Enunciat
Context previ
Formalitat imatge de Heisenberg
Context encara més previ
La imatge en la que estem acostumats és la imatge de Schrödinger, és en aquesta en la que es fa servir l’equació de Schrödinger.
Però només cal adonar-se, que nosaltres no sabem la naturalesa real del comportament quàntic, només en podem fer mesures (calcular valors esperats), i matemàticament veiem que l’expressió següent (valor esperat d’un operador)…
Es pot interpretar de dues maneres diferents igual de vàlides, que tenim un operador que evoluciona amb el temps i uns estats que no (Heisenberg), o que tenim uns estats que evolucionen amb el temps i uns operadors que no (Schrödinger).
Una analogia bastant útil és la que utilitza el Griffiths. Diu, imaginem-nos un rellotge al qual les broques es mouen en sentit horari i marca bé la hora. I ara imaginem-nos un rellotge amb les broques fixades i els números movent-se en sentit anti-horari. També podria marcar bé la hora, fins i tot una barreja de les dues coses (broques i números movent-se en velocitats oposades correctes) també podria marcar bé la hora.
Aleshores nosaltres el que observem és simplement la hora (“9:15” per exemple), però no podem saber si la naturalesa del rellotge és una o altra.
Doncs resulta que si considerem la imatge de Heisenberg (per estranya que pugi semblar a priori) ens dona alguns resultats interessants.
Tenim que un operador en la imatge de Heisenberg serà com un en la imatge de Schrödinger (la típica) però evolucionat temporalment
I si ara ens dona per fer-ne la derivada temporal, veurem que
Que és el que s’anomena l’equació de moviment de Heisenberg. Si l’equació de Schrödinger ens diu com els estats evolucionen en el temps, l’equació del moviment de Heisenberg ens diu com els operadors evolucionen en el temps.
Com veurem més endavant aquesta relació ens serà molt útil.
Equació del moviment de Heisenberg (”Heisenberg equation of motion”)
On , amb l’operador evolució temporal.
La gràcia, està en que el valor esperat d’un operador és independent de la imatge des del qual l’observes
Aviam?
Per definició de les dues imatges tenim que
Veiem que efectivament l’expressió és la mateixa. Per tant el valor esperat d’un observable serà el mateix en les dues imatges.
És a dir que
On simplement hem utilitzat que .
Algunes consideracions extres
Ja que el hamiltonià commuta amb l’operador evolució temporal, tenim que
També, pels casos que no depèn explícitament del temps, l’equació es simplifica a
I si estiguéssim en la imatge de Heisenberg (normalment no) no ens caldria ni fer-ne el valor esperat.
Partirem del valor esperat del que s’anomena la “Heisenberg equation of motion” (també anomenat teorema d’Ehrenfest generalitzat).
I utilitzarem les relacions que ja coneixem
I l’ajut de l’enunciat
Per tal de demostrar el teorema d’Ehrenfest (un cas particular de la relació general utilitzant com a operadors i ).
L’ajut de l’enunciat aplicat al operador moment
Fem el càlcul ara per ja tenir-lo més endavant. Tenim que es compleix
Per tant podem aplicar l’ajut de l’enunciat al nostre commutador
Per si cal clarificació
En l’expressió
Estem utilitzant una notació alternativa per referir-nos al gradient d’una funció multivariable
I a un vector de commutadors
De manera que la nostra expressió és en realitat un producte “escalar” de dos vectors
Primera part: Derivada temporal de
Tenim que la relació general és
Aplicant-la a , com que no depèn explícitament del temps serà simplement
Anem a calcular el terme de la dreta. El Hamiltonià del nostre sistema és
On .
Així doncs el commutador que ens interessa serà una suma de commutadors
Sabem que ja que . Així doncs:
Si ho pensem, sabem que (zero si i són diferents) de manera que de només sobreviurà . I tot plegat quedarà
Més concretament
De manera que
Fent-ne el valor esperat, tenim
I substituint-ho a l’expressió obtenim la primera part del teorema d’Ehrenfest.
Segona part: Derivada temporal de
De la mateixa manera, no depèn explícitament del temps, així que
On per la forma del hamiltonià, el commutador és
Recordem que ja que . Llavors:
Ara només hem d’utilitzar l’ajut de l’enunciat que hem calculat al principi, que era
Fent-ne el valor esperat tenim
I substituint-ho a la nostra expressió, demostrem la segona part del teorema.
Doncs ja estaríem!