Enunciat
Context previ
Què és ?
Recordem de Física Quàntica que podíem expressar la funció d’ona de l'estat estacionari d'un electró així
On era la part radial i la part angular, que anomenàvem harmònics esfèrics. Teníem que un electró podia estar en superposició d’aquests estats estacionaris
Per exemple
Recordem que el nombre feia referència al nivell d’energia de l’electró, al tipus d’orbital ( per orbitals , per orbitals , per orbitals …), i a l’orbital concret (per exemple per , el nombre quàntic feia referència a l’orbital ).
El nostre electró podia estar en superposició d’orbitals doncs, i quan la funció d’ona col·lapsava l’electró era observat o en un orbital o un altre.
Ara anem a afegir-hi però un altre grau de llibertat, el fet que l’electró pugui estar en spin-up o en spin-down.
Si recordem de química, existien quatre nombres quàntics , , i . A física quàntica només en veiem tres (, i ). Bé, doncs a mecànica quàntica reanomenem (pels harmònics esfèrics) i utilitzem per referir-nos al nombre quàntic corresponent a l’spin d’un electró .
Això ja ho vèiem a la teoria, que els moments angulars , i tenien associats uns nombres , i respectivament. Que són en realitat, els seus valors propis.
De seguida parlarem sobre quines són aquestes bases i com es relacionen entre elles.
Ara considerarem que un electró pot estar també en superposició, ja no entre orbitals, sinó entre spin-up i spin-down. De manera, que la funció d’ona general serà
On amb simplement estem fent referència a que si la funció d’ona col·lapsa en aquell estat estacionari, o serà un estat corresponent a spin-up o spin-down .
De fet la funció és en realitat una delta de Kronecker.
On .
De manera que quan a l’enunciat ens estan donant la funció d’ona de l’electró següent
Ens estan dient per una banda
- Que l’electró es troba en un nivell d’energia que desconeixem (no sabem ), i que està expressat en coordenades esfèriques (d’aquí el ).
- Que l’electró es troba en una superposició entre els orbitals (orbital corresponent a ) i (orbital corresponent a ). Els dos del mateix nivell d’energia.
I per altra banda que
- Si el mesurem en l’orbital sabrem amb tota certesa que tindrà spin-up, i si el mesurem en l’orbital sabrem que tindrà spin-down.
Recordatori addició de moments angulars
Base pròpia de i
La base que és pròpia de i (pel nostre cas i ) és
Per exemple, si no consideréssim l’spin, el nostre estat seria
Base pròpia de i
La base que és pròpia de i és la que en els primers temes ja coneixíem (la base ).
Més informació
L’operador spin , en la base ja sabíem que era un vector de les següents matrius
I sabíem que ens podíem calcular també les matrius , i el quadrat de l’operador spin, ése a dir .
Si ens fixàvem, veiem que es complia
Dit d’altra manera, la base , que ara reanomenarem …
Veiem que és pròpia tan de com de , i té per valors propis i respectivament.
Si només consideréssim l’spin el nostre estat seria
Addició de moments angulars
Ara, considerem tan el moment angular de l’orbital com el moment angular intrínsec (spin) de l’electró .
Amb i .
Per simplificar l’explicació, anem a considerar només la component dels dos operadors.
Cada operador pertany al seu espai de Hilbert. I com ja sabem, al “sumar” operadors d’espais de Hilbert diferents, ho fem de la següent manera
Matricialment
Per tenim que podem tenir de manera que la matriu seria
I la matriu serà la de tota la vida ()
Clarament, quan fem addició de moments angulars no ho fem de manera matricial, ja que per exemple la matriu corresponent a seria una matriu de 10x10, és a dir seria molt poc pràctic de treballar així.
El moment angular total moltes vegades escrivim que serà
Però, tal com a sistemes compostos, en aquesta suma hi ha uns productes tensorials per la identitat implícits. Quan sumem dos operadors, cadascun en el seu espai de Hilbert, sabem que l’operador resultant pertany a un nou espai de Hilbert que és el producte tensorial dels dos
I per tant la base (acoblada) que obtindrem serà
I ara el que volem és aconseguir una base que sigui pròpia de i , això ho aconseguirem amb els coeficients de Clebsch-Gordan.
Utilitzar els coeficients de Clebsch-Gordan
Aquí una subpàgina on està ben explicat:
.png%3Ftable%3Dblock%26id%3D113c5528-967a-8106-a858-e16165842e36%26cache%3Dv2&w=3840&q=75)
Recordatori
El que farem
Ens demanen els valors i . Per calcular-los farem el següent
- Trobar l’estat a partir de la funció d’ona de l’enunciat.
- Expressar-lo en la base producte (pròpia de i ).
- Calcular les probabilitats de cada estat propi (el mòdul de cada component al quadrat)
- Calcular el valor esperat fent la mitjana aritmètica dels valors propis, cadascun amb la seva probabilitat.
- .
- .
Que ve de fer els bra-kets següents
Informació que ens dona l’enunciat
Tenim que l’electró està en la superposició de dos estats estacionaris.
- , i
- , i
El nombre el desconeixem, però no és important pel que ens demanen.
Primer expressem l’estat en la base acoblada
Anem a construir la base acoblada del nostre electró.
Notació alternativa
El nostre estat serà
Després el passem a la base producte
Utilitzant els coeficients de Clebsch-Gordan, concretament la taula
(Ja que i ).
Veiem que
Per tant, el nostre estat en la base producte serà
I arreglant una mica l’expressió
A continuació calculem les probabilitats de cada estat propi
Si agafem les components de cada estat propi , i en fem el mòdul al quadrat, obtenim les probabilitats que busquem.
Valor esperat de
Com ja sabem els valor esperat (en el discret) es correspon a la mitjana ponderada de valors propis, cadascun amb la seva probabilitat
De manera que