Expressions ràpides
Hiperesfera de radi i dimensions
Per dimensió (parella)
Per dimensió (senar)
Nota: Si tenim oscil·ladors harmònics unidimensionals ( i per cada partícula), necessitarem el volum d’una hiperesfera de dimensions.
Si tenim una superficie o volum i només volem un quadrant o un octant hem de dividir per
Resultats integrals
Passar d’hiperl·lipsoide a hiperesfera
Si tenim un hiperel·lipsoide de radis , podem construir una hiperesfera amb el mateix volum, si prenem com a radi el següent
Càlcul del volum d’una hiperesfera
1. Relacions entre volums i superfícies d’una hiperesfera
Si tenim una hiperesfera de radi i dimensions, denotarem pel volum i per la superfície d’aquesta.
Valors que ja coneixem:
És fàcil fixar-se que es compleix el següent
Més concretament, veiem que podem expressar la constant de proporcionalitat com el valor de la hiperesfera de radi unitat .
Al calcular la derivada, obtenim que podem expressar la superfície com a
Molt bé, aleshores per trobar i el que necessitarem és trobar , que passarà a ser el nostre objectiu.
Ens interessarà més endavant poder expressar el volum com a
Que simplement ve d’integrar el valor de la superfície altra vegada.
Nota: Recordem que hem derivat la superfície a partir del volum, si resolem la integral tornarem a obtenir l’expressió de volum de la que hem partit. Aquí l’important no és resoldre la integral, sinó l’expressió que ens ha quedat, que ens serà útil més endavant.
2. Diferencial de volum i regions d’integració
En coordenades cartesianes el diferencial de volum s’expressa
En coordenades hiperesfèriques el diferencial de volum s’expressa
En què correspon al diferencial de hipersuperfície i és l’.
Al final la clau està en adonar-se que
I per tant quan al passar d’un diferencial de volum cartesià a un hiperesfèric canviem la regió d’integració…
…ens adonem que no ens preocupa tota la part angular, ja que al ser integrada en la regió que considerem (tot el volum en aquest cas) simplement quedarà una constant.
Molt bé, i quina és aquesta constant? No cal fer cap integral per esbrinar-ho! Només ens cal comparar l’expressió amb la que hem obtingut abans.
I per tant comparant les dues expressions deduïm que
Recapitulant, tenim que la regió de l’espai -dimensional en el que es troba la nostra hiperesfera, es pot expressar en coordenades cartesianes o en coordenades hiperesfèriques.
I veiem que hem aconseguit satisfactòriament relacionar les dues regions d’integració, de manera que la relació entre una i l’altra involucri , que és el que volem trobar.
En què precisament per com hem definit les coordenades hiperesfèriques es compleix
3. Integrar una funció sobre tot el domini
Molt bé, ara que hem aconseguit relacionar les dues regions d’integració podem realitzar un petit truc perfectament vàlid.
Enlloc de simplement integrar el domini d’aquesta (hiper)regió d’integració, podem integrar qualsevol funció que vulguem sobre aquest domini, i fer-ho tan en coordenades cartesianes com en coordenades hiperesfèriques, per tal de (en cas de saber resoldre les integrals), determinar millor la relació que hi ha entre elles.
Per entendre perquè aquest truc és perfectament vàlid, pensem-ho en un exemple senzill en 2 dimensions.
Exemple en 2 dimensions
Aquestes dues integrals són equivalents
Si la funció no depengués de , podríem expressar les dues integrals tal que així
En què la constant és exactament la mateixa constant que obtindríem si només integréssim el domini (sense cap funció).
Però això no és tot! I és que no només podem si volem integrar una funció, també podem estendre tot el que vulguem l’interval d’integració que la constant corresponent a la part angular seguirà essent la mateixa.
En aquest cas les integrals seran encara més fàcils de solucionar i la constant que voldrem averiguar resolent les integrals, seguirà sent la mateixa.
Molt bé, anem a portar-ho al cas general, és a dir per dimensions.
El truc consisteix en que si integrem una funció , tal que al passar-ho a coordenades hiperesfèriques aconseguim que aquesta funció només depengui de la coordenada radial, és a dir quedi …
Aleshores, la relació de proporcionalitat entre les integrals cartesianes i la integral radial hiperesfèrica, serà exactament la mateixa que ja havíem obtingut.
I com hem vist, res ens impedeix estendre aquest interval d’integració de manera que ocupi tot l’espai -dimensional.
Doncs la funció que proposarem per tal de facilitar el càlcul de les integrals és
De manera que al passar-ho a coordenades hiperesfèriques quedarà
Posant-ho a l’expressió obtenim
És a dir que per trobar ja només ens queda saber resoldre les següents dues integrals
Fixem-nos que la primera es pot simplificar molt fàcilment, ja que al complir-se
Ens queda
4. Repàs d’integrals gaussianes
Sabem de que les integrals que ens interessen tindran com a resultat…
5. Expressions finals de , i
Ara que ja tenim tots els ingredients, podem veure fàcilment que
Recordem que una de les propietats de la funció Gamma és així que
I que per tant, l’expressió final pel volum d’una hiperesfera de dimensions i radi unitat queda
I d’aquí podem deduir amb les relacions que hem vist al principi, les expressions pel volum i per la superfície d’una hiperesfera de dimensions i radi .
El volum queda tal que així.
I l’expressió per la superfície serà
Que simplificant-la queda
6. Expressions simplificades pel cas senar i el cas parell
Cas parell
Anem a posar a les expressions trobades
Si ara simplifiquem i utilitzem les següents propietats de la funció gamma
Obtenim una versió més directa pel cas parell
Cas senar
Anem a posar a les nostres expressions
Simplificant i utilitzant les propietats de la funció gamma i del doble factorial següents
Obtenim unes expressions més directes pel cas senar
7. Extra: Càlcul d’una closca (hiper)esfèrica
D’acord ara que sabem calcular el volum i la superfície d’aquests esfera, perquè no calculem quin volum ocupa una closa esfèrica? A aquest diferencial de volum l’anomenarem .
“No confondre el diferencial de volum amb el diferencial de volum .”
El volum d’una closca esfèrica de gruix serà
Fixem-nos fàcilment que
Sempre es complirà que
En què
Per més informació entrar a .
És a dir que
Substituint l’expressió de queda
I sabent que podem simplificar l’expressió a
Notar que hi podríem haver arribat directament a partir de
(Hem fet el camí llarg innecessàriament a mode de corroboració).
8. Extra: Càlcul de sols un “octant” i no tota l’hiperesfera
Si només volem calcular un “octant” d’aquesta hiperesfera i diem “octant” en el sentit que per una esfera en 3 dimensions es tracta d’un octant, malgrat per dimensions clarament no.
Fixem-nos que els “octants” per una hiperesfera són una porció del total (ja sigui superfície o volum) anomenarem a aquest número
En 1 dimensió
En 2 dimensions
En 3 dimensions
És bastant ràpid de veure que
Aleshores per un “””octant””” d’hiperesfera tindrem
“A on es fa servir això i per què? “
“Doncs en física estadística principalment.”
Cas A) Si estem en estadística clàssica (Maxwell Boltzmann) però els nivells d’energia estan discretitzats. —> integrem en l’espai de les fases.
Tenim una quadrícula en què a cada intersecció hi ha un microestat, podem comptar el nombre de microestats que hi ha en una closca hiperesfèrica aproximant-ho al continu i dividint per l’àrea (o volum) d’un quadradet de quadrícula (ja que cada quadradet conté només 1 microestat i volem saber el nombre de microestats).
Ara bé, segons com, en general quan l’energia està discretitzada aquesta sempre és positiva, i per tant els moments lineals de les partícules del sistema, només podran ser positius.
Aleshores quan integrem en l’espai de les fases hem d’integrar sols la regió en què tots els moments són positius (1r quadrant, 1r octant…).
Cas B) Estadística quàntica per bosons (Bose-Einstein) —> integrem en l’espai dels nombre d’ocupació.
De la mateixa manera, els nombre d’ocupació sempre són positius. És a dir que quan vulguem contar el nombre de microestats de manera aproximada integrant l’hiperespai de dimensions (3 nombres d’ocupació per cada partícula) i dividint pel volum d’una cel·la unitat, sols hem d’integrar el 1r quadrant, 1r octant...
9. Extra: Solució d’integrals arbitràries
A vegades simplement necessitem saber els resultats d’una integral. De moment coneixem que la següent integral té com a resultat el volum d’una hiperesfera de dimensions.
D’acord, però ens podríem preguntar quan val per exemple…
Per calcular una integral així hem de seguir el mateix procediment d’abans, relacionar les dues regions d’integració, estendre l’interval a tot l’espai -dimensional i integrar-hi una funció que ens permeti resoldre les integrals als dos costats de la igualtat.
Abans de procedir, mirem bé com funciona el canvi a coordenades hiperesfèriques.
Canvi de cartesianes a hiperesfèriques
2 Dimensions
3 Dimensions
4 Dimensions
“Al final és simplement al afegir una nova dimensió, projectar a l’espai d’una dimensió menys, en què passarà a fer el paper de ”.
dimensions
“Si una dimensió no existeix aleshores i per tant i ”.
Molt bé, anem a mirar en quina forma pren en hiperesfèriques.
Si ho elevem al quadrat quedarà
En què realment la part angular no ens importa, ara veurem perquè.
Tota la part angular al ser integrada quedarà una constant.
Calcularem aquesta constant a partir d’integrar sobre el domini de tot el pla -dimensional (resoldrem les dues integrals).
És a dir que
Podem calcular ràpidament que
I ajuntant-ho tot obtenim
On hem utilitzat que .
Segons el llibre de problemes resolts, hauria de donar el següent
Lo qual no té sentit ja que no són gens compatibles les dues expressions.
I segons el chatGPT dona el següent
Bno li he tornat a preguntar al chatGPT i ara m’ho ha donat bé
La seva resposta (revisar-la)
To evaluate the integral
$$
$$
we'll make use of spherical coordinates in \(\)-dimensional space.
We convert the integral into spherical coordinates, where the volume element in \(\)-dimensional spherical coordinates is:
$$
$$
with \(d\Omega\) representing the angular part and \(r\) the radial part.
Let's rewrite the integrand in spherical coordinates. In spherical coordinates, \(\), and the product \(\) becomes \(\).
So, the integral becomes:
$$
$$
The radial part of the integral is:
$$
$$
Evaluating this integral, we get:
$$
$$
Next, we need to integrate the angular part, which involves integrating \(\) over the angular coordinates. In \(\)-dimensional spherical coordinates, the angular part can be written as:
$$
$$
We recognize that this can be related to the volume of the unit sphere in \(\)-dimensional space, but with each \(\) term contributing a factor.
To compute this angular part correctly, note that for each \(\)\), its integral over the corresponding angle ranges from \(\) to \(\) can be written in terms of beta functions or related integrals.
Using properties of the beta function:
$$
$$
For \(\) such integrals, we get:
$$
$$
The total angular integral, considering the normalization factor for the full angular volume \(\) of the \(\)-dimensional sphere, gives us:
$$
$$
Combining both parts, the final integral evaluates to:
$$
$$
Simplifying, we find:
$$
$$
Rewriting the factorial terms, we get:
$$
=
$$
Thus, we have the integral evaluated as:
Hi ha un fallo en els càlculs, en aquest apartat 8, un dia ho reviso i miro on està.
Sabem de que...
Passar d’un hiperel·lipsoide a una hiperesfera
Objectiu: Passar d’un hiperel·lipsoide a una hiperesfera mantenint el mateix volum.
En 2 dimensions
Per passar d’una el·lipse
La qual té per volum (àrea realment)
A un cercle
Que té per volum
Farem el següent raonament
- Podem escalar els radis i de manera que siguin iguals, construint un cercle de radi .
- El volum del cercle ara serà .
- Si volem un obtenir un volum igual al que tenia l’el·lipse original , veiem que hem de dividir per un factor .
- Dividir per aquest factor és mateix que reduir el radi del nou cercle per un factor . Ho veiem fàcil ja que .
Al final per passar d’una el·lipse de radis a una esfera (cercle) amb el mateix volum, hem hagut de prendre per radi
En 3 dimensions
Ara tenim una el·lipsoide que té per equació i volum
I el volem transformar en una esfera que té per equació i volum
El que farem serà primer construir una esfera de radi , que tindrà per volum , i a continuació corregirem l’increment de volum.
Per corregir-lo podríem dividir per un factor , o el que és el mateix, podem reduir el radi per un factor , obtenint .
Al final per passar d’un el·lipsoide de radis a una esfera amb el mateix volum, hem hagut de prendre per radi
Generalització pel cas de dimensions
Seguint merament la intuïció, ja veiem que pel cas de dimensions, si són els radis de l’el·lipsoide, el radi de l’hiperesfera amb el mateix volum serà de
Si ara calculem obtenim
Aleshores un hiperel·lipsoide de radis tindrà per volum i superfície
Ara ve la part útil
Això en general ho utilitzarem a física estadística, quan per exemple tinguem un sistema de partícules, i el hamiltonià (energia) de cada partícula depengui tan de la posició com del moment . Aleshores tindrem un el·lipsoide de dimensions, en què només hi ha dos tipus de radis, i .
Aleshores tenim que
I per tant el volum d’aquest hiperel·lipsoide de dimensions serà