Enunciat
Previ: Operadors i
Recordem que la base és pròpia de i , però no de i .
Tenim uns operadors i que en aquesta base el que fan és pujar o baixar en una unitat el nombre .
I a partir de la seva definició, en trobem les següents relacions
Més relacions
Que és l’únic que necessitem per solucionar aquesta qüestió.
Apartat A
Si calculem veurem ràpidament que dona zero per ortogonalitat.
I el mateix amb .
Sentit físic
Si ho pensem té sentit, ja que es correspon a la base , i pot donar com a valors propis amb . I si tenim una per l’eix per l’eix estarà indeterminada amb igual probabilitat per tots els valors (de la mateixa manera que si estava spin-up en l’eix , per l’eix estava 50% spin-up i 50% spin-down), i ja que sempre tindrem que el valor esperat és zero.
Apartat B
Si ens adonem que
Veiem fàcilment que
Solució alternativa a partir de
Càlcul previ
A partir d’aquesta relació podem calcular el resultat, però el camí és més llarg.
Els dos primers termes donen zero ja que i són zero per ortogonalitat.
I dividint per als dos costats de la igualtat, obtenim