Taules De què serveixen? Ens permeten canviar de la base acoblada a la base producte (també anomenada base desacoblada, o base independent), i també fer el canvi invers.
Notació prèvia Base acoblada
Notació típica
∣ j 1 j 2 m 1 m 2 ⟩ \ket{j_1j_2m_1m_2} ∣ j 1 j 2 m 1 m 2 ⟩ Notacions alternatives
∣ j 1 m 1 , j 2 m 2 ⟩ = ∣ j 1 , m 1 ; j 2 , m 2 ⟩ = ∣ j 1 m 1 ⟩ ⊗ ∣ j 2 m 2 ⟩ = ∣ j 1 m 1 ⟩ ∣ j 2 m 2 ⟩ = ∣ m 1 , m 2 ⟩ \small
\ket{j_1m_1,j_2m_2}
=
\ket{j_1,m_1;j_2,m_2}
=
\ket{j_1m_1}
\otimes\ket{j_2m_2}=\ket{j_1m_1}
\ket{j_2m_2}=\ket{m_1,m_2} ∣ j 1 m 1 , j 2 m 2 ⟩ = ∣ j 1 , m 1 ; j 2 , m 2 ⟩ = ∣ j 1 m 1 ⟩ ⊗ ∣ j 2 m 2 ⟩ = ∣ j 1 m 1 ⟩ ∣ j 2 m 2 ⟩ = ∣ m 1 , m 2 ⟩ Per s s s l l l Notacions equivalents
∣ s 1 s 2 m s 1 m s 2 ⟩ = ∣ s 1 m s 1 , s 2 m s 2 ⟩ = ∣ s 1 , m s 1 ; s 2 , m s 2 ⟩ = ∣ s 1 m s 1 ⟩ ⊗ ∣ s 2 m s 2 ⟩ \ket{s_1s_2 {m_s}_1{m_s}_2}=\ket{s_1{m_s}_1,s_2{m_s}_2}
=
\ket{s_1,{m_s}_1;s_2,{m_s}_2}
=
\ket{s_1{m_s}_1}
\otimes\ket{s_2{m_s}_2} ∣ s 1 s 2 m s 1 m s 2 ⟩ = ∣ s 1 m s 1 , s 2 m s 2 ⟩ = ∣ s 1 , m s 1 ; s 2 , m s 2 ⟩ = ∣ s 1 m s 1 ⟩ ⊗ ∣ s 2 m s 2 ⟩ ∣ l 1 l 2 m l 1 m l 2 ⟩ = ∣ l 1 m l 1 , l 2 m l 2 ⟩ = ∣ l 1 , m l 1 ; l 2 , l s 2 ⟩ = ∣ l 1 m l 1 ⟩ ⊗ ∣ l 2 l s 2 ⟩ \ket{l_1l_2 {m_l}_1{m_l}_2}=\ket{l_1{m_l}_1,l_2{m_l}_2}
=
\ket{l_1,{m_l}_1;l_2,{l_s}_2}
=
\ket{l_1{m_l}_1}
\otimes\ket{l_2{l_s}_2} ∣ l 1 l 2 m l 1 m l 2 ⟩ = ∣ l 1 m l 1 , l 2 m l 2 ⟩ = ∣ l 1 , m l 1 ; l 2 , l s 2 ⟩ = ∣ l 1 m l 1 ⟩ ⊗ ∣ l 2 l s 2 ⟩ Base producte
Notació típica
∣ j , m ⟩ \ket{j,m} ∣ j , m ⟩ A vegades també es fa servir en majúscula, és a dir
∣ J , M ⟩ \small\ket{J,M} ∣ J , M ⟩ .
∣ j 1 j 2 m 1 m 2 ⟩ a b base acoblada → coef. Clebsch-Gordan canvi de base ∣ j , m ⟩ a b base producte \overset{\vphantom{\displaystyle\frac{a}{b}}
\text{base acoblada}}{\ket{j_1j_2 m_1m_2}}
~~
\xrightarrow[\text{coef. Clebsch-Gordan}]{\qquad \text{canvi de base}\qquad}
~~
\overset{\vphantom{\displaystyle\frac{a}{b}}
\text{base producte}}{\ket{j,m}} ∣ j 1 j 2 m 1 m 2 ⟩ b a base acoblada canvi de base coef. Clebsch-Gordan ∣ j , m ⟩ b a base producte Exemple per dos electrons ( 1 2 × 1 2 ) (\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}) ( 2 1 × 2 1 ) El canvi de base explícit
Notació amb fletxes (més entenedora) ∣ 1 1 ⟩ = ∣ ↑ ↑ ⟩ ∣ 1 0 ⟩ = 1 2 ( ∣ ↑ ↓ ⟩ + ∣ ↓ ↑ ⟩ ) ∣ 1 − 1 ⟩ = ∣ ↓ ↓ ⟩ } triplet ( s = 1 ) ∣ 0 0 ⟩ = 1 2 ( ∣ ↑ ↓ ⟩ − ∣ ↓ ↑ ⟩ ) } singlet ( s = 0 ) \begin{rcases}
&\ket{1~1}=\ket{\uparrow\uparrow}
\\[1em]
&\ket{1~0}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\ket{\uparrow\downarrow}+\ket{\downarrow\uparrow}\Big)
\\[1.5em]
&\ket{1~-1}=\ket{\downarrow\downarrow}
\end{rcases}
~
\text{triplet } (s=1)
\\[1em]
\quad\begin{rcases}
\ket{0~0}=\textstyle\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow}\Big)
\end{rcases}\displaystyle~\text{singlet }(s=0) ∣ 1 1 ⟩ = ∣ ↑↑ ⟩ ∣ 1 0 ⟩ = 2 1 ( ∣ ↑↓ ⟩ + ∣ ↓↑ ⟩ ) ∣ 1 − 1 ⟩ = ∣ ↓↓ ⟩ ⎭ ⎬ ⎫ triplet ( s = 1 ) ∣ 0 0 ⟩ = 2 1 ( ∣ ↑↓ ⟩ − ∣ ↓↑ ⟩ ) } singlet ( s = 0 ) ∣ 1 1 ⟩ = ∣ 1 2 1 2 1 2 1 2 ⟩ ∣ 1 0 ⟩ = 1 2 ( ∣ 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ⟩ + ∣ 1 2 1 2 − 1 2 1 2 ⟩ ) ∣ 1 − 1 ⟩ = ∣ 1 2 1 2 − 1 2 − 1 2 ⟩ ∣ 0 0 ⟩ = 1 2 ( ∣ 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ⟩ − ∣ 1 2 1 2 − 1 2 1 2 ⟩ )
\begin{aligned}
&\ket{1~1}=\textstyle \ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}}
\\[1em]
&\ket{1~0}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(
\ket{\textstyle \frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{-1}{2}}
+\textstyle\ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{-1}{2}\frac{1}{2}
}
\Big)
\\[1.5em]
&\ket{1~-1}=\textstyle \ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{-1}{2}\frac{-1}{2}}
\\[1em]
&\ket{0~0}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(\textstyle \ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{-1}{2}}-\textstyle \ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{-1}{2}\frac{1}{2}}\Big)
\end{aligned} ∣ 1 1 ⟩ = ∣ 2 1 2 1 2 1 2 1 ⟩ ∣ 1 0 ⟩ = 2 1 ( ∣ 2 1 2 1 2 1 2 − 1 ⟩ + ∣ 2 1 2 1 2 − 1 2 1 ⟩ ) ∣ 1 − 1 ⟩ = ∣ 2 1 2 1 2 − 1 2 − 1 ⟩ ∣ 0 0 ⟩ = 2 1 ( ∣ 2 1 2 1 2 1 2 − 1 ⟩ − ∣ 2 1 2 1 2 − 1 2 1 ⟩ ) Canvi de base invers Notació amb fletxes ∣ ↑ ↑ ⟩ = ∣ 1 1 ⟩ ∣ ↑ ↓ ⟩ = 1 2 ( ∣ 1 0 ⟩ + ∣ 0 0 ⟩ ) ∣ ↓ ↑ ⟩ = 1 2 ( ∣ 1 0 ⟩ − ∣ 0 0 ⟩ ) ∣ ↓ ↓ ⟩ = ∣ 1 − 1 ⟩
\begin{aligned}
&\ket{\uparrow\uparrow}=\ket{1~1}
\\[1em]
&\ket{\uparrow\downarrow}
=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(
\ket{1~0}+\ket{0~0}
\Big)
\\[1em]
&\ket{\downarrow\uparrow}
=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(
\ket{1~0}-\ket{0~0}
\Big)
\\[1.5em]
&\ket{\downarrow\downarrow}=\ket{1~-1}
\end{aligned} ∣ ↑↑ ⟩ = ∣ 1 1 ⟩ ∣ ↑↓ ⟩ = 2 1 ( ∣ 1 0 ⟩ + ∣ 0 0 ⟩ ) ∣ ↓↑ ⟩ = 2 1 ( ∣ 1 0 ⟩ − ∣ 0 0 ⟩ ) ∣ ↓↓ ⟩ = ∣ 1 − 1 ⟩ ∣ 1 2 1 2 1 2 1 2 ⟩ = ∣ 1 1 ⟩ ∣ 1 2 1 2 1 2 − 1 2 ⟩ = 1 2 ( ∣ 1 0 ⟩ + ∣ 0 0 ⟩ ) ∣ 1 2 1 2 − 1 2 1 2 ⟩ = 1 2 ( ∣ 1 0 ⟩ − ∣ 0 0 ⟩ ) ∣ 1 2 1 2 − 1 2 − 1 2 ⟩ = ∣ 1 − 1 ⟩
\begin{aligned}
&\textstyle \ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}}=\ket{1~1}
\\[1em]
&\textstyle \ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{-1}{2}}
=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(
\ket{1~0}+\ket{0~0}
\Big)
\\[1em]
&\textstyle \ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{-1}{2}\frac{1}{2}}
=\frac{1}{\sqrt{2}}\Big(
\ket{1~0}-\ket{0~0}
\Big)
\\[1.5em]
&\textstyle \ket{\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{-1}{2}\frac{-1}{2}}=\ket{1~-1}
\end{aligned} ∣ 2 1 2 1 2 1 2 1 ⟩ = ∣ 1 1 ⟩ ∣ 2 1 2 1 2 1 2 − 1 ⟩ = 2 1 ( ∣ 1 0 ⟩ + ∣ 0 0 ⟩ ) ∣ 2 1 2 1 2 − 1 2 1 ⟩ = 2 1 ( ∣ 1 0 ⟩ − ∣ 0 0 ⟩ ) ∣ 2 1 2 1 2 − 1 2 − 1 ⟩ = ∣ 1 − 1 ⟩ La taula de Clebsch-Gordan
Busquem a les taules la que posa
1 / 2 × 1 / 2 1/2\times1/2 1/2 × 1/2 (ja que tenim dos electrons, i cada un té spin-1/2).
Nota a mode de curiositat Realment es correspon a la següent
matriu diagonal per blocs .
C 1 / 2 × 1 / 2 = ( 1 0 0 0 0 1 / 2 1 / 2 0 0 1 / 2 − 1 / 2 0 0 0 0 1 ) C_{1/2\times1/2}=\begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&1/\sqrt{2}&1/\sqrt{2}&0\\
0&1/\sqrt{2}&-1/\sqrt{2}&0\\
0&0&0&1
\end{pmatrix} C 1/2 × 1/2 = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 0 1/ 2 1/ 2 0 0 1/ 2 − 1/ 2 0 0 0 0 1 ⎠ ⎞ Com llegir la taula
Anem a veure la informació ens dona la taula
Per expressar la base producte en funció de la acoblada ens fixem en la columna Per expressar la base acoblada en funció de la producte ens fixem en la fila I com haurem vist, cal que tenir en compte una cosa
Més exemples La taula següent
Ens dona, entre altres coses, la informació
∣ 3 0 ⟩ = 1 5 ∣ 2 1 ⟩ ∣ 1 − 1 ⟩ + 3 5 ∣ 2 0 ⟩ ∣ 1 0 ⟩ + 1 5 ∣ 2 − 1 ⟩ ∣ 1 1 ⟩ \ket{3~0}=\frac{1}{\sqrt{5}}\ket{\textcolor{gray}{2}~1}\ket{\textcolor{gray}{1}~-1}+\sqrt{\frac{3}{5}}
\ket{\textcolor{gray}{2}~0}\ket{\textcolor{gray}{1}~0}+\frac{1}{\sqrt{5}}\ket{\textcolor{gray}{2}~-1}\ket{\textcolor{gray}{1}~1} ∣ 3 0 ⟩ = 5 1 ∣ 2 1 ⟩ ∣ 1 − 1 ⟩ + 5 3 ∣ 2 0 ⟩ ∣ 1 0 ⟩ + 5 1 ∣ 2 − 1 ⟩ ∣ 1 1 ⟩ I la taula següent
Ens dona, entre altres coses, la informació
∣ 3 2 1 1 2 0 ⟩ = 3 5 ∣ 5 2 1 2 ⟩ + 1 15 ∣ 3 2 1 2 ⟩ − 1 3 ∣ 1 2 1 2 ⟩
\Ket{\textcolor{gray}{\frac{3}{2} ~1}~ \frac{1}{2}~ 0}
=
\sqrt{\frac{3}{5}}
\Ket{\frac{5}{2} ~\frac{1}{2}}
+
\sqrt{\frac{1}{15}}
\Ket{\frac{3}{2} ~\frac{1}{2}}
-
\sqrt{\frac{1}{3}}
\Ket{\frac{1}{2}~ \frac{1}{2}} ∣ ∣ 2 3 1 2 1 0 ⟩ = 5 3 ∣ ∣ 2 5 2 1 ⟩ + 15 1 ∣ ∣ 2 3 2 1 ⟩ − 3 1 ∣ ∣ 2 1 2 1 ⟩ Petit detall important Si girem la manera en com sumem els moments angulars
(per exemple 1 × 2 1\times 2 1 × 2 enlloc de 2 × 1 2\times 1 2 × 1 ) , pot ser que hàgim de canviar el signe a l’expressió.
Concretament haurem de canviar el signe si
J − j 1 − j 2 J-j_1-j_2 J − j 1 − j 2 és un nombre senar.
O més formalment…
⟨ j 1 j 2 m 1 m 2 ∣ j 1 j 2 J M ⟩ = ( − 1 ) J − j 1 − j 2 ⟨ j 2 j 1 m 2 m 1 ∣ j 2 j 1 J M ⟩ \braket{ j_1 j_2 m_1 m_2 | j_1 j_2 J M}
=(-1)^{J-j_1-j_2}
\braket{ j_2 j_1 m_2 m_1 | j_2 j_1 J M}
⟨ j 1 j 2 m 1 m 2 ∣ j 1 j 2 J M ⟩ = ( − 1 ) J − j 1 − j 2 ⟨ j 2 j 1 m 2 m 1 ∣ j 2 j 1 J M ⟩ En general no caldrà aquest detall si ja considerem bé l’enunciat de bones a primeres.
(algun dia explicar-ho millor, perquè jo tampoc ho he acabat d’entendre).
Valors possibles de j j j m m m Els valors de
j j j van des de
∣ j 1 − j 2 ∣ |j_1-j_2| ∣ j 1 − j 2 ∣ (moments angulars completament oposats) , fins a
j 1 + j 2 j_1+j_2 j 1 + j 2 (moments angulars completament alineats) en unitats de
1 1 1 (valors quantitzats) .
j ∈ { ∣ j 1 − j 2 ∣ , ∣ j 1 − j 2 ∣ + 1 , . . . , j 1 + j 2 } j\in\left\{|j_1-j_2|,|j_1-j_2|+1,...,j_1+j_2\right\} j ∈ { ∣ j 1 − j 2 ∣ , ∣ j 1 − j 2 ∣ + 1 , ... , j 1 + j 2 } I els valors de
m m m van des de
− j -j − j a
j j j , també en salts de
1 1 1 .
m ∈ { − j , − j + 1 , . . . , j } m\in\{-j,-j+1,...,j\} m ∈ { − j , − j + 1 , ... , j } Exemple Si
j 1 = 3 2 j_1=\frac{3}{2} j 1 = 2 3 i
j 2 = 1 j_2=1 j 2 = 1 tindrem que
∣ j 1 − j 2 ∣ = 1 2 j 1 + j 2 = 5 2 |j_1-j_2|=\frac{1}{2}
\qquad\qquad j_1+j_2=\frac{5}{2} ∣ j 1 − j 2 ∣ = 2 1 j 1 + j 2 = 2 5 I com que els salts són de
1 1 1 , els valors possibles de
j j j seran
j ∈ { 1 2 , 3 2 , 5 2 } j\in\left\{\frac{1}{2}, \frac{3}{2},\frac{5}{2}\right\} j ∈ { 2 1 , 2 3 , 2 5 } I per tant els de
m m m seran
m ∈ { − 5 2 , − 3 2 , − 1 2 , 1 2 , 3 2 , 5 2 } m\in\left\{\frac{-5}{2},\frac{-3}{2},\frac{-1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2},\frac{5}{2} \right\} m ∈ { 2 − 5 , 2 − 3 , 2 − 1 , 2 1 , 2 3 , 2 5 } Mateix nombre de kets en les dues bases Sempre tenim el mateix nombre de
kets en les dues bases. I un
ket mai tindrà un valor de
∣ m ∣ |m| ∣ m ∣ superior al valor de la seva
j j j .
Anem a veure-ho considerant l’exemple de l’apartat anterior
Exemple Si tenim
j 1 = 3 2 j_1=\frac{3}{2} j 1 = 2 3 i
j 2 = 1 j_2=1 j 2 = 1 , podem construir els següents
kets :
En la base producte ∣ j m ⟩ \ket{j~m} ∣ j m ⟩ ∣ 5 2 − 5 2 ⟩ \ket{\frac{5}{2}~\frac{-5}{2}} ∣ 2 5 2 − 5 ⟩ ∣ 5 2 − 3 2 ⟩ \ket{\frac{5}{2}~\frac{-3}{2}} ∣ 2 5 2 − 3 ⟩ ∣ 5 2 − 1 2 ⟩ \ket{\frac{5}{2}~\frac{-1}{2}} ∣ 2 5 2 − 1 ⟩ ∣ 5 2 1 2 ⟩ \ket{\frac{5}{2}~\frac{1}{2}} ∣ 2 5 2 1 ⟩ ∣ 5 2 3 2 ⟩ \ket{\frac{5}{2}~\frac{3}{2}} ∣ 2 5 2 3 ⟩ ∣ 5 2 5 2 ⟩ \ket{\frac{5}{2}~\frac{5}{2}} ∣ 2 5 2 5 ⟩ ∣ 3 2 − 3 2 ⟩ \ket{\frac{3}{2}~\frac{-3}{2}} ∣ 2 3 2 − 3 ⟩ ∣ 3 2 − 1 2 ⟩ \ket{\frac{3}{2}~\frac{-1}{2}} ∣ 2 3 2 − 1 ⟩ ∣ 3 2 1 2 ⟩ \ket{\frac{3}{2}~\frac{1}{2}} ∣ 2 3 2 1 ⟩ ∣ 3 2 3 2 ⟩ \ket{\frac{3}{2}~\frac{3}{2}} ∣ 2 3 2 3 ⟩ ∣ 1 2 − 1 2 ⟩ \ket{\frac{1}{2}~\frac{-1}{2}} ∣ 2 1 2 − 1 ⟩ ∣ 1 2 1 2 ⟩ \ket{\frac{1}{2}~\frac{1}{2}} ∣ 2 1 2 1 ⟩
En la base acoblada ∣ j 1 m 1 ⟩ ∣ j m 2 ⟩ \ket{j_1~m_1}\ket{j~m_2} ∣ j 1 m 1 ⟩ ∣ j m 2 ⟩ ∣ 3 3 − 3 2 ⟩ ∣ 1 − 1 ⟩ \ket{\frac{3}{3}~\frac{-3}{2}}\ket{1~-1} ∣ 3 3 2 − 3 ⟩ ∣ 1 − 1 ⟩ ∣ 3 3 − 1 2 ⟩ ∣ 1 − 1 ⟩ \ket{\frac{3}{3}~\frac{-1}{2}}\ket{1~-1} ∣ 3 3 2 − 1 ⟩ ∣ 1 − 1 ⟩ ∣ 3 3 1 2 ⟩ ∣ 1 − 1 ⟩ \ket{\frac{3}{3}~\frac{1}{2}}\ket{1~-1} ∣ 3 3 2 1 ⟩ ∣ 1 − 1 ⟩ ∣ 3 3 3 2 ⟩ ∣ 1 − 1 ⟩ \ket{\frac{3}{3}~\frac{3}{2}}\ket{1~-1} ∣ 3 3 2 3 ⟩ ∣ 1 − 1 ⟩ ∣ 3 3 − 3 2 ⟩ ∣ 1 0 ⟩ \ket{\frac{3}{3}~\frac{-3}{2}}\ket{1~0} ∣ 3 3 2 − 3 ⟩ ∣ 1 0 ⟩ ∣ 3 3 − 1 2 ⟩ ∣ 1 0 ⟩ \ket{\frac{3}{3}~\frac{-1}{2}}\ket{1~0} ∣ 3 3 2 − 1 ⟩ ∣ 1 0 ⟩ ∣ 3 3 1 2 ⟩ ∣ 1 0 ⟩ \ket{\frac{3}{3}~\frac{1}{2}}\ket{1~0} ∣ 3 3 2 1 ⟩ ∣ 1 0 ⟩ ∣ 3 3 3 2 ⟩ ∣ 1 0 ⟩ \ket{\frac{3}{3}~\frac{3}{2}}\ket{1~0} ∣ 3 3 2 3 ⟩ ∣ 1 0 ⟩ ∣ 3 3 − 3 2 ⟩ ∣ 1 1 ⟩ \ket{\frac{3}{3}~\frac{-3}{2}}\ket{1~1} ∣ 3 3 2 − 3 ⟩ ∣ 1 1 ⟩ ∣ 3 3 − 1 2 ⟩ ∣ 1 1 ⟩ \ket{\frac{3}{3}~\frac{-1}{2}}\ket{1~1} ∣ 3 3 2 − 1 ⟩ ∣ 1 1 ⟩ ∣ 3 3 1 2 ⟩ ∣ 1 1 ⟩ \ket{\frac{3}{3}~\frac{1}{2}}\ket{1~1} ∣ 3 3 2 1 ⟩ ∣ 1 1 ⟩ ∣ 3 3 3 2 ⟩ ∣ 1 1 ⟩ \ket{\frac{3}{3}~\frac{3}{2}}\ket{1~1} ∣ 3 3 2 3 ⟩ ∣ 1 1 ⟩
Com veiem, en les dues bases hi han
12 12 12 kets . I sempre tindrem
∣ m ∣ ≤ j |m|\le j ∣ m ∣ ≤ j , és a dir que no tindrem mai un
ket com ara
∣ 3 2 − 5 2 ⟩ \ket{\frac{3}{2}~\frac{-5}{2}} ∣ 2 3 2 − 5 ⟩ o
∣ 0 1 ⟩ \ket{0~1} ∣ 0 1 ⟩ .
Nota conceptual molt important Sumar els moments angulars
J 1 \mathbf{J}_1 J 1 i
J 2 \mathbf{J}_2 J 2 de
dues partícules diferents per obtenir un moment angular
J \mathbf{J} J és a dir fer
∣ j 1 m 1 ⟩ ⊗ ∣ j 2 m 2 ⟩ → ∣ j , m ⟩ \ket{j_1~m_1}\otimes\ket{j_2~m_2}
\xrightarrow{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}~\ket{j,m} ∣ j 1 m 1 ⟩ ⊗ ∣ j 2 m 2 ⟩ ∣ j , m ⟩ És matemàticament idèntic a sumar els moments angulars
L \mathbf{L} L i
S \mathbf{S} S d’
una sola partícula per obtenir el seu moment angular total
J \mathbf{J} J .
∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ → ∣ j , m ⟩ \ket{l~m_l}\otimes\ket{s~m_s}
\xrightarrow{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}~\ket{j,m} ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ∣ j , m ⟩ En els dos casos, per anar de la base acoblada a la producte (o a la inversa), es fa amb els coeficients de Clebsch-Gordan.
Quina base cal fer servir? Recordatori
Si volem aplicar un operador
O O O al nostre estat
∣ ψ ⟩ \ket{\psi} ∣ ψ ⟩ , el que ens facilitarà més els càlculs serà expressar el nostre estat en una base que sigui pròpia de l’operador
O O O .
Base acoblada
Per una sola partícula, la base acoblada és pròpia dels operadors
L z L_z L z ,
L 2 L^2 L 2 ,
S z S_z S z i
S 2 S^2 S 2 .
Aviam L z ( ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) = ( L z ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) = m l ℏ ( ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) L_z\big(\ket{l~m_l}\otimes\ket{s~m_s}
\big)=\big(L_z\ket{l~m_l}\otimes\ket{s~m_s}
\big)=m_l\hbar \big(\ket{l~m_l}\otimes\ket{s~m_s}
\big) L z ( ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) = ( L z ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) = m l ℏ ( ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) L 2 ( ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) = ( L 2 ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) = l ( l + 1 ) ℏ 2 ( ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) L^2\big(\ket{l~m_l}\otimes\ket{s~m_s}
\big)=\big(L^2\ket{l~m_l}\otimes\ket{s~m_s}
\big)=l(l+1)\hbar^2 \big(\ket{l~m_l}\otimes\ket{s~m_s}
\big) L 2 ( ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) = ( L 2 ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) = l ( l + 1 ) ℏ 2 ( ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) S z ( ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) = ( ∣ l m l ⟩ ⊗ S z ∣ s m s ⟩ ) = m s ℏ ( ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) S_z\big(\ket{l~m_l}\otimes\ket{s~m_s}
\big)=\big(\ket{l~m_l}\otimes S_z\ket{s~m_s}
\big)=m_s\hbar \big(\ket{l~m_l}\otimes\ket{s~m_s}
\big) S z ( ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) = ( ∣ l m l ⟩ ⊗ S z ∣ s m s ⟩ ) = m s ℏ ( ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) S z ( ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) = ( ∣ l m l ⟩ ⊗ S 2 ∣ s m s ⟩ ) = s ( s + 1 ) ℏ 2 ( ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) S_z\big(\ket{l~m_l}\otimes\ket{s~m_s}
\big)=\big(\ket{l~m_l}\otimes S^2\ket{s~m_s}
\big)=s(s+1)\hbar^2
\big(\ket{l~m_l}\otimes\ket{s~m_s}
\big) S z ( ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) = ( ∣ l m l ⟩ ⊗ S 2 ∣ s m s ⟩ ) = s ( s + 1 ) ℏ 2 ( ∣ l m l ⟩ ⊗ ∣ s m s ⟩ ) Recordem que cada operador actua només en el seu subespai.
De la mateixa manera, per dues partícules, la base acoblada serà pròpia de
J z 1 {J_z}_1 J z 1 ,
J 1 2 J^2_1 J 1 2 ,
J z 2 {J_z}_2 J z 2 i
J 2 2 J^2_2 J 2 2 .
Base producte
La base producte és pròpia dels operadors
J z J_z J z i
J 2 J^2 J 2 , corresponents al moment angular total.
Conclusió En funció de l’operador triarem la base acoblada o la base producte, i anirem d’una a l’altra mitjançant els coeficients de Clebsch-Gordan.
