.png%3Ftable%3Dblock%26id%3D113c5528-967a-813f-9509-e90b361cf4da%26cache%3Dv2&w=1080&q=75)
Magatzem
Propagació d’ones electromagnètiques en el buit
Expressió camp elèctric ona
Per què són equivalents aquestes dues expressions?
Anem a demostrar que
Sabem que
I per tant
Quedant
Vale, fixem-nos que per la llum (fotons) tenim
Aleshores
El que no entenc molt bé és que en els apunts oficials que donen els professors, diuen “definim ” i tan tranquil·lament ignoren la . Algun dia entendrem per què…
I els queda
On
Més concretament si tenim els següents eixos de coordenades
El camp elèctric expressat en cartesianes és
Vector de Poynting
Els camps elèctric i magnètic són perpendiculars entre ells i al mateix temps són perpendiculars al vector de propagació de l’ona. Més concretament…
L’energia per unitat de volum que travessa un dielèctric (com ara el buit o l’aire) per unitat de temps és
Que podem expressar més fàcilment definint el que anomenem vector de Poynting
Veiem doncs que ens dona una variació d’energia per unitat de temps que travessa una unitat de superfície. Això, que ens recorda a un flux instantani d’energia ens permet definir el que anomenarem “Intensitat” que serà un promig temporal d’aquest flux instantani.
Que per ones planes la resolució de la integral dona
Bases de la polarització
Per quan tens la superposició de dues ones, en aquest simulador pots ajustar la freqüència, velocitat i amplitud de cada una:
(si una va contra l'altre i tenen la mateixa freqüència i velocitat c, es forma una ona estacionària!)
L'altra web (que també citaré més endevant) per què és realment la ostia és la següent:
(de veritat que hi ha de tot, exploreu una mica)
Vector de Poynting
Bla bla
Intro prèvia de clarificació
Típicament quan parlem de polarització, ens centrem ÚNICAMENT en el camp elèctric E. El camp magnètic B també li passa el mateix ja que un indueix l'altre i les amplituds dels dos són proporcionals però en l'anàlisi que fem sempre l'ignorem.
Quan diem un raig de llum "no polaritzat" ens referim a que hi ha molts "fotons" com si cadascun li correspongués una ona amb una polarització en principi aleatòria, de manera que "1 raig" són "moltes ones".
Ara bé, com que per cada ona podem descomposar la component del camp elèctric en una component horitzontal i una vertical, al final totes les ones (el raig) es poden representar com dues ones planes, que esquemàticament serien dues fletxes, i quan les mirem de perfil, representem la fletxa horitzontal com un punt.
Ojo amb els polarizadors (filtres)
Vale, a vegades és una mica lio ja que els trobes representats de maneres diferents però bàsicament un polaritzador que té l'eix de polarització "vertical", només deixa passar la llum "vertical". (És a dir la doble fletxa vertical, i sempre del camp elèctric).
Ara bé, contràriament al que sembla en molts vídeos, l'estructura real del polaritzador "vertical" és una estructura de línies horitzontals (jaja plotwist). Aleshores com se li diu polaritzador "vertical" a molts llocs dibuixen les línies verticals malgrat realment les haurien de dibuixar horitzontals (ja que les línies són molècules molt llargues, i l'eix de polarització és perpendicular a aquestes línies)
Tots els tipus de polarització en 2 minuts:
TOTS ELS GIFS A CONTINUACIÓ ESTAN EXPORTATS A PARTIR D'AQUESTA MAREVELLOSA WEB
Polarització circular i el·líptica:
Incidència sobre una superfície
Model conceptual
Bàsicament és l’estudi de la refracció des de la perspectiva de l’òptica electromagnètica.
Quan una ona electromagnètica incident impacta sobre la interfície entre un medi 1 i un medi 2, aquesta es separa en una ona reflectida i una ona refractada (transmesa).
Si anomenem al vector unitari que descriu la propagació d’una ona, veurem que els vectors directors , i de les 3 ones, es troben continguts en el mateix pla, que anomenem pla d’incidència.
El fenomen podríem mirar-lo des de qualsevol angle per fer-nos una idea de quin és el pla d’incidència i quin és el pla de la interfície en una perspectiva 3D.
Però per motius d’anàlisis pràctics sempre analitzarem aquest fenomen mirant-lo frontalment (el diagrama 2D que dibuixarem serà el pla d’incidència).
L’ona incident, la reflectida i la transmesa, les representarem descomposant-les com una superposició de dues ones, una continguda (paral·lela) al pla d’incidència i l’altra perpendicular.
Diagrama
Nota: Dir-li a la clara si pot canviar un moment les H per E, posar els eixos bé, fer la foto i ale.
Representem doncs amb vectors les components del camp elèctric de l’ona. Per no liar-se, està bé saber que hi ha diferents notacions utilitzades, aquí un diagrama equivalent.
Notacions i consistència
Tenim algunes coses que ens importen de cada ona (vector de propagació, angle respecte la normal, amplitud, intensitat…) i per cada una podem distingir entre les tres ones (incident, reflectida o transmesa) de dues maneres diferents, amb subíndex o amb primes. A continuació la notació triada per aquests apunts.
Notació triada (primes per distingir i epsilon pels angles)
- Vector de propagació
- —> Notació triada
- Angle respecte la normal
- —> Notació triada
- Amplitud de l’ona resultant
- —> Notació triada
- Amplitud de l’ona perpendicular i de l’ona paral·lela
- i
- i
- i
- i —> Notació triada
- Intensitat de l’ona
- —> Notació triada si sols es produeix una refracció o reflexió
- —> Notació triada si es produeixen varies incidències…
La component del camp elèctric de l’ona electromagnètica incident serà
La intensitat serà
Ojut perquè hi ha dos convenis diferents. La notació de Fresnel i la notació de Verdet.
Nosaltres (i crec que a tots els enunciats d’exàmens també), farem servir la de Fresnel, la qual simbolitza explícitament el canvi de fase en la component reflectida (quan passem de n a n’ amb n<n’).
Saber si gira en sentit horari o antihorari
Nemotècnica per recordar levògira i dextrògira:
LEVOgira = LEFT → gira cap a l'esquerra (des de dalt)
DEXTrogira = DRETA → gira cap a la dreta
Gràfic el·lipse:
Recordar que si el desfase es troba entre 0 i π → horari (normal)
Si es troba entre 0 i -π (és a dir entre π i 2π) → antihorari
Explicació del tipus de rotació segons desfasament: Polarització explicada amb GIFs
En cas que tingueu el Wolfram Player instal·lat, aquí un simulador prou xulo: Ellipse
Polarització per reflexió (angle de Brewster)
Polarization by reflection: el vídeo més útil i simple del món
Polarization by reflection & Polarization by Scattering
Nota per assegurar que està tot entès: Quan ens entra un raig (moltes ones) amb polarització random apunt d'incidir en una superfície, aquestes es poden representar amb dues fletxes: una paral·lela a la superfície (punt) i una altra perpendicular a aquesta i continguda dins del pla d'incidència (fletxa).
En el transcurs d'apuntar amb un làser a la superfície de manera vertical i anar-nos movent de amb el làser de dalt cap a l'esquerra (passant per l'angle de Brewster) fins a estar paral·lels a la superfície:
i) Una cosa bàsica, però que val la pena assegurar que s'ha entès: la component vertical (fletxa), es refracta i es reflexa continguda tota l'estona en el pla d'incidència (segueix sent la feltxa). La que incideix horitzontal (punt), es refracta i reflexa horitzontal (punt).
ii) La component vertical (fletxa) de la llum reflectida va minvant a mida que ens acostem a l'angle de Brewster, i per aquest s'anul·la completament, després es torna a recuperar.
iii) La component horitzontal (punt) de la llum reflectida va augmentant gradualment tota l'estona i per tant a l'angle de Brewster no s'anul·la pas.
iv) La component horitzontal de la llum refractada va perdent intensitat tota l'estona al mateix temps que la component horitzontal de la reflectida en va guanyant.
v) La component vertical de la llum refractada no sabem què li passa
vi) Just en l'angle de Brewster es compleix que el raig reflectit i el raig refrectat són perpendiculars (angle de 90º entre ells).
Extra: Molt bé, però què passa? per què es polaritza exactament?
La clau
“you can see that the electrons, which move along the direction of the E vector, are moving parallel to the direction of the reflected beam.” “An electrical dipole that is oscillating can send a wave in all directions - except the direction it is pointing”
Realment és specular reflection, i pot ser explicada per la phonon theory (física de l’estat sòlid) són si els àtoms fossin moltes boletes acoblades per molles.
Tret de les Feynman Lectures:
"The source of this so-called reflected light is not simply that the incident beam is reflected; our deeper understanding of this phenomenon tells us that the incident beam drives an oscillation of the charges in the material, which in turn generates the reflected beam. From the figure below it is clear thatonly oscillations normal to the paper can radiate in the direction of reflection, and consequently the reflected beam will be polarized normal to the plane of incidence. If the incident beam is polarized in the plane of incidence, there will be no reflected light".
És a dir, és la mateixa idea que si el raig refractat just en l'inici sofrís una polarization by scattering, de manera que el raig "scattered" just a 90º d'aquest, estaria perfectament polaritzat, enviant en la direcció perpendicular els punts negres (refelxió), que al ser paral·lels a la superfície del material, són absorbits mentre que la component vertical (fletxes) no. No és gaire convincent aquesta resposta perquè de fet no és certa, la realitat em temo que és bastant més complicada i involucra mecànica quàntica. Si un dia ho enetenc bé ho afageixo
I algo de atoms com a nodes d’una xarxa d’osciladors.
—> PHONONS
NONO AL FINAL ÉS TAN SENZILL COM QUE UN DIPOL EMET ONES EN TOTES LES DIRECCIONS EXCEPTE EN EL SEU EIX. —> Mirar vídeo 3blue1brown sobre oscil·ladors i òptica i fer-ne GIFs.
Si una ona circularment polaritzada incidís sobre una superfície en l'angle de Brewster la ona refractada segueiria circularment el·lípticament polaritzada igual, només canviaria la seva amplitud i direcció de propagació, mentre que la reflectida quedaria linealment polaritzada.
Cal a dir que mentre la component perpendicular del vector E, en la ona refractada, segueix la ondulació normal, en la reflectida canvia de sentit, tal com es pot veure en la següent imatge:
Altres visualitzacions del mateix: Reflection/Refraction Images
Ara bé, quan és que canvia de sentit i quan no cada component? I quan és que això produeix un desfasament i quan no? Per entendre això tenim els marevellosos coeficients de fresenel!
Coeficients de Fresnel
Material
Dubte coeficients de Fresnel
Com es relacionen aquests
Amb aquests
Vull dir com és que uns depenen dels índexs de refracció i els altres no?
Entendre el canvi de fase
Va, per entendre el canvi de fase, he elaborat uns gràfics bastant monus ^^
D’aire a vidre
De vidre a aire
Molt bé va, anem a analitzar aquests gràfics.
Anàlisis Exhaustiu
Fets Bàsics
- Sempre considerem que per l’ona incident i
- L’ona refractada mai canvia de fase, ni en la component paral·lela ni en la perpendicular. Això implica , i per tant i .
- Si per l’ona reflectida tenim un canvi de fase en una de les components, tindrem una amplitud negativa associada a aquella component. Això implica
- Canvi de fase en la component paral·lela —> i
- Canvi de fase en la component perpendicular —> i
- Si les dues ones (paral·lela i perpendicular) experimenten un canvi de fase les ones estaran en fase entre elles.
Fets més concrets
- Per (d’aire a vidre) sempre tindrem el següent
- Per una angle incidència entre normal i l’angle de Brewster
- A mida que ens apropem i allunyem de l’angle de Brewster
- La component perpendicular no li passa absolutament res (segueix desfasada )
- La component paral·lela s’anirà fent petita a mida que ens apropem, un cop a l’angle de Brewster serà nul·la, i s’anirà fent gran a mida que ens allunyem però en l’altre sentit, és a dir que un cop superat l’angle de Brewster hi ha un canvi de fase.
- Per un angle superior a l’angle de Brewster
- Ones desfasades desfasades entre elles radians
Hi ha un canvi de fase de en les dues components
Per tant les dues components no es troben desfasades entre elles, és a dir tenim les ones en fase.
Gràfic
- Per (de vidre a aire) tindrem el següent
- Per un angle d’incidència inferior a l’angle de Brewster
- Ni la component perpendicular ni la component paral·lela es troben desfasades, és a dir que estan en fase.
- Per un angle d’incidència superior però inferior a l’angle límit
- La component perpendicular no li passa absolutament res
- La component paral·lela es va fent petita al apropar-se a l’angle de Brewster i després es va fent gran en l’altre sentit. És a dir que un cop superat l’angle de Brewster tenim un desfasament de .
- Per un angle d’incidència superior a l’angle límit
- La component perpendicular i la component paral·lela experimenten un desfasament arbitrari (ni ni ).
- Deixa d’haver-hi refracció, és a dir que les components paral·lela i perpendicular de l’ona refractada van minvant fins a ser zero per l’angle límit.
- IMPORTANT: El fet que el desfasament entre components sigui arbitrari fa que encara que la ona incident fos polaritzada linealment, l’ona reflectida serà polaritzada el·lípticament.
- Per un angle d’incidència rasant
- Les dues components es van desfasant de manera gens trivial fins que en l’estat d’incidència rasant, la paral·lela queda en el seu estat original i la perpendicular en l’estat oposat, quedant entre elles un desfasament de .
Gràfic
Materials amb índex de refracció complex
Reflexió interna total a l’angle límit
Material
Si passem d’aigua a aire o de vidre a aire (n > n’) es pot produir reflexió total (zero refracció) a partir d’un cert angle d’incidència que anomenarem angle límit.
L’angle límit
Serà aquell angle d’incidència tal que l’angle de refracció sigui 90 graus .
Aleshores per la llei de Snell
A continuació ens servirà adonar-nos que
Què passa si superem aquest angle límit?
Suposició índex de refracció complex
Molt bé, però què passa si augmentem l’angle d’incidència per sobre de l’angle límit? Vale, no observarem cap raig refractat, però tot i així té sentit parlar d’un angle de refracció ?
Doncs anem a estendre-ho matemàticament (als complexes com veurem) i aviam a on anem a parar.
Recordem que per l’angle límit teníem que
Molt bé per tindrem que i per tant
I sabem de variable complexa que per
Podem fent una mica de mates arribar a una expressió també per el cosinus
Procediment
“No en tinc ni idea de com ha arribat aquí xd”
Fixar-se que mentre que , i podem definir també una .
Molt bé doncs res ens impedeix posar aquests valors (encara que complexes) a les fórmules dels coeficients de Fresnel.
Però abans haurem de modificar-les una mica per arribar a poder-les expressar tal que…
[coefficients de fresnel amb complexes]
Que ens donen les gràfiques que ja havíem vist i no havíem entès
Repàs de les gràfiques dels coefficients de Fresnel
Estudi per material dielèctrics i conductors
[Equacions de maxwell]
Ojut perquè ara epsilon és la permeabilitat dielèctrica
Aleshores a partir d’ara farem servir per l’angle.
Al final no sé com (a partir de les equacions de Maxwell) arribes a que es pot expressar l’índex de refracció de manera complexa
En què s’anomena coeficient d’extinció. Pel cas particular (si cau a una qüestió serà amb aquesta aproximació) en què aleshores
En tot cas podem expressar la llei de Snell en forma més general (complexa)
Tips pels exercicis de múltiples refraccions i reflexions
Medis anisòtrops
Birefringència
Bàsicament quan un medi és anísotrop, la component horitzontal i la component vertical del camp elèctric actuen diferent, i per tant del material en surten dues ones. Cada una amb una polarització lineal.
Pel cas de la calcita, deguda a la seva estructura mol·lecular interna, té un índex de refracció de 1.658 per dos eixos, i de 1.486 pel tercer eix.
El resultat ve a ser bàsicament veure doble, ja que una ona s'ha refractat i l'altra no.
Diagrama 3D
Diagrama 2D
Extra: Explicació intuïtiva a nivell atòmic
Doncs perquè a la component perpendicular no li afecta mentre que a la vertical li és més fàcil orientar-se amb el pla de les molècules.
A nivell molecular ho podem pensar com que hi ha uns eixos interns de l’estructura cristal·lina que fa que sigui més fàcil pels àtoms vibrar en una direcció o en l’altra
A nivell físic ens ho podríem imaginar com que les vibracions són oscil·ladors harmònics, en què a cada eix tenen una constant de la molla diferent
3blue1brown té un vídeo fent èmfasis en aquest concepte de simular les vibracions en sòlids com a oscil·ladors harmònics, i en un segon vídeo (minut 5:12) explica la idea aquesta de la birefringència a partir d’oscil·ladors.
Més material extra i curiositats sobre la birefringència
Explicació una mica més a fons (no entra): Optic Axis & Bifrefringence
La birefrigència és xula principalment per dos motius:
1) Serveix per avaular a on un material a patit tensió (stress tensor de medis)
2) Permet entrellaçar fotons!!!
Curiositat extra: Fa cosa d'uns dos anys científics al CERN van descobrir que el propi buit (de l'espai) pot actuar com un cristall birefringent i presentar diferents índexs de refracció en funció de l'estat de polarització quan és sotmès a camps electromagnètics molt i molt intensos.
Per últim, aquí una playlist d'òptica electromagnètica, que també inclou interferències.
Làmines Retardadores
General
Làmina retardadora de quart d’ona
Amb
Làmina retardadora de meitat d’ona
Extra: Polarització tractada de manera avançada
Overview
Podem descriure la polarització de dues maneres diferents: amb el càlcul de Jones i càlcul de Muller. Nosaltres tractem amb vectors de Jones, però sense utilitzar matrius per descriure l’estat de polarització ni utilitzar l’esfera de Poincaré.
Després hi ha el càlcul de Muller que et permet explicar interferències.
Web que ho explica perf
Llibres de text de referència
- Capítol 14 del llibre de text “Pedrotti” (el teniu a l’inici d’aquesta pàgina)
- Polarized Light - William A. Shurcliff (1962)