Enunciat
Nota
La persona que ha redactat aquesta solució no s’ha mirat gaire el tema de simetries així que aquestes solucions poden no ser formalment correctes.
Context Previ
Recordem que tot el tema de simetries en mecànica quàntica es basa en el (1r) teorema de Noether. Una simetria (translacional, rotacional…) es correspon a un canvi de coordenades tal que les lleis de la física són les mateixes. En mecànica quàntica aquests canvis de coordenades es corresponen a operadors unitaris (canvis de base unitaris).
De manera que i es corresponen a la mateixa situació física però descrita des de bases (sistemes de referència) diferents.
La notació utilitzada en aquest tema és la següent
- pel vector posició original del sistema
- pel vector translació tal que
- per l’operador translació que actua sobre
Es pot veure ràpid que
Desplaçament infinitesimal
De manera infinitesimal això serà
I la gràcia està en que per un desplaçament infinitesimal podem aproximar
I recordem que el moment lineal s’expressa així
De manera una mica il·legal podem fer
Així doncs
I per tant
És a dir que
El terme de la dreta està implícitament multiplicat per la matriu identitat
Desplaçament finit
Un desplaçament finit és simplement un seguit de desplaçaments petits (infinitesimals) concatenats.
Així que aplicar al estat el desplaça , si el tornem a aplicar el desplaçarem un més. Si hem de recórrer un total de , és a dir que .
Haurem d’aplicar l’operador translació infinitesimal vegades. En el límit i serà un resultat exacte.
On hem utilitzat la típica definició d’.