutament convergent.

Altres (no tenen a veure)

Entre dos límits (límit multivariable)

Si un límit multivariable existeix, dos límits d’una variable sempre són commutatius (si no ho fossin directament hauríem demostrat que el límit no existeix).

Entre dos integrals (integrals dobles)

En general una doble integral no és commutativa

Ens diu el Teorema de Fubini que si un dels intervals d’integració és constant i la funció és continua en tota la regió, podem intercanviar les dues integrals.

Derivada i Integral

Sempre és vàlid fer el següent (ja que la derivada és un operador lineal)

Operador lineal i altres

Sempre és vàlid agafar un operador lineal i entrar-lo i fer-lo sortir de integrals, sumatoris, derivades…. i altres operadors lineals.

Definició operador lineal

Ha de complir dues propietats