Enunciat
Esquema
Càlculs previs
Aleshores
Podem comprovar també si volem que és incompressible
L’equació de Navier-Stokes en el cas més general és
L’enunciat ens dona una viscositat cinemàtica. Sabem de teoria que
A part, l’enunciat no ens ho diu, però suposarem que no hi ha forces volúmiques (negligim la gravetat). I ens ho demanen en condicions estacionàries, així que tot plegat queda
Vale, el següent pas és segurament el més important de tots. Ja que es tracta d’un fluid que està rotant en la direcció angular, serà molt difícil causar-li un gradient de pressió en aquesta component (de seguida es compensarà). Aleshores, la idea clau està en assumir (en un cas així sempre és una bona assumpció) que
Aleshores l’equació de Navier-Stokes escrita en forma matricial queda
D’on per una banda obtenim que no depèn de , per altra banda obtenim que
I finalment obtenim una equació diferencial que ens permetera trobar
Que és per on comença directament la solució de la qüestió resolta. El que ve a continuació ja és més clar, tal com està explicat a les solucions. Bàsicament tens unes condicions de contorn, anomenades “stick boundary conditions”
I de fet en hi ha una altra, però que no ens és gaire útil
A partir d’aquí, l’apartat b fa un “Ansatz” i suposa que . Introduint-ho a l’equació diferencial obtenim
A partir de les condicions de contorn s’obté
I per tant
Solució alternativa (sense Ansatz).
També podríem haver procedit fent
Aleshores per una banda tenim l’equació diferencial
Que per finitud s’imposa , i a partir de arribem a la conclusió que , quedant tot plegat
I d’altra banda
Posant en comú les dues solucions veiem que
I per condicions de contorn determinem