T2: ELASTICITAT
Gràfica típica i regions de la teoria d’elasticitat
Nosaltres només considererem la regió lineal.
Elasticitat lineal
Cas més general d’elasticitat lineal
I el treball de la deformació és
No hi ha notació d’einstein aquí encara
El tensor
Foto cutre per visualitzar el tensor de rang 4
Nota: No és correcte cap al final. Queden les dues constants (mòdul de Young i coeficient de Poisson) quan el material és isotròpic-cúbic.
“Algun dia ho faig al OneNote ben dibuixat i ho actualitzo.” (Martí)
Sòlids isòtrops
Per petites deformacions, el material és elàstic i lineal (podem aplicar el que hem vist).
Llei de Hooke per un material isòtrop
On i són els coeficients de Lamé. Ns pas si està bé això
On anomenat mòdul de compressibilitat o “bulk modulus”
Relació entre Pressió Mecànica i Bulk Modulus
Recordem
Aleshores
On és la compressibilitat isotèrmica.
Llei de Hooke inversa
Però, acabem de veure que les traces de les matrius són proporcionals Aleshores podem reescriure com a:
Que és la llei de Hooke inversa, on cal recordar que
Deformacions Homogènies
(tensor de deformacions constant en tot el volum del sistema)
Exemple: Extensió Uniforme d’una barra
Per tant
On K és la constant de molla de la llei de Hooke (elasticitat genera moviment harmònic simple en el cas més ideal).
i
On aquí és el coeficient de Poisson, que varia entre -1 i +1/2.
Resum sòlids isòtrops
Llei de Hooke
Amb
Relación entre constantes elásticas.
Extensión de una barra uniforme
LEY DE HOOKE
EXPERIMENTO
ç
POR COMPARACIÓN
Resolviendo el sistema obtenemos las relaciones entre los pares de coefeicientes.
Coeficientes de ingeniería —> Fáciles de calcular en experimentos
Coeficientes de Lamé —> Útiles en teoría
Llei de Hooke amb els coeficients de Lamé ( i )
Llei de Hooke inversa amb els coeficients de Lamé ( i )
Llei de Hooke amb els coeficients i
Llei de Hooke inversa amb els coeficients i
Barra homogènia, superposició de 3 problemes
Arribes a
Arribes també a
I
Energia elàstica de deformació
Experiment virtual deformació
Termodinàmica de la deformació
Exemple compressió hidroestàtica (se’ns simplifica)
per tant
és a dir que l’eq fonamental de la termodinàmica queda com per un gas ideal.
Podem definir un potencial termodinàmica que anomenarem energia lliure de helmholtz.
I ara podem definir l’energia lliure de gibbs com a
Desenvolupant tenim (ns pq ara ho expressen aixi)
Que ens dona aquestes definicions útils.
Llei de Hooke a partir de l’energia lliure
Exemple: Sòlid isòtrop a temperatura constant
Estat de referència —> sòlid sense deformar
energia lliure
Expansió de Taylor en potències de
Terme lineal
Terme més petit —> quadràtic
Molt útil aquesta tàctica en fenòmens col·lectius (deixar-ho en funció de uns paràmetres i expressar-ho quadràticament (aproximació)). És a dir que el sistema està en el mínim d’una parabola d’energia lliure, i si et mous de l’estat d’equilibri termodinàmic has d’augmentar una mica l’energia lliure.
Doncs resulta que i de l’aproximació quadràtica són els coeficients de Lamé!
Demo
Hem arribat doncs a la llei de Hooke a partir de l’energia lliure de Helmholtz de la termodinàmica.
Volem que l’energia lliure sigui un mínim, no pas un màxim. Aleshores anem a fer 2 experiments per comprovar-ho.
Premissa: ha de ser un mínim en l’estat sense deformar
Consideració 1
- Suposem una deformació que no canvia el volum
és a dir que la traça sigui zero
- Aleshores queda
- Si volem que sigui un mínim, clarament no pot ser negativa, aleshores:
Ja hem aconseguit un constraint físic, anem a per un altre.
Consideració 2
- Si la deformació és
- Aleshores
- Implica que
- Osigui que on és el Bulk Modulus que ja havíem vist. Conclusió
Arribem al constraint:
Podem ara calcular el següent
I resulta que dona (desenvolupant)
Ergo,
Recordatori termodinàmica de la deformació
Equació fonamental d’un sòlid elàstic
Que no deixa de ser la segona llei de newton.
Localment queda:
que en notació indicial queda
Combinant-ho amb la llei de Hooke, que és
i combinant-ho també amb el tensor de deformacions de Cauchy, que era
Ens queda l’equació de Navier-Cauchy
Demo
Tenim
Anem a calcular el terme utilitzant
És a dir que queda
Que vectorialment s’expressa
Recordem la identitat vectorial següent
Aleshores podem expressar l’equació de Navier-Cauchy com a:
“Aquesta és l’eq més general, però té la mateixa informació que l’eq local equivalent a la 2a llei de Newton, utilitzant si cal les expressions del tensor de deformacions i la llei de hooke. Depen del problema potser és més senzill que amb l’eq. de navier-cauchy, potser si o potser no, depen del problema i del que tinguis a l’enunciat.”
Eq de Navier-Cauchy a partir de i
Que expressat amb la identitat vectorial de la laplaciana vectorial queda:
Haurem de tenir en compte també
- Condicions de contorn sobre el tensor d’esforços
- Continuitat dels esforços normals
No hi ha discontinuitat en la pressió
- Condicions de contorn sobre el tensor de deformacions.
L’equivalent a l’eq. de navier - cauchy per sòlids en fluids és l’eq. de navier-stokes. Ara bé, com que la primera és lineal i la segona no, per la segona encara no s’ha aconseguit trobar solucions generals.
Exemple (problema): assentament uniforme d’una columna sospesa lateralment
Solució
Només hi ha gravetat com a força volúmica —>
—> no depen del temps —> estat estacionari
Aleshores
Quedant
I per tant
Integrant obtenim
Per condicions de contorn: | Sup. lliure
Calculant el tensor de deformacions, només queden no nules les components:
Calculant el tensor d’esforços només queden no nules les components
que a partir de la condició de contorn sabem que dona zero en z=h, i ja que mu i lambda són positius
Ara que ja tenim A, B i C expressats només en funció de C i recordem que havíem definit C com a aleshores:
I ara ja podem tornar a escriure u_zz i sigma_zz bé (posant l’expressió de les constants.
Al final obtenim:
Un altre exemple (problema): Torsió pura
La z és en la direcció del cilindre
Llei de Coulomb - St Vernard
On i és la rigidesa torsional.
Flexió pura uniforme
Escollim un centre de la barra en el centre de l’àrea.
Deformació
Tensor d’esforços
(lliures)
(no hi ha esforços de cisalla)
recordem que és el mòdul (o ratio) de Poisson
Vector desplaçament
S’obté integrant i imposant que els esforços de cisalla són nuls
Força neta
Moment de la força (torque)
Aleshores
—> moment de flexió
Osigui que si la integral següent és zero (secció transversal simètrica)
Resum
TORSIÓ —> Llei de Coulomb - St Vernard
on .
FLEXIÓ —> Llei de Euler - Bernoulli
on .
“Redueixes les dues fent les barres en forma de H.”
Simplificació en dimensions: “Barra unidimensional (alambre) o membranes (2D) són bones aproximacions a casos 3D amb geometria semblant.”
Equilibri en barres
Barra —> 1D
Secció transversal
—> Barra prima
Volem petites deflexions així que
Balanç local de forces i moments en una barra delgada
Forces:
Moments de forces (torque):
Eq. Euler - Bernoulli per la flexió
Si l’eq. de la barra prima queda
que integrant (4x3x2=24) queda
On són constants que haurem de determinar amb les condicions de contorn (2 per cada extrem).
Condicions de contorn —> Barra encastrada (empotrada)
—> encastrada (té l’extrem a dins de la paret) —> minimitza la flexió
Condicions de contorn —> Barra recolzada (apoyada)
Condicions de contorn —> Barra lliure en un extrem (z=L)
Seria com un trampolí de piscina.
[Gràfic]
Lliure —> força = 0 —>
Torque = 0 —>
Condicions de contorn —> Força puntual en z=L
“Força puntual Força volúmica” —> Com un trampolí de piscina amb un sac de patates al final (un pes). (En l’altre es deflexiona pel seu propi pes).
No rota —> torque =0 —>
Geometria d’una curva plana
1a aproximació —> tangent
Aleshores
2a aproximació —> radi de curvatura
Aproximes la corba amb un cercle que l’agafa bastant bé.
[GRÀFIC]
és el centre del cercle, és el radi del cercle (radi de curvatura) i és la “curvatura”.
Que al final arribes a
Si ignorem la primera derivada —>
Inestabilitat de bucking (pondeo)
Bàsicament és comprimir una barra pel seu eix (com quan et recolzes massa fort en un bastó)
[GRÀFIC]
Ignoramos
Inicialment es comprimirà acumulant elasticitat, però arriba un punt on a la barra li surt molt més a compte energèticament parlant deflexionar-se que no pas comprimir-se
considerem i ignorem el pes de la barra.
Balanç de forces
Balanç de moments de forces
Integrant obtenim
Equació de Euler
La solució general d’aquesta EDO és
Que ha de complir (s’obté al substituir-ho a la EDO)
Condicions de contorn
Recordem que
i per tant
Aleshores el valor més petit de serà i el valor de la força serà el que anomenem “umbral de força d’Euler”:
Deflexions grans d’una barra sense torsió
[DIBUIXET FUNCIÓ]
Canvi de descripció
Eq. EUler
amb i i
Barres primes
,
—> Bla bla acabem arribant a
Que és la força elàstica de Euler —> les solucions són les corves elàstiques
Exemples de corves elàstiques
[3 dibuixets]
ONES EN UN MEDI ELÀSTIC
El so n’és un exemple, els terratrèmols un altre…
Simplificarem la descripció a únicament ones
- De poca amplitud
- Sense dissipació (E=ctt)
- Planes
- Harmòniques
- Propagació en medis infinits o semi-infinits
- De volum (no pas de superfície com ara un terratrèmol)
Han de complir l’equació de Navier-Cauchy per , és a dir
Tenim que on compleixen i (Tª de Helmholtz)
—>
Component Transversal
—> Eq. de Navier Cauchy
Aleshores aquesta component compleix
Que es pot re-escriure com a el que anomenem “equació ona transversal”.
On és la velocitat de propagació de l’ona transversal
També trobem que no hi ha variacions de pressió (
Component Longitudinal
Recordem la identitat vectorial següent:
Aleshores l’equació de Navier-Cauchy queda:
Que per la component queda
Que es pot re-escriure com a
que és una equació d’ona per les ones longitudinals. On
És a dir que al final les ones en un medi elàstic es poden descomposar en dues ones, una transversal i una longitudinal, amb diferents velocitats de propagació
Aquestes últimes si presenten variacions de pressió ().
I aquestes constants (velocitats de propagació) es poden expressar en termes de i (constants dels enginyers).
Quocient velocitats
El quocient (o ratio) de velocitats s’anomena
Exemple —> Terratrèmol
Ona P: Ona longitudinal que arriba primera
Ona S: Ona transversal secundària
Vibracions harmòniques
Descomposició de Fourier d’una ona en els seus harmònics.
Siguent la freq. angular. L’eq. de Navier- Cauchy esdevé
Ones harmòniques planes
On
[Bla bla què és cada cosa]
Substituint arribem a
Que per ones longitudinals ()
[m’ha faltat apuntar alguna coseta]