Enunciat
Solució oficial
Context previ
Pel que ens diu l’enunciat, tenim un observable amb valors propis i , de manera que en la seva base pròpia s’expressa així
Anem a anomenar a aquesta base.
El hamiltonià en aquesta base és
Per què?
Podríem diagonalitzar-lo (és un moment), però al saber que els valors propis de són , sabem immediatament que els de són .
En la seva base pròpia serà per tant
La base l’anomenem
El canvi de base és el típic de Stern-Gerlach
Nota
A les solucions oficials es fa diferent. Les dues maneres són vàlides.
Això és perquè quan obtenim un vector propi complex , realment qualsevol vector és un vector propi igual de vàlid. De manera que l’expressió dels estats i és en realitat una qüestió de conveni.
Per exemple, en els apunts del Garrido es fa servir i en els del Griffiths en canvi .
Conseqüentment el canvi de base invers a nosaltres ens donarà i a la solució oficial (que segueixen el conveni de Griffiths) els donarà .
Estat inicial
El nostre estat inicial, ens diu l’enunciat que és (”estat tal que donaria el valor propi amb tota certesa”), així que l’únic que hem de fer és expressar aquest estat en la base pròpia del hamiltonià.
Apartat A
Les probabilitats de mesurar cada energia seran
Recordem que l’estat fonamental és el que té menys energia (aleshores entre i per força haurà de ser ).
Apartat B
El valor esperat de l’energia serà
Però si recordem la teoria, per hamiltonians independents del temps, el hamiltonià i l’operador evolució temporal commuten, així que . I per tant
Així doncs tindrem que
Tal com esperaríem el valor esperat d’ és una constant del moviment.
Apartat C
Ara ens demanen el temps per tal que l’estat torni a ser idèntic al estat inicial.
Per a fer-ho haurem de
- Calcular
- Aplicar-lo al nostre estat per trobar
- Mirar quan torna a tenir la mateixa expressió que
Anem a fer-ho.
Que en la base és simplement
Aplicant-lo al nostre estat (també en aquesta base) obtenim
Com ja sabem, considerem dos estats com a idèntics o iguals en funció de si les seves components tenen la mateixa fase relativa (no ens importa la fase absoluta), de manera que
I veiem que això serà igual al nostre estat quan
I per tant, els estats seran idèntics quan hagin transcorregut algun dels següents temps