Teoremes Integrals

Divergència, flux, rotacional i circulació visualment a

Exemples de camps vectorials.

Alguns apunts més oficials i extensos sobre el tema

www.damtp.cam.ac.uk

http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/vc/vc4.pdf

math.uchicago.edu

https://math.uchicago.edu/~may/REU2012/REUPapers/Presman.pdf

Green's, Stokes', and the divergence theorems | Khan Academy

Here we cover four different ways to extend the fundamental theorem of calculus to multiple dimensions. Green's theorem and the 2D divergence theorem do this for two dimensions, then we crank it up to three dimensions with Stokes' theorem and the (3D) divergence theorem.

https://www.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/greens-theorem-and-stokes-theorem

Divergence Theorem(2D) - 공돌이의 수학정리노트 (Angelo's Math Notes)

Formula for Divergence Theorem THEOREM 1. Divergence Theorem (2D) Let a vector field be given as $F(x,y) = P(x,y)\hat{i} + Q(x,y)...

https://angeloyeo.github.io/2020/08/19/divergence_theorem_2D_en.html

Stokes' Theorem - 공돌이의 수학정리노트 (Angelo's Math Notes)

Formula of Stokes’ theoremThe formula of Stokes’ theorem can be written as follows:\[\oint_c\vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_S(\vec{\nabla}\times\vec{F})\cdot d...

https://angeloyeo.github.io/2020/08/22/stokes_theorem_en.html

Idea principal

Teorema Fonamental del Càlcul - Divergència 1D

Teorema de Green (en forma de circulació) - Rotacional 2D

Gràfic camp vectorial

Teorema de Green en forma de flux - Divergència 2D

Gràfic camp vectorial

Per què s’assembla tant a l’expressió del teorema de Green (en forma de circulació)?

En dues dimensions cada vector en té dos de perpendiculars a ell (i amb el mateix mòdul). Aquests s’obtenen fàcilment girant les components i canviant-ne un dels signes.

Gràfic

Fixar-se que si a l’equació integral del teorema de la divergència 2D poséssim enlloc de , obtindríem l’expressió del teorema de Green (rotacional 2D).

Si ho féssim amb simplement canviarien els signes al dos costats de d'igualtat així que obtindríem de nou el teorema de Green.

I al mateix temps, si a l’equació integral del teorema de Green li poséssim una , obtindríem l’expressió del teorema de la divergència en 2D.

I com és això?

Matemàticament és així ja que:

I per tant es compleixen aquestes propietats

Visualment és així ja que un camp rotacional és perpendicular a un camp divergent (radial). Un exemple en física seria el camp electroestàtic generat per un partícula carregada i com les línies de potencial són perpendiculars a aquest.

Teorema de Kelvin-Stokes - Rotacional 3D

Gràfic camp vectorial

Notar que hi ha infinites superfícies obertes per un mateix camí .

 

Teorema de Gauss-Ostrogradski - Divergència 3D

Teorema Generalitzat de Stokes