Introducció
Anem a seguir un approach un tant peculiar en aquests apunts.
- En la primera secció ens centrarem en l’àlgebra de matrius, ignorant qualsevol sentit físic.
Veurem què és el producte de Kronecker i el tipus de matrius compostes que genera. Al veure diferents exemples de multiplicacions de matrius guanyarem intuïció sobre la notació d’Einstein.
En la resta de seccions farem el que es diu una deducció bottom-up, partint del que ja sabem anirem veient exemples i generalitzant fins a la definició abstracta de tensor.
- En la segona secció parlarem de tensors euclidians.
Començarem primer pels tensors de rang 0. Explicarem de manera rigorosa els nombres escalars i com descriure una propietat física. Parlarem sobre sistemes de referència, sistemes de coordenades, i unitats de mesura com a base d’aquests tensors.
A continuació passarem a parlar sobre tensors euclidians de rang 1 (vectors i covectors). Parlarem del producte escalar i el producte tensorial, i una mica per sobre el que és l’espai dual i l’isomorfisme que existeix entre aquest i el normal pel cas euclidià.
Ara començarà a posar-se interessant, veurem com el producte tensorial entre vectors i covectors euclidians dona lloc als quatre tipus de tensors euclidians de rang 2.
Aquests els estudiarem en detall. Veurem que poden actuar com a transformacions lineals sobre tensors de rang 1, i veurem que es poden operar de diferents maneres. Utilitzarem en tot moment una notació especial per distingir entre el tensor, l’expressió matricial i la indicial.
Finalment veurem tensors euclidians de rang 3 i de rangs superiors, els generalitzarem i explicarem les regles per utilitzar la notació d’Einstein correctament.
- En la tercera secció parlarem de tensors de Minkowski. Ens dedicarem a desenvolupar tot el càlcul tensorial utilitzat en relativitat especial.
Parlarem per primer cop del tensor mètric. Explicarem el significat físic que té, veurem com és una generalització del producte escalar i com ens permet relacionar vectors i covectors (o tensors en les seves diferents expressions), i per tant en notació indicial pujar i baixar índexs.
Prendrem la mètrica de Minkowski i enumerarem les diferents relacions i expressions de relativitat especial (quadrivectors, quadrivectors duals, quadri-divergència, derivada covariant etc.)
- En la quarta secció parlarem de tensors amb mètrica general. Donarem les fórmules generals de càlcul tensorial per qualsevol mètrica .
- En la última secció donarem la definició abstracta de tensor com a aplicació multilineal o com a objecte que transforma com un tensor, i veurem com, quan definim un producte intern en l’espai vectorial, aquestes són definicions equivalents a la que havíem pres fins ara (tensor com a transformació lineal d’un tensor de rang inferior a un altre tensor del mateix rang inferior).
Producte de Kronecker i àlgebra de matrius
Concepte
Anem a veure el en detall.
El producte de Kronecker sempre treballa amb matrius. El producte tensorial amb tensors. Tenen el mateix símbol.
El producte de Kronecker agafa la matriu de la dreta, i la posa a cada element de la matriu de l’esquerra.
Exemples ràpids
Per escalars
El producte de Kronecker (o tensorial) de dos escalars dona un altre escalar.
Per vectors i covectors
El producte de Kronecker entre matrius fila i columna, dona el següent tipus de matrius.
Àlgebra de matrius - Producte Punt - Transformacions Lineals
Al multiplicar matrius es fa com faríem sempre (cada element de la fila per cada element columna sumats), però ara enlloc d’elements escalars considerem les submatrius.
Notació indicial
Nota: Utilitzarem una tipografia diferent de l’habitual pels índexs. El canvi és subtil, de a . No us hi preocupeu ara mateix, és per mantenir la consistència amb la següent secció.
Un exemple pas per pas
Anem a prendre l’equació d’aquestes quatre transformacions lineals. Veiem que resulta en una matriu columna. Anirem pas a pas. Fixem-nos que les components seran
Podem doncs expressar-ho per qualsevol component , en notació indicial
I si utilitzem el conveni de sumes d’Einstein ens queda
Molt bé. Anem a fer el mateix per les altres transformacions lineals.
Les quatre transformacions lineals en notació indicial
Les transformacions 1 i 4 donen una matriu columna, on cada component és
I les transformacions 2 i 3 donen una matriu fila, on cada component és
Molt bé, fixem-nos però que amb aquesta notació perdem informació de quina forma tenien les matrius originals, existeix alguna manera de fer servir la notació indicial però denotant la forma de les matrius?
Spoiler: El canvi a és degut a que un covector és el transposar d’un vector i viceversa, és a dir . De la mateixa manera que a MQ un ket és el transposat d’un bra.
La resposta és que sí, amb subíndexs i superíndexs
Notació indicial millorada
Podem imaginar una notació, que indiqui si una matriu és fila amb subíndexs, i si és columna amb superíndexs.
D’aquesta manera, les quatre transformacions lineals s’expressarien
Expressions equivalents girant i .
Punt clau
Aquí encara estem en notació indicial, cada element és un escalar, de manera que commuten tots, i podem posar els índexs a dalt o a baix segons considerem.
Per exemple
El fet de posar-los correctament és únicament si es vol indicar d’on provenien.
Notació matricial
Molt bé, i aquí el punt clau de tot plegat. Si intentem no liar-la en el sentit de no intercanviar l’ordre dels escalars i posar bé dels subíndexs, podem identificar la notació indicial directament amb l’expressió matricial.
És a dir podem referir-nos a les matrius fent servir la següent notació
Nota: On ara simplement considerem matrius sense significat, però si ho interpretéssim com a vectors i tensors, en general (excepte pel cas euclidià) i .
I expressar les transformacions lineals de forma matricial fent
Diferència clau
Ara no podem girar les expressions com vulguem, ja que no són escalars, són matrius. Per exemple, cal tenir en compte que .
Producte escalar
Si agafem una matriu fila i una matriu columna de la mateixa dimensió obtindrem
En versió millorada seria
I en notació matricial seria sense poder-los girar
Producte vectorial
Previ: Matriu de Levi-Civita
Sabem que existeix el símbol de Levi-Civita que pren els valors.
Aquest símbol té un equivalent com a pesudotensor de rang 3, i es pot representar matricialment de 8 maneres diferents. La típica que es sol expressar seria.
Nota: la matriu de Levi-Civita no es pot generar amb productes de Kronecker d’altres matrius. És a dir .
Aquesta seria l’expressió típica covariant. Però podem tenir un total de 8 expressions.
Les 8 formes de la matriu de Levi-Civita
Per tenim (el que ja hem vist)
Per tenim
Per tenim
Per tenim
Per tenim
Per tenim
Per tenim
Per tenim
Sabem d’àlgebra tensorial que en notació indicial, el producte vectorial es correspon a
Doncs en notació matricial tindrem 8 formes possibles (mirar el desplegable), que donaran lloc a les següents relacions.
Fixem-nos en la lògica
Producte punt vs. Producte tensorial
Recordatori àlgebra tensorial
El rang resultant es calcula fent
Quan apareix un índex repetit és un dot product , és a dir una multiplicació matricial. Quan apareixen índexs diferents és un producte tensorial, per matrius el Kronecker product .
Producte punt o contracció d’índexs
Quan tenim una contracció (mateix índex) és a dir un producte punt o multiplicació matricial, veiem que aquests sempre es troben oposats. Si un índex està a dalt, l’altre amb el que es contraurà estarà a baix a la seva esquerra.
Això és un fet directe de l’àlgebra de matrius.
Recordem que només es podien multiplicar matrius en què el nombre de files de la de l’esquerra fos igual al nombre de columnes de la de la dreta.
Simplificació (abús de notació)
Realment, podem expressar totes aquestes coses (matrius compostes, transformacions lineals…) amb les matrius normals de tota la vida si tenim en compte com ho expressem.
Abans
Ara
Però seguint aquesta lògica, que només podia convertir vectors en covectors, ara funciona igual però diferent.
Similitud
Conclusió
No sé no ho acabo de veure clar, x mi segueix sent molt més fàcil treballar amb matrius compostes (o alternativament notació indicial), el que no veig tan clar és treballar amb matrius normals tota l’estona.
Però sempre escriuen la mètrica de minkowski i la inversa com una matriu senzilla, i el tensor de Faraday també… així que no sé.
Idea
Aviam, és que potser simplement mai consideren covectors, i consideren només vectors. Aleshores sempre és matriu per vector (tingui superíndexs o subíndexs), i aleshores simplement per canviar de vectors a covectors es fa servir la mètrica, en el sentit que queda una matriu columna, per una matriu donant una altra matriu columna (que en realitat potser és un covector).
I referent a la idea de notació indicial o matricial
Efectivament està bé distingir, fins i tot al vídeo de Reumi’s World ho posa.
Tensors Euclidians
Concepte
A batxillerat, hem vist molts cops escrit un vector tal que així
Al mateix temps però, també hem vist un vector escrit de manera més formal, expressant les seves components i la seva base
I són coses molt diferents! Una és una tupla o matriu columna i l’altre és un tensor de rang 1 contravariant.
Al mateix temps sempre que a secundària resolíem un problema de física ens deien que hi poséssim les unitats, sobretot que no ens deixéssim les unitats. Perquè clarament no és el mateix escriure
Que és un número qualsevol, que escriure
Que és un tensor de rang 0, la longitud física real.
Formalització d’un sistema de coordenades (base)
Bla bla
Què passa llavors?
Passa que en càlcul tensorial sempre hi ha un abús de notació, i a mida que avancem en aquestes notes cada vegada en hi haurà més. Comencem pels dos casos que hem vist.
Escalar
Un escalar es defineix com l’element pertanyent a un cos, és a dir que un nombre real o un nombre complex són escalars.
De manera que el número és un escalar. Però sempre hem dit que un escalar és un tensor de rang 0, quan realment un tensor de rang 0 és un escalar acompanyat d’una base, un sistema de coordenades.
És important tenir en compte que són coses diferents, un nombre escalar pot variar al canviar de sistema de coordenades, un tensor no.
Vector
Un vector es defineix com l’element d’un espai vectorial. El petit problema, és que per la definició d’un espai vectorial, tan un vector en la seva expressió matricial com un tensor de rang 1, compleixen la definició de vector.
Aleshores com distingim entre una cosa i l’altra? Perquè són coses molt diferents! La resposta, és que en general la gent no ho sol fer. Però nosaltres ho intentarem una estona.
Suposem que volem anomenar vector a l’expressió matricial i tensor de rang 1 contravariant al tensor. Podríem de moment distingir-los així
De manera que
Direm que són les components del tensor de rang 1, i la seva base. Ara bé, què és realment , una tupla o una matriu columna? Perquè també són coses molt diferents! De moment prendrem que el vector és directament l’expressió matricial.
Àlgebra lineal
Molt bé, suposem que prenem aquesta convenció d’anomenar vector o covector a l’expressió matricial i tensor de rang 1 contravariant o covariant al tensor.
Covector
El tensor de rang 1 covariant el denotarem amb una tilde, i el covector amb subíndexs
Fixem-nos que els podem girar sense problemes. Això és perquè fer és el mateix que fer , al final és agafar un tensor de rang 1 covariant i escalar-lo. I tensors i escalars commuten.
Un covector serà dual d’un altre si, un expressat en una base i l’altre en la base dual, tenim que
Producte escalar
Recordem que el producte escalar es defineix a partir de transformar un vector segons el seu dual (covector). És a dir.
On, de moment, estem fent referència amb a una matriu columna i amb a una matriu fila, així que no els podem girar! (spoiler: més endavant farem un segon abús de notació i direm que això és la notació indicial, i els girarem).
Tensors de rang 2
Anem directe al gra, existeixen tensors de rang 2 construïts com a productes tensorials de tensors de rang 1.
Nota: de moment suposarem que només podem multiplicar tensorialment tensors (de rang 1 en aquest cas) si tenen la mateixa dimensió.
Anem a inventar-nos una notació nostre personal per referir-nos a aquests tensors.
I matricialment seria (prenem dimensió 2 per simplicitat)
Idea clau
Tots aquests 4 tensors, són en realitat el mateix tensor. Dit d’altra manera existeixen isomorfismes canònics entre ells (a partir del tensor mètric com veurem més endavant). Això és així ja que estem en un espai euclidià (espai vectorial amb un producte intern definit), i per tant hi ha un isomorfisme canònic entre un vector i el seu dual. És a dir que un vector i el seu covector, són en realitat el mateix tensor de rang 1.
Així doncs per tensors de rang 1, tenim
I amb tensors de rang 2
Concretament un tensor SEMPRE és invariant sota canvis de base. I això inclou també canvis de base, que van d’una base covariant a una base covariant o a una base mixta.
Nota
Si l’espai és euclidià, un vector i el seu dual no només seran el mateix tensor de rang 1, sinó que tindran les mateixes components. I si l’espai és de Minkwoski tindran components molt similars (algunes canviades de signe tan sols).
Així que en general i . Únicament és així pel cas euclidià (el que estem estudiant just ara) però com veurem en la següent secció, pel cas de Minkowski o pel cas general, això no és així.
Tensors i matrius, què ens falta?
Molt bé, de moment hem aconseguit satisfactòriament evitar els diferents abusos de notació que es solen fer i trobar maneres diferents de referir-nos a objectes matemàtics diferents. De moment tenim coberts els tensors fins a rang 2 així com les seves expressions matricials.
Què ens falta ara? poder expressar les components d’aquestes expressions matricials en notació indicial.
Com ho gestionem? Doncs difícil la veritat.
Tot i així, anem a fer una petita prova i després procedirem a fer l’abús de notació. Primer ho intentarem evitar canviant la tipografia dels subíndexs quan fem servir notació indicial.
Nota: és bastant subtil, en unes expressions serà i en altres .
Per vectors
I ara ens preguntem, és ? La resposta és que per vectors euclidians sí (pel cas general o de Minkowski no), així que tindrem
De manera que, utilitzant el conveni d’Einstein, tenim el producte escalar en notació indicial
Així doncs
Per tensors de rang 2
Nota: La representació matricial d’un tensor mixt típica és , ja que transforma entre vectors i en canvi l’altra, , transforma entre covectors.
Així doncs veiem que pel cas Euclidià
Per això a Medis tractàvem els tensors sempre amb subíndexs, ja que estàvem en el cas euclidià.
Tensors com a transformacions lineals
La transformació lineal d’un tensor de rang 1, a partir d’un de rang 2, seria
Podem expressar aquesta transformació com a tensors, com a expressions matricials o component a component (en notació indicial). Les 3 són coses diferents.
Fixem-nos que en notació indicial, com que treballem amb escalars, tenim molta més llibertat, podem posar els índexs a dalt o a baix i podem commutar els escalars com vulguem.
En canvi en notació matricial hem de respectar l’ordre, en una contracció els subíndexs a l’esquerra i els superíndexs a la dreta.
Àlgebra tensorial en notació indicial
Realment a , que sempre posàvem els índexs a baix, era perquè sempre treballàvem amb vectors i tensors euclidians.
Ara se’ns començarà a complicar la cosa.
Tensors, components i bases
Ojut pq hi ha una tercera possibilitat
Potser queda millor que en negreta.
Les quatre coses
- , el tensor (objecte matemàtic | propietat física)
- , una de les 4 expressions del tensor (un tipus de base)
Oh shit, clar
És l’equivalent a de l’àlgebra tensorial.
Aleshores realment seria notació indicial!!! i seria la matriu. I per tant la matriu seria , i seria només el tensor. I clar, si canvies de base (dins d’aquell tipus), les components canvien de manera que sigui el mateix objecte matemàtic?
Ben bé que no ho acabo d’entendre…
- , la matriu, és a dir les components (en una base concreta)
- , les components de la matriu en notació indicial
Tensor mètric
Subpàgina sobre el tema
Definició Toni
Coses que són certes
- El tensor mètric també se’l anomena a vegades ‘mètrica’ malgrat una mètrica sigui una distància matemàtica.
- Pel tensor mètric general es fa servir la lletra , però pel cas especial de Minkowski es fa servir la lletra .
- Hi han dues convencions, nosaltres utilitzarem la signatura , que és la que utilitzen la majoria de professors de la facultat. Hi ha molt de debat sobre quina és la millor, però és la física que descriuen és la mateixa.
Una cosa que es veu que és certa
Es veu que
sempre. Però només pel tensor mètric, no per un tensor general, és a dir
D’on ve el tensor mètric
Si multipliquem dos vectors formalment (no en mode matricial sinó en la seva expressió completa obtenim). I fins ara teníem que però ara veurem que això és només pel cas euclidià cartesià. Que en general tenim
El tensor mètric com una transformació lineal
El tensor mètrica és un tensor com qualsevol altre, amb la diferència que quan transforma (per exemple un vector o un covector) retorna el mateix tensor de rang 1. És a dir només canvia entre les diferents expressions del tensor de rang 1, en canvia el tipus de base
Per tensors genèrics
Pel tensor mètric
Exemple
Per tensors genèrics
Suposem per un moment el tensor mètric de Minkowski en 1+1D
Procedim en l’abús de notació
Dubte
Pot el tensor mètric ser generat per un producte de Kronecker???
Això és el punt clau que necessito entendre. Vale, puc entendre l’abús de notació, però i el punt de partida quin és??
- Com pot ser que dues mètriques tinguin el símbol , donant lloc a la matriu identitat, i en canvi les altres tinguin el símbol , donant lloc a la mètrica de Minkowski?
- I és sempre ?
- Això és sempre així? Amb qualsevol tensor tenim ?
- Quin sentit tindria que , és a dir la mètrica covariant, fos la per defecte? la preferida?
Potser si entenc bé d’on surt (a nivell de significat matemàtics, de manifold coordenades i transport paral·lel (i potser fins i tot de símbols de Christoffel)) el tensor mètric, entendré aquestes questions. Qui sap.
I si
On
I aquests vectors base (el de temps girat) són els que descriuen el manifold (espai-temps pla). És a dir el transport paral·lel de euclidià 4D a espai-temps 3D+1 és equivalent a (al fer el transport paral·lel), girar un dels vectors base. Si estiguéssim en Minkowski 1D+1, el que tindríem seria per exemple un pla cartesià, i seria invertit respecte l’eix vertical. No sé la veritat…
Idea
Potser la base és com les diades unitat, és a dir
I les components es podrien escriure , és a dir són realment notació indicial, però per poder ometre la base, ho posem com a . De manera que en l’expressió del tensor desplegat és notació indicial, i en càlcul tensorial és notació matricial.
Altres coses
Les coses principals són però que si tenim una mètrica ens permet transformar vectors en covectors, és a dir
I la mètrica inversa ens permet transformar covectors en vectors
Això implica que en general un vector (matriu columna) i el seu equivalent covector (matriu fila), tindran components diferents.
Aleshores si a nosaltres ens interessa calcular el producte escalar entre dos vectors normals a partir de les seves components (en mode matriu columna) ho hem de fer tal que així.
Que en expressió matricial seria
I si ens interessa calcular el producte escalar entre dos covectors, expressats en la base dual (components en matriu fila), ho hem de fer tal que així
És a dir que
Que és el mateix nombre (si reals) i té sentit en el cas complex ja que sempre transposem (baixem o pugem índexs) fent també el conjugat complex.
Recordem la mètrica inversa és la matriu inversa de la mètrica. És a dir
I és únicament pel cas euclidià o pel cas de Minkowski, que les dues matrius tenen les mateixes components (en coordenades cartesianes).
Aviam?
El cas euclidià és trivial, és la matriu identitat.
I pel cas de Minkowski només ens cal saber que per una matriu diagonal, la inversa de la matriu és fer la inversa de cada element
És a dir que podem veure fàcilment que pel cas de Minkowski la mètrica té les mateixes components que la mètrica inversa (1/-1=-1).
Nota: Tot això únicament en coordenades cartesianes. La mètrica és un tensor, i la mètrica inversa també, i com a tensors són objectes matemàtics independents del sistema de referència (és a dir les equacions seran les mateixes) però la representació matricial (en components) serà diferent.
Per exemple en coordenades esfèriques seria
Donada una base (que no siguin els vectors unitaris … cartesians, els quals donen una matriu unitat), la mètrica serà.
Nota: El producte escalar presenta simetria i el tensor mètric és sempre simètric per definició.
Una propietat a recordar és que , ja que ⭐.
Cosa que ens permet definir un producte escalar entre vectors i covectors tal que així
Al final el resum és que pel cas real euclidià tenim que ⭐
Fàcil no? ho podem escriure com ens doni bastant la gana, que donarà el mateix escalar (en el cas real). I a més pel cas euclidià i de Minkwoski com , no cal ni que anem amb compte.
Quedem-nos de totes amb aquestes sobretot
Càlcul Tensorial amb la mètrica de Minkowski
Tensor mètric de Minkowski
Notes prèvies
- A vegades es fa servir la paraula ‘mètrica’ per referir-se al tensor mètric. La mètrica realment és una distància matemàtica, però molts cops es pot fer servir la paraula sense confusió.
- Nota 2: Pel tensor mètric general es fa servir la lletra , però pel cas especial de Minkowski es fa servir la lletra .
- Una informació molt més detallada sobre el tema la trobareu a Tensor Mètric.
- Hi han dues convencions, nosaltres utilitzarem la signatura , que és la que té més sentit físic.
El tensor mètric de Minkoswski
Un tensor mètric per defecte és covariant. Aquest serveix per convertir vectors en covectors.
El tensor mètric invers (el que converteix covectors en vectors) serà
Donen lloc a la mateixa matriu pel simple fet que i . Molt bé, sabem doncs l’expressió covariant i l’expressió contravariant del tensor mètric. I les expressions mixtes? Doncs seran també la mateixa matriu.
Si volguéssim ser estrictament precisos, és l’expressió matricial que acabem de veure. I les expressions covariants i contravariants serien matrius fila i columna ben llargues
Aviam
No estic segur. I què passa amb això: