Entendre els coeficients de Clebsch-Gordan

Entendre els coeficients de Clebsch-Gordan

Taules

De què serveixen?

Ens permeten canviar de la base acoblada a la base producte (també anomenada base desacoblada, o base independent), i també fer el canvi invers.
Notació prèvia
Base acoblada
Notació típica
Notacions alternatives
Per i
Notacions equivalents
Base producte
Notació típica
A vegades també es fa servir en majúscula, és a dir .

Exemple per dos electrons

El canvi de base explícit
Notació amb fletxes (més entenedora)
Canvi de base invers
Notació amb fletxes
La taula de Clebsch-Gordan
Busquem a les taules la que posa (ja que tenim dos electrons, i cada un té spin-1/2).
notion image
Nota a mode de curiositat
Realment es correspon a la següent matriu diagonal per blocs.
Com llegir la taula
Anem a veure la informació ens dona la taula
  • Per expressar la base producte en funció de la acoblada ens fixem en la columna
    • notion image
      notion image
  • Per expressar la base acoblada en funció de la producte ens fixem en la fila
    • notion image
      notion image
I com haurem vist, cal que tenir en compte una cosa
  • A tots els coeficients els hem de posar una arrel quadrada
    • (No la posen per simplificar l’aspecte visual de la taula, però tots la tenen implícitament)
    • Si hi ha un signe negatiu, aquest va fora l’arrel.

Més exemples

La taula següent
notion image
Ens dona, entre altres coses, la informació
I la taula següent
notion image
Ens dona, entre altres coses, la informació

Petit detall important

Si girem la manera en com sumem els moments angulars (per exemple enlloc de ), pot ser que hàgim de canviar el signe a l’expressió.
Concretament haurem de canviar el signe si és un nombre senar.
O més formalment…
En general no caldrà aquest detall si ja considerem bé l’enunciat de bones a primeres.
(algun dia explicar-ho millor, perquè jo tampoc ho he acabat d’entendre).

Valors possibles de i

Els valors de van des de (moments angulars completament oposats), fins a (moments angulars completament alineats) en unitats de (valors quantitzats).
I els valors de van des de a , també en salts de .
Exemple
Si i tindrem que
I com que els salts són de , els valors possibles de seran
I per tant els de seran

Mateix nombre de kets en les dues bases

Sempre tenim el mateix nombre de kets en les dues bases. I un ket mai tindrà un valor de superior al valor de la seva .
Anem a veure-ho considerant l’exemple de l’apartat anterior
Exemple
Si tenim i , podem construir els següents kets:
En la base producte
En la base acoblada
Com veiem, en les dues bases hi han kets. I sempre tindrem , és a dir que no tindrem mai un ket com ara o .

Nota conceptual molt important

Sumar els moments angulars i de dues partícules diferents per obtenir un moment angular és a dir fer
És matemàticament idèntic a sumar els moments angulars i d’una sola partícula per obtenir el seu moment angular total .
En els dos casos, per anar de la base acoblada a la producte (o a la inversa), es fa amb els coeficients de Clebsch-Gordan.

Quina base cal fer servir?

Recordatori
Si volem aplicar un operador al nostre estat , el que ens facilitarà més els càlculs serà expressar el nostre estat en una base que sigui pròpia de l’operador .
Base acoblada
Per una sola partícula, la base acoblada és pròpia dels operadors , , i .
Aviam
Recordem que cada operador actua només en el seu subespai.
De la mateixa manera, per dues partícules, la base acoblada serà pròpia de , , i .
Base producte
La base producte és pròpia dels operadors i , corresponents al moment angular total.

Conclusió

En funció de l’operador triarem la base acoblada o la base producte, i anirem d’una a l’altra mitjançant els coeficients de Clebsch-Gordan.