Intenteu afegir-hi únicament les explicacions que considereu realment necessàries o clarificadores. No calen tots els passos, només les idees clau.
Solucions oficials
Capítol 1
1.2
Enunciat
A està explicada la lògica de posar partícules a dins de caixes.
Recordem la següent taula resum pel model de posar boles a dins de caixes
Apartat A
Si les partícules són distingibles (variacions) i no hi ha cap restricció tenim doncs variacions amb repetició
Aquests són els casos totals, els casos favorables (que no hi hagi més d’una partícula en una caixa) seran doncs variacions sense repetició
Apartat B
Si les partícules són indistingibles (combinacions) i no hi ha cap restricció tindrem doncs combinacions amb repetició
Els casos favorables de màxim 1 partícules per caixa seran doncs combinacions sense repetició
Apartat C
Si són indistingibles i màxim podem tenir una partícula per caixa tindrem combinacions normals
Tots aquests casos tenen màxim una partícula per caixa així que són també els casos favorables (la probabilitat és 1).
Sobre les estadístiques
Ja ho veurem més endavant, però a física estadística hi ha 3 estadístiques típiques
- Estadística de Maxwell-Boltzmann (clàssica)
- Estadística de Fermi-Dirac (quàntica, per fermions)
- Estadística de Bose-Einstein (quàntica, per bosons)
On els fermions són partícules amb spin semienter (com l’electró, el protó, el muó… que tenen spin ) i els bosons són partícules amb spin enter (com els fotons o els bosons i que tenen spin , el bosó de Higgs o un nucli d’Heli que tenen spin …)
És fàcil calcular que, de les probabilitats obtingudes en els 3 apartats, es compleix
Això no és important ja que ho veurem més endavant, però és una mera curiositat.
Bàsicament la gràcia està en què les distribucions (de probabilitat) corresponents a cada estadística (definides en el continu) també segueixen aquesta desigualtat.
Aviam?
Idea conceptual
Suposem que tenim 4 nivells d’energia i 3 partícules que poden estar en aquests nivells. Anomenarem “nombre d’ocupació” al número de partícules que hi ha en un nivell.
Per exemple:
Molt bé, cada nivell d’energia té el seu nombre d’ocupació, doncs si tenim infinits nivells d’energia, això es pot aproximar al continu. Però al fer aquesta aproximació ja no podem dir amb certesa quantes partícules hi haurà en cada nivell, així que hem de dir per cada energia quin valor esperat de nombre d’ocupació podem obtenir.
Distribucions estadístiques
Les distribucions de Fermi-Dirac, Bose-Einstein i Maxwell Boltzmann són les següents
Si en fem una gràfica (considerant com en el problema), obtenim
I si ara considerem la pregunta del problema “Per quin cas és més probable que hi hagi una partícula, com a molt, en cada caixa (nivell d’energia)”, és similar a la pregunta “per quina estadística és més probable que ”.
I obtenim la mateixa desigualtat, que per Fermi-Dirac la probabilitat és del 100% i és major que per Maxwell-Boltzmann i que aquesta és al mateix temps major que la de Bose-Einstein.
De nou, això ja ho veurem més endavant.
1.3
Enunciat
En aquest problema ens demanen directament calcular el volum d’una hiperesfera de dimensions, així com la seva superfície i el volum d’una closca hiperesfèrica de gruix .
Estem de sort! Ja que hi ha una subpàgina sencera dedicada a això:
En aquesta pàgina hi ha explicat pas a pas com obtenir la fórmula del volum d’una hiperesfera.
Nota: s’ha de dir que la solució oficial d’aquest exercici és més senzilla i ràpida que la de la subpàgina.
A partir d’aquí la superfície s’obté simplement derivant
I la closca hiperesfèrica equivaldria a un “diferencial de volum ”, és a dir
Apartat C
Les expressions es poden expressar a partir de la constant (volum hiperesfera de radi unitat) tal que així
Aleshores fent els logaritmes obtenim
Per suficientment gran (i finit) tenim
Així doncs les tres expressions donen el mateix en el límit .
E 1.1
Resolució convencional
Només recordar que a hi trobem la deducció de la fórmula general per les integrals del tipus
Que podíem calcular manualment (a partir del canvi de variable )
O simplement mirant la fórmula general, i els seus resultats particulars, que entre els quals trobem el necessari per l’apartat A
I els dos necessaris per l’apartat B (calcular )
Nota
En l’apartat A hi ha un error, hi falta una arrel quadrada a la solució final
Resolució pel mètode de la funció de partició
Comentari
El següent no és gaire important, no surt a cap examen ni en altres exercicis resolts, i no té gaire sentit posar aquest exercici al capítol 1 quan a aquestes alçades no es sap ni què és la funció de partició (col·lectivitat canònica). Així que el podeu ignorar si voleu.
Tot i així, no sigui dit, anem a intentar donar una explicació mitjanament satisfactòria sobre el perquè de l’exercici.
Començarem amb una mica de context sobre què és la funció de partició.
Context
Recordem que en la física estadística, podem fer l’estudi d’un sistema (en equilibri termodinàmic) relacionant-ne les seves propietats microscòpiques (microestats del sistema) amb les seves propietats macroscòpiques (variables termodinàmiques).
En la col·lectivitat canònica (sistema a temperatura constant), es postula que com més energia té un microestat, menys probable és.
Concretament cada microestat tindrà una probabilitat associada . De manera que si un microestat té una energia gran, serà poc probable i si té una energia baixa serà més probable.
La depèn de la temperatura, i ja que la constant de Boltzmann és molt petita (casi zero) la en general serà molt i molt gran, de manera que serà ínfim.
La seva suma de probabilitats dels microestats, tal com hem definit clarament no suma , així doncs ens falta normalitzar la distribució. I aquesta constant de normalització és justament el que anomenem funció de partició del sistema.
Anem a definir la distribució de probabilitat normalizada.
Nota: En física estadística sempre treballarem amb Hamiltonians que són l’energia total del sistema (o de la partícula), és a dir que .
Així doncs per exemple si tindrem que serà una distribució de probabilitat bidimensional, si en canvi , tindrem una distribució de probabilitat unidimensional.
En el nostre exemple
En el nostre exemple tenim una distribució unidimensional , i ens podem fixar que el seu Hamiltonià corresponent serà.
Podem prendre per comoditat o no fer-ho, el resultat serà el mateix.
Molt bé, com hem vist, solucionant la integral obtenim
Moment matemàtic d’una variable
Recordem que el valor esperat (esperança o moment matemàtic 1 d’una variable) es defineix com a
Ens quedarem amb el cas continu. El moment matemàtic d’una variable serà doncs
Cas concret
Si és una exponencial d’un polinomi, per exemple , podem fixar-nos que fer la derivada parcial de respecte algun dels seus paràmetres és equivalent al següent
Així doncs
Podem fixar-nos fàcilment, mitjançant la regla de la cadena, que sempre es compleix la següent identitat
Que en el nostre cas és
I per tant
Conclusió matemàtica
Si nosaltres tenim una distribució de probabilitat de la forma , on és un polinomi al estil
Podem trobar-ne els moments matemàtics derivant respecte el seu paràmetre corresponent
Solució de l’exercici
En el nostre exercici tenim
Així doncs de manera directa tenim que
La desviació estadística serà doncs
I ja estaríem :)
És a dir, realment l’exercici es resolia molt ràpid, simplement ens calia una mica de context.
Extra
Fixem-nos que si tenim el cas general i derivem respecte , obtenim justament el valor esperat de l’energia
D’aquí ve la fórmula
E 1.2
Enunciat
Si volem posar partícules en infinits nivells d’energia però l’energia total està fixada, a vegades podrem solucionar-ho mitjançant combinacions amb repetició (exercici 2.5) però normalment haurem de fer el recompte de microestats de manera manual. Anem a veure-ho.
En el nostre exercici els nivells van al estil , amb .
Fixem-nos que encara que tinguem infinits nivells d’energia, al tenir fixada, és com si només tinguéssim nivells d’energia ().
Manualment ens seria ràpid adonar-nos que si les partícules fossin indistingibles tindríem els següents 3 microestats
Si les partícules fossin distingibles, hauríem de tenir en compte les permutacions extres dins de cada microestat, per exemple tenir una partícula vermella al primer nivell i una blava al segon és diferent de tenir una blava al primer i una vermella al segon.
Tot i així no totes les permutacions són estats nous! Intercanviar partícules dins d’un mateix nivell d’energia no canvia res, segueix sent el mateix microestat.
Manualment, els microestats serien
És a dir que en tenim 20 en total.
Més generalment, si tenim un microestat indistingible amb partícules, podrien haver-hi permutacions distingibles d’aquest estat, i d’aquestes hauríem de descomptar les permutacions dels estats que tinguin més d’una partícula , , …
Recordem que això és permutacions amb repetició, aleshores en el cas general un microestat indistingible té microestats distingibles associats, on és el nombre de partícules i , , … són el nombre de partícules per nivell d’energia.
Nota
Ens podríem preguntar si hi ha alguna manera general de considerant partícules i infinits nivells d’energia amb fixada, obtenir les solucions que hem obtingut de microestats pel cas indistingible i pel cas distingible. La resposta és que malauradament no. No existeix una fórmula explícita.
Per què no?
El problema és equivalent a preguntar-se de quines maneres podem sumar .
Per exemple si i tenim partícules podrem fer-ho de 4 maneres
Si o superior, tindrem 5 maneres possibles i seran sempre aquestes.
Aleshores per tindrem que si hi han maneres possibles.
Aquesta funció és la dels nombres de partició enters (que no té res a veure amb la funció de partició).
I malgrat hi hagi una fórmula una mica lletja per calcular-los
Aquesta no és explícita, i tal com diu la Wikipedia
“No closed-form expression for the partition function is known”.
Aleshores, si el nostre objectiu era imaginar unes funcions (pel cas indistingible) i (pel cas distingible) tals que de manera similar a les combinacions o les repeticions, podien prendre dos números enters i retornar-ne un tercer seguint aquest model, és a dir
Veiem que malauradament no existirà una fórmula general (si més no explícita) per aquestes funcions.
Ja que si no existeix per no podrà existir per un cas més general .
Capítol 2
2.4
Solució “Statistical Physics of Particles - Sakur (2007)”
Enunciat
2.5
Solució “Statistical Physics of Particles - Sakur (2007)”
Enunciat
Solució
És l’exercici 2
Enunciat
Capítol 3
Capítol 4
Capítol 5
Capítol 6
Capítol 7
Capítol 8
Plantejar-se potser adoptar el model de base de dades deExàmens MQ explicats detalladament.
