Aquesta pàgina conté informació poc fiable.
La física s’expressa en equacions diferencials
Pensar la Física com a comportaments descrits localment (en l’espai i en el temps) per equacions diferencials
Linealitat o no linealitat de les equacions diferencials
Equacions diferencials en física
- Equació d’ones - Lineal
- Pèndol simple - No lineal
- Bla bla
Interaccions fonamentals
- Interacció electromagnètica (equacions de Maxwell) - Lineal
- Interacció gravitatòria clàssica (equació de Poisson) - Lineal
- Interacció gravitatòria segons RG (equacions de camp d’Einstein) - No lineal
- Interacció nuclear forta (equacions de Yang-Mills) - No lineal
Nota: Així com a curiositat, al final totes es es podrien derivar de resoldre les equacions de Lagrange generals (amb tensors) pel lagrangià de cada model.
Existència i unicitat de la solució d’una equació diferencial
A partir d’un Lagrangià concret podem obtenir un sistema d’equacions diferencials
Pensar en qualsevol equació diferencial de la física com un cas particular de les equacions de Lagrange generals per un lagrangià concret (i de la forma del model teòric en el que estem treballant)
Nota: I ja sabem que una manera alternativa d’arribar a les equacions diferencials a partir del lagrangià és construir-nos el hamiltonià i escriure les equacions de Hamilton.
Qualsevol Lagrangià prové d’un funcional d’acció estacionària (principi més fonamental de l’univers)
Explicat a .
Per cada simetria continua de l’acció, existeix una quantitat conservada (Teorema de Noether)
Una força no és més que la solució d’una equació diferencial d’un camp escalar, vectorial o tensorial
Maneres d’obtenir una força escalar
Sempre hi ha una manera típica d’obtenir una força escalar, i és amb un camp escalar unidimensional
Aquí és un camp escalar de una dimensió, i és un escalar.
Nota
Si el potencial depengués del temps aleshores ja no seria un camp escalar potencial (dependria del camí seguit, és a dir de la velocitat unidimensional amb la que s’ha passat d’un punt un punt ) i per tant no n’obtindríem una força (crec no ho acabo de tenir clar què passaria si depengués del temps)
Altres maneres
Tot i que no sigui rellevant en les forces fonamentals de la física (ja que totes són vectorials o tensorials), també podríem obtenir matemàticament una força escalar a partir de un camp vectorial o a partir d’un camp tensorial i un vectorial
Maneres d’obtenir una força vectorial
Ja sigui en 2 dimensions, en 3 dimensions o en 4 (quadri-força, quadri-divergència), sempre hi han dues maneres típiques d’obtenir una força vectorial.
Gradient d’un camp escalar
Amb el gradient d’un camp escalar (de més d’una dimensió) s’obté una força vectorial
Rotacional d’un camp vectorial
A partir d’un potencial vector (camp vectorial) es pot obtenir un camp vectorial potencial, corresponent a un força.
Altres maneres
Realment també es podria obtenir a partir de la divergència d’un camp tensorial
Maneres d’obtenir una ‘força’ tensorial (tensor d’esforços) de rang 2
Podem obtenir un tensor d’esforços de rang 2 de diferents maneres.
A partir del gradient d’un camp vectorial
Recordem que corresponent al producte tensorial (no al de Kronecker).
Així doncs podem obtenir una tensor d’esforços a partir d’un camp vectorial (com ara el de desplaçaments o velocitats)
Exemple del tensor d’esforços a les equacions de Navier-Cauchy
Divergència del camp de desplaçaments (camp tensorial potencial)
Tensor de deformacions
Tensor d’esforços
Altres maneres
Com hem vist abans, podem aconseguir un camp vectorial de diferents maneres, així doncs també podrem aconseguir un tensor d’esforços de les maneres següents
Existeixen 4 interaccions fonamentals i moltes no fonamentals, totes s’expressen amb equacions diferencials
Nota: no podem demostrar que una interacció és fonamental, només ho podem postular
Si som estrictes, mai podrem saber les ‘lleis’ que regeixen l’univers. Llei en el sentit de veritat immutable i última. És a dir per molt que trobem unes equacions diferencials que semblin poder explicar tots els comportaments de l’univers, mai podrem estar segurs de que aquelles lleis són les més fonamentals de totes. Sempre hi podria haver quelcom més microscòpic que s’escapés d’aquestes lleis, o podria ser que no existeixin unes equacions diferencials últimes, és a dir podria ser que la naturalesa física no es pogués expressar amb matemàtiques (no fos un comportament analític) i simplement totes les mesures experimentals fetes fins al moment caiguessin dins del marge d’error d’una bona aproximació numèrica.
Aquest debat correspon a la filosofia de la ciència. És a dir realment des de la física no podem assegurar que existeixin unes lleis fonamentals, tot i així, postularem que existeixen. I postularem que d’existir, les equacions diferencials serien les corresponents a un model teòric que permet unificar les 5 principals forces observades en l’univers (força elèctrica, força magnètica, força nuclear forta, força nuclear feble i força gravitatòria).
Les interaccions ‘no-fonamentals’ es poden pensar com un fenomen emergent degut al nombre de graus de llibertat d’un sistema només governat per interaccions fonamentals
Interaccions fonamentals, forces fonamentals i lagrangià de cada model teòric ⭐
Com hem vist, a partir d’un Lagrangià o funcional d’acció podem obtenir unes equacions diferencials de la teoria. D’aquesta se’n dedueixen (si es poden resoldre) unes equacions del moviment o funció d’ona, i una força corresponent.
Anem a veure de les principals interaccions fonamentals, quins lagrangians tenim, quins camps corresponents hi ha, quines forces resulten i quines són les equacions diferencials.
Material (magatzem)
Interaccions fonamentals
- Interacció electromagnètica (equacions de Maxwell) - Lineal
- Interacció gravitatòria segons RG (equacions de camp d’Einstein) - No lineal
- Interacció nuclear forta (equacions de Yang-Mills) - No lineal
Nota: Així com a curiositat, al final totes es es podrien derivar de resoldre les equacions de Lagrange generals (amb tensors) pel lagrangià de cada model.
Interacció gravitatòria clàssica
Lagrangià clàssic
Interacció gravitatòria clàssica (Equació de Poisson)
Resolent les equacions d’Euler-Lagrange s’arriba a l’equació de Poisson
En l’equació de Poisson apareix un camp escalar potencial de 3 dimensions anomenat potencial gravitatori.
D’aquest se’n obté la força gravitatòria
Aquesta força és la mateixa que apareix a la llei de gravitació universal de Newton (equació diferencial solucionada)
Anem a veure-ho.
Equivalència amb la Llei de Newton
Anem a solucionar l’equació de Poisson
Interacció electromagnètica
Interacció electromagnètica (Equacions de Maxwell)
Les equacions de Maxwell en el buit són
Tenim dos camps vectorials (el de corrent no compta) i dues forces, l’elèctrica i la magnètica. O ho podem pensar com que tenim un sol camp electromagnètic i una força, la força electromagnètica (o de Lorentz).
Lagrangià equivalent
Tensor de Lorentz
Separació en part elèctrica i part magnètica
Notar que en el cas de camps (i càrregues) no variants amb el temps es poden separar les equacions de Maxwell en la part electrostàtica i la part magnetostàtica.
On ara la força elèctrica i magnètica són independents, i es corresponen al camp electrostàtic i magnetostàtic respectivament.
Possible teoria del tot
Lògica d’una teoria del tot
- Hauria d’existir un funcional d’acció fonamental de l’univers
- El lagrangià corresponent a aquesta acció seria el lagrangià que definiria el model teòric anomenat ‘la teoria del tot’.
- Solucionades les equacions de Lagrange per un sistema de partícules (considerant tots els graus de llibertat) obtindríem el comportament del sistema al llarg del temps.
- Conèixer el comportament del sistema implica que no sols coneixeríem les equacions del moviment (o funció d’ona del sistema), sinó que també en podríem deduir una força unificada.
- Aquesta força unificada seria la força corresponent entre dues partícules hipotètiques, partícules encara més fonamentals que les del model estàndard (per exemple cordes en la teoria de cordes).
- Aquesta força unificada, s’hauria de poder separar, en els diferents límits d’energia* (molt alta, alta, mitjana, baixa; corresponents a les diferents etapes des de la creació de l’univers) en les diferents forces fins ara cregudes fonamentals, observades en la naturalesa (electromagnètica, nuclear forta, nuclear feble i gravitatòria)
Per exemple segons alguna de les teories de cordes, la unió electrofeble passa a uns 100 GeV, la gran unificació passa a una 10^16 GeV i la unificació total a l’anomenada energia de Plank, uns 10^19 GeV.
*Es creu que dependria únicament de l’energia al ser la interacció més fonamental possible, però podria ser que depengués d’altres factors i no tot es pogués reduir a l’energia. Per exemple la força elèctrica i magnètica es poden separar en certes condicions (límits) però aquestes condicions no depenen de la temperatura.
Encara que poguéssim deduir el lagrangià més fonamental de l’univers, caldria derivar-ne la resta de teories en els diferents límits
Teoria de la informació i teorema de spin-estadística
Teoria de la informació original
Hamiltonians factoritzables
Funció de partició d’un sistema
Teorema de spin-estadística a partir de QFT
Límits que s’haurien d’obtenir d’una teoria del tot
Fer-ne un dia un mapa conceptual ben fet i maco (per exemple amb Lucidchart).
Per energia alta però moderada —> Teoria de la Gran Unificació i Relativitat General desacoblades
Per energia mitjana —> Teoria Electrofeble i Cromodinàmica Quàntica (teories quàntiques de camps) desacoblades dins la GUT + Relativitat General
Per energia baixa (actualitat) —> Teoria del model estàndard + Relativitat General. Interacció nuclear feble i Electrodinàmica Quàntica desacoblades (durant els estats anteriors i posteriors al mecanisme de Higgs) dins la Teoria Electrofeble —> Deducció de l’Equació de Klein-Gordon, l’equació de Dirac i totes les particularitats del model estàndard (física atòmica, nuclear i de partícules)
Límit Termodinàmic (nombre de partícules elevat) —> Estudi de sistemes fora de l’equilibri termodinàmic
En equilibri termodinàmic —> Estudi de fenòmens col·lectius i de transició de fase i física de l’estat sòlid —> Mecànica de Fluids (Navier-Stokes) i Teoria de Deformacions (Navier-Cauchy)
En el límit no-interactuant —> Física Estadística —> Lleis de la Termodinàmica
Més informació
Explicat a .
Física (postulats) i matemàtiques (la resta)
Realment la física són uns pocs postulats sobre com funciona el nostre univers, la resta són agafar casos particulars de teories matemàtiques més generals.
Postulats Necessaris
Els següents postulats “limiten” quins Lagrangians podrien ser possibles dins dels totals
- Principi d’acció estacionària (ha d’existir una acció estacionària, és a dir el funcional d’acció ha de tenir un màxim o un mínim)
- Simetries gauge (el nostre univers segueix unes simetries concretes a nivell local)
- Principi de Relativitat (afirma que el lagrangià serà invariant respecte aquestes simetries gauge) segur?
I en principi ja estaria, serien aquests 3 i prou. Els teoremes de Noether es dedueixen d’aquestes tres, i el principi d’equivalència del principi de relativitat.
Concretament l’únic postulat físic real seria el de quines simetries (gauge) segueix el nostre univers, d’allà a partir del principi de relativitat obtindríem un seguit de lagrangians possibles, cadascun amb la seva acció i sabríem quin de tots és a partir de si és compatible o no amb les resultats experimentals.
La dificultat estaria en que fos compatible amb els resultats experimentals, això és
- Pogués replicar els principis de la mecànica quàntica de camps per un espai-temps pla (més simètric)
- Pogués replicar els principis de la mecànica quàntica (no-relativista), és a dir espai i temps desacoblats (encara més simetria)
- Fos compatible amb les condicions de normalització d’aquestes (que no existís una energia experimental infinita).
Les teories principals de la física a partir de constants universals
Quantes constants universals té el nostre univers? A vegades algunes que es pensaven que eren universal han resultat ser derivables d’altres constants. De moment.
- constant de Plank (Mecànica Quàntica)
- velocitat de la llum (Relativitat General)
- constant de Boltzmann (Física Estadística)
- constant de gravitació universal (Mecànica Newtoniana)
- permitivitat elèctrica del buit (Electromagnetisme)
- 18 constants més referents a paràmetres del Model Estàndard
- Per més informació:‣.
Descobrir una nova constant universal (independent del temps i l’espai i que no sigui derivable des de les altres constants) implicaria haver descobert nova física.