Enunciat
Context previ
Què és un pió? (no és necessari saber-ho per resoldre l’exercici)
Un pió és una partícula de spin composta per un quark i un anti-quark. Existeixen tres tipus de pions: , i . En el nostre exercici tenim un pió , que és una partícula formada per una superposició entre un parell de quarks “up” i “anti-up” () i “down” i “anti-down” (), cosa una mica extravagant ja que és la seva pròpia anti-partícula.
Els pions són mesons amb spin , els quals són partícules que tenen el mateix nombre de quarks i anti-quarks. En funció del tipus de quark (up, down, top, bottom, charm o strange) i del nombre de cada tipus tenim una gran varietat de mesons. Tots els mesons són inestables i tenen un temps de vida inferior a un nanosegon, aquests solen decaure en electrons, positrons, muons, neutrins, antineutrins i fotons.
Pel pió neutre , s’han observat experimentalment quatre tipus de decaïments, un dels quals és el del exercici
Altres decaïments típics
Pel
Pels i
El fet de que sigui un pió és irrellevant, podria un bosó , o un fotó o qualsevol bosó neutre que decaigués en fotons virtuals i aquests produïssin el parell electró-positró.
Tenim un electró i un positró viatjant en direccions diferents (no s’aniquilaran) suposadament a velocitats moderades (no hi ha efectes relativistes). Al no haver-hi presència de cap camp elèctric o magnètic, la seva càrrega (positiva o negativa) no és rellevant. Així doncs podem tractar el sistema com si fossin dos electrons.
Quan hi ha aquest tipus de decaïment, l’electró i el positró obtinguts estan entrellaçats completament (estat singlet). Això vol dir que si mesurem que l’electró té spin-up sabrem immediatament que el positró té spin-down, i viceversa.
Recordem que aquest estat es correspon a
Per què un estat singlet s’expressa així?
Recordem que l’estat general per un sistema de dos fermions és
Evidentment amb l’estat normalitzat, és a dir .
Si fos un estat entrellaçat parcialment, tindríem la condició
Que implica que no podem escriure
I per un estat entrellaçat completament, no existeix la possibilitat de mesurar spin up-up o spin down-down, així que i la probabilitat de mesurar spin up-down i down-up és la mateixa així .
La fase relativa entre les dues components serà , de manera que una de les components estarà multiplicada per .
La fase total no és rellevant (només la fase relativa) així que es pren per conveni que les dues components siguin reals, i que la positiva () sigui la de spin up-down i la negativa () sigui la de spin down-up.
De manera que l’estat singlet s’expressa aíxi
La raó per la qual la fase relativa és ve de que la funció d’ona ha de ser antisimètrica (per fermions), de manera que si girem les dues partícules ha de canviar el signe de l’estat.
També ho podem pensar com que per partícules de spin-, l’spin total del sistema (actuar ) ha de donar , és a dir , per un estat singlet.
En canvi si tinguéssim un signe positiu i calculéssim l’spin total obtindríem , és a dir , que es correspon a un dels tres estats triplet.
I efectivament per un estat singlet volem que es compleixi .
Apartat A
Quan es produeix el decaïment, les partícules van en direccions oposades
Dos observadors mesuren (amb un Stern-Gerlach) l’spin de la partícula que els hi arriba, però ho fan en eixos arbitraris ( pel que mesura l’electró i pel que mesura el positró).
Recordem que estem en 3 dimensions, així que i poden no estar dins del pla en el que es mouen les partícules.
Tal com ens diu l’enunciat, caldrà que fixem una de les dues direccions arbitràries ().
La matriu de spin que mesura l’electró serà , que en la notació en la que estem acostumats és
Nota important: no confondre i que fan referència a Stern-Gerlachs sobre l’electró i positró respectivament, amb els operadors de la teoria.
I la del positró (que podem tractar com un electró) serà , un Stern-Gerlach en una direcció arbitraria.
Prenent
Aquí ve un punt conceptual molt important.
- Quan teníem un sol Stern-Gerlach (per exemple en l’eix ) pel qual passaven les dues partícules (alhora), construíem la matriu corresponent a la mesura fent . Ja que la mesura afectava a les dues partícules (als dos subespais).
- En canvi en aquest experiment tenim un Stern-Gerlach que només afecta al electró, és a dir només en el subespai corresponent a l’electró, i deixa el subespai del positró inalterat (matriu identitat). I un Stern-Gerlach que només afecta al positró, és a dir al subespai corresponent al positró, i deixa el subespai de l’electró inalterat (matriu identitat). Això implica que esteses en la versió 4x4, les matrius corresponents a les dues mesures són:
Molt bé, el valor esperat de l’observable (producte d’observables) serà el bra-ket següent
I ja que les matrius de spin són hermítiques, això serà equivalent a
De manera matricial podem calcular el bra i el ket fent
I si ara en fem el bra-ket, obtindrem el valor esperat que buscàvem