Requisit previ: 
Funció gamma i integrals Gaussianes
Recursos externs (informació addicional)
Explicació divulgativa de la hipòtesis de Riemann
‣
Relació amb els nombre primers
‣
Demostració Eta de Dirichlet a partir de la zeta de Riemann
‣
Resolució de la integral per
‣
Basel problem ()
‣
Relacions de la funció zeta
‣
Valors particulars
‣
Aquest apartat està en procés, la informació pot no ser correcta.
Funció zeta de Riemann
Nota prèvia
La funció zeta de Riemann apareix en un piló de branques avançades de les matemàtiques.
Forma part d’un dels problemes del mileni (la hipòtesis de Riemann), té molt a veure amb els nombres primers, i quasi bé res relacionat amb ella és trivial.
En aquesta pàgina ens centrarem únicament en l’essencial necessari per tal de resoldre algunes integrals.
Definició
Definició en forma de sumatori:
Definició en forma integral
Podem comprovar a partir de la sèrie geomètrica que les dues definicions són equivalents
Equivalència entre definicions
Tenim la sèrie geomètrica
I tenim la funció Gamma. I tenim que sumatori i integral es poden (o no?) intercanviar.
Procés explicat a ‣.
Relacions funcionals
Equació de reflexió
De manera equivalent
Valors particulars
Per valors negatius
Si tenim nombres enters negatius, ho podem fer a partir de l’expressió següent
On són els números de Bernoulli, i els enters parells negatius són els “zeros trivials” de la funció.
Interval entre 0 i 1
Per tindrem la zona complicada, que podem calcular computacionalment
Exemple: càlcul per
Per tenim
Computacionalment si féssim el sumatori (enlloc de fins a infinit) fins a obtindríem que
Integrals relacionades amb la funció zeta de Riemann
Sempre per
Funció eta de Dirichlet
Funció eta de Dirichlet, definicions
A partir de la funció zeta de Riemann
Demostració de la relació entre la eta de Dirichlet i la zeta de Riemann
Realment encara que tinguem una suma, la podrem expressar en funció de la zeta de Riemman, fixem-nos en la següent propietat.
La demo es troba al wolfram mathworld
Valors particulars
Integrals relacionades amb la funció eta de Dirichlet
Per tenim
Crec que és sense el -1
Més integrals relacionades
No confondre’s amb la integral
Valors particulars d’integrals
No sé com però tenim
I per tant
Funcions de Bose-Einstein
Funcions de Bose-Einstein definició
I per tant per