Recursos externs
Definició
Un espai de Hilbert és un espai vectorial que té definit un producte intern i és complet. Diem que és complet en el sentit que una suma infinita de vectors dona lloc a un vector que també pertany a l’espai vectorial.
Un espai de Hilbert pot tenir dimensió finita o infinita, i pot ser un espai vectorial definit sobre els reals o sobre els complexos.
Els 4 exemples més importants
- ,
- ,
Coordinate vectors (, )
Anomenem “coordinate vectors” als vectors que es poden escriure com a tuples (finites) d’escalars. Recordem que un escalar pot ser tant un nombre real com un nombre complex.
Exemples
Notació
Nota: quan tenim coordinate vectors, l’espai de Hilbert sempre és de dimensió finita (ja sigui o la dimensió és ).
La notació pel cas dels coordinate vectors passa a ser la que ja coneixem.
- Vectors
- Producte intern
- Covectors es poden escriure com a vectors
Producte intern
En general el producte intern serà complex, aleshores ha de complir el següent (definició):
- però i amb igualtat si només si
- ⚠️
- i també
- però ⚠️
Que, al ser tuples d’escalars podem calcular matricialment
Norma, mètrica i angles
La norma induïda és , la mètrica induïda és , i els angles entre vectors els podem calcular a partir de .
Cas real
Quan enlloc de estem en (espai euclidià) en diem vectors euclidians (o vectors geomètrics).
Per dimensions inferiors o iguals a 3 podrem representar-los com a fletxes en l’espai euclidià amb eixos en coordenades cartesianes.
Introducció a l’espai (funcions de quadrat sumable)
Previ: Polinomis com a vectors
Anem directament a un exemple, considerem el conjunt de polinomis (reals) de fins a grau 3.
Alguns polinomis podrien ser
En el cas general un polinomi d’aquests pren la forma . I per tant podríem representar-lo com una tupla de 4 nombres reals.
Notar que aquests 4 polinomis són linealment independents i “expandeixen” l’espai sencer, dit d’altra manera, formen una base.
Això implica que ens podríem construir 4 polinomis nous com a combinació lineal d’aquests i aquests 4 nous també formarien una base (si els fem linealment independents).
És en aquest sentit que els polinomis de Hermite, Legendre, Laguerre... són polinomis ortogonals que formen una base (formen una base com qualsevol combinació linealment independent de polinomis, però a vegades algunes bases resulten més útils que d’altres).
Previ: El problema d’una successió infinita
Abans d’explicar l’espai de funcions de quadrat sumable (el qual és un espai de Hilbert de dimensió infinita) necessitem entendre un concepte fonamental.
Una successió infinita de vectors pot donar lloc a un element nou, un element que no pertany a l’espai vectorial.
Veiem-ho amb un exemple.
Suma infinita de polinomis dona lloc a una funció exponencial
Considerem l’espai vectorial de polinomis de fins a grau expressats amb els coeficients que acompanyen a cada .
I ara ens preguntem què passa quan . Bé, doncs l’espai de polinomis de dimensió infinita a priori podríem pensar que no té cap problema, que és un espai vectorial com ho és (spoiler: no ho és).
Fixem-nos que no ens costa definir polinomis com a combinació lineal d’altres polinomis. Un exemple tonto seria
El qual és un polinomi que també pertany a i que no és cap dels polinomis de la base. Aleshores podríem pensar que a priori no hi ha cap problema amb tenir un espai vectorial de dimensió infinita.
Ara bé, sí que hi ha un problema. Sabem que qualsevol funció que sigui diferenciable un nombre infinit de vegades la podrem expressar (que no aproximar) amb una sèrie de Taylor. Per exemple .
Aleshores veiem que si prenem un espai vectorial de polinomis de dimensió infinita, podem obtenir una funció exponencial, la qual clarament no és un polinomi.
Una analogia tonta: seria com si en anéssim sumant vectors i de cop per una suma de dos vectors concrets obtenguéssim un objecte matemàtic que no és un vector, no tindria sentit oi? Diem que quan això passa, aquell no és un espai vectorial complet (no és un espai de Banach pel cas general, o no és un espai de Hilbert si és que tenim un producte intern definit).
Veiem doncs que no és un espai complet i per tant no és un espai de Hilbert. De fet ja que no seria tancat per la suma, no compleix un dels axiomes principals que defineixen un espai vectorial i per tant no seria ni un espai vectorial.
A nivell formal diem que un espai vectorial normat és complet (Espai de Banach) si és complet per la seva norma en tant que qualsevol successió de Cauchy convergeix dins de .
En el cas de tenir un producte intern definit direm que és un espai de Hilbert (espai de Banach amb producte intern) si la norma induïda pel seu producte intern és completa sota qualsevol successió de Cauchy.
Més informació a nivell formal
Uns apunts de la Universitat de Cornell sobre el tema
I una foto que ajuda a entendre la jerarquia dins dels espais vectorials normats
Què vol dir que una funció sigui de quadrat sumable?
Anem a pensar en dues funcions d’exemple, i .
Si les integrem en tota la recta dela reals, les dues donen zero
Ara bé si integrem el seu quadrat obtenim que una divergeix i l’altra dona un valor finit
Sabent això, podem afirmar que
- ,
- ,
per funcions reals i d’una sola variable
Direm que una funció real pertany a l’espai entre si
Després ho veurem, però de moment podem avançar que tots els espais són espais vectorials, concretament són espais vectorials normats (cadascun amb la seva corresponent -norma) que a més són complets (espais de Banach) amb aquesta norma.
Complets en el sentit que una successió de Cauchy de funcions de sempre convergirà una funció que no pertanyi a .
Què és una successió de Cauchy
Ara bé, l’espai té una propietat especial que no tenen els altres, és l’únic en el que li podem definir un producte intern compatible amb la seva norma. És per això que de tots els espais , l’espai de funcions de quadrat sumable és l’únic que és un espai de Hilbert.
L’espai explicat al detall
Cas més genèric
Sigui una funció complexa multivariable, diem que pertany a l’espai de Hilbert en un interval real si per qualsevol valor de es compleix
Aleshores podem definir el producte intern de dues funcions que són de quadrat sumable com a…
On a priori pot ser un nombre complex i és una regió del pla complex. Però per la desigualtat de Hölder tenim que
Cas típic
Siguin i funcions que prenen una variable real i retornen un nombre complex…
Diem que són integrables en tota la recta real si compleixen
I el seu producte intern es defineix com a
On tenim que però . Notar que l’interval d’integració és per la variable en aquest cas (no pel resultat del producte de les dues funcions).
No necessàriament ha de ser en tota la recta real, podem definir espais tal que així
Genial, principalment sempre treballarem amb aquest tipus de funcions.
Relació amb les sèries de Fourier
Espais de Hilbert en la Mecànica Quàntica
Tipus d’espais de Hilbert en la MQ
En el cas general els espais de Hilbert sempre seran sobre espais vectorials sobre .
Tenim 3 casos diferenciats
- En el cas d’un nombre finit de resultats experimentals possibles —> Coordinate vectors (tuples de nombres complexos) —> Espai de Hilbert de dimensió finita.
- En el cas d’un nombre infinit però discret de resultats experimentals possibles —> [???] —> Espai de Hilbert de dimensió infinita.
- En el cas d’un nombre continu (infinit) de resultats experimentals possibles —> Funcions que prenen variables reals i retornen un nombre complex i que són de quadrat sumable en tota la recta dels reals —> Espai de Hilbert de dimensió infinita.
El producte intern entre dos ‘kets’ sempre el definirem amb notació bra-ket és a dir sigui quin sigui dels 3 casos.
Espai d’operadors hermítics
El següent no estic del tot segur de sí és cert o no
Considerem els següents 3 exemples
- Espai de matrius
- Espai de matrius possibles
- Espai de matrius quadrades
És fàcil veure que els 3 casos formen un espai vectorial (compleixen les propietats que defineixen un espai vectorial). Ara bé, no formen un espai de Hilbert.
En el primer exemple directament no podem multiplicar dos matrius (de la manera usual en la que fem una multiplicació de matrius). En els altres exemples efectivament podem realitzar una multiplicació de matrius convencional. Ara bé, és aquest producte un producte intern?
La resposta és que no, ja que el producte no compleix simetria (o simetria hermítica si són complexes), dit d’altra manera: la multiplicació de matrius no és commutativa i per tant no és un producte intern (i com a conseqüència no són espais de Hilbert).
Nota: Tot això és si prenem com a multiplicació de matrius el típic que fem servir (producte de Fröbenius), en el sentit estricte sí que són espais de Hilbert, ja que ens podríem definir productes que sí complissin la definició de producte intern.
Però, i les matrius quadrades simètriques? Doncs efectivament, el conjunt de matrius simètriques (hermítiques) és a dir
Sí formen un espai de Hilbert (el producte compleix simetria hermítica).
És en aquest sentit que en mecànica quàntica els observables (operadors hermítics) no només poden actuar sobre un ‘ket’ (i retornar un altre ‘ket’ que també pertanyi al mateix espai de Hilbert) sinó que també es poden multiplicar entre ells, és a dir podem composar dos operadors.
