Enunciat Context previ Notació
Recordem que per una sola partícula, les següents notacions són equivalents
∣ z + ⟩ = ∣ + ⟩ = ∣ 1 ⟩ = ∣ S z , + 1 ⟩ = ∣ S z , + ⟩ \ket{z_+}=\ket{+}=\ket{1}=\ket{S_z,+1}=\ket{S_z,+} ∣ z + ⟩ = ∣ + ⟩ = ∣ 1 ⟩ = ∣ S z , + 1 ⟩ = ∣ S z , + ⟩ I que en sistemes compostos, la base típica (dues partícules passant pel mateix Stern-Gerlach
z z z ) és
{ z } ≡ { ∣ + + ⟩ , ∣ + − ⟩ , ∣ − + ⟩ , ∣ + + ⟩ } \{z\}\equiv\{\ket{++},\ket{+-},\ket{-+},\ket{++}\} { z } ≡ { ∣ + + ⟩ , ∣ + − ⟩ , ∣ − + ⟩ , ∣ + + ⟩ } On les següents notacions són equivalents
∣ + − ⟩ = ∣ + , − ⟩ = ∣ + ⟩ ⊗ ∣ − ⟩ = ∣ + ⟩ ( 1 ) ⊗ ∣ − ⟩ ( 2 ) = ∣ S z , + ⟩ ( 1 ) ⊗ ∣ S z , − ⟩ ( 2 ) \ket{+-}=\ket{+,-}=\ket{+}\otimes\ket{-}=\ket{+}^{(1)}\otimes\ket{-}^{(2)}=\ket{S_z,+}^{(1)}\otimes\ket{S_z,-}^{(2)} ∣ + − ⟩ = ∣ + , − ⟩ = ∣ + ⟩ ⊗ ∣ − ⟩ = ∣ + ⟩ ( 1 ) ⊗ ∣ − ⟩ ( 2 ) = ∣ S z , + ⟩ ( 1 ) ⊗ ∣ S z , − ⟩ ( 2 ) Un estat (del sistema) genèric és
∣ ψ ⟩ = a ∣ + + ⟩ + b ∣ + − ⟩ + c ∣ − + ⟩ + d ∣ − − ⟩ \ket{\psi}=a\ket{++}+b\ket{+-}+c\ket{-+}+d\ket{--} ∣ ψ ⟩ = a ∣ + + ⟩ + b ∣ + − ⟩ + c ∣ − + ⟩ + d ∣ − − ⟩ En aquesta base, podem expressar l’estat matricialment així
∣ ψ ⟩ { z } = ( a b c d ) \ket{\psi}_{\{z\}}=\begin{pmatrix}
a\\b\\c\\d
\end{pmatrix} ∣ ψ ⟩ { z } = ⎝ ⎛ a b c d ⎠ ⎞ O alternativament així
Per si de cas ∣ + ⟩ = ( 1 0 ) ∣ − ⟩ = ( 0 1 ) \ket{+}=\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}
\qquad\quad
\ket{-}=\begin{pmatrix}
0\\1
\end{pmatrix} ∣ + ⟩ = ( 1 0 ) ∣ − ⟩ = ( 0 1 ) ( a 1 a 2 ) ⊗ ( b 1 b 2 ) = ( a 1 ( b 1 b 2 ) a 2 ( b 1 b 2 ) ) = ( ( a 1 b 1 a 1 b 2 ) ( a 2 b 1 a 2 b 2 ) ) = ( a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2 ) \begin{pmatrix}
a_1\\a_2
\end{pmatrix}\otimes
\begin{pmatrix}
b_1\\b_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}a_1
\begin{pmatrix}
b_1\\b_2
\end{pmatrix}
\\[1em]
a_2
\begin{pmatrix}
b_1\\b_2
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_1b_1\\a_1b_2
\end{pmatrix}
\\[1em]
\begin{pmatrix}
a_2b_1\\a_2b_2
\end{pmatrix}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_1b_1\\a_1b_2\\
a_2b_1\\
a_2b_2
\end{pmatrix} ( a 1 a 2 ) ⊗ ( b 1 b 2 ) = ⎝ ⎛ a 1 ( b 1 b 2 ) a 2 ( b 1 b 2 ) ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ ( a 1 b 1 a 1 b 2 ) ( a 2 b 1 a 2 b 2 ) ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2 ⎠ ⎞ ∣ ψ ⟩ { z } = a ( 1 0 ) ⊗ ( 1 0 ) + b ( 1 0 ) ⊗ ( 0 1 ) + c ( 0 1 ) ⊗ ( 1 0 ) + d ( 0 1 ) ⊗ ( 0 1 ) \ket{\psi}_{\{z\}}=
a
\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}
+
b
\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
0\\1
\end{pmatrix}
+
c
\begin{pmatrix}
0\\1
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}
+
d
\begin{pmatrix}
0\\1
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
0\\1
\end{pmatrix} ∣ ψ ⟩ { z } = a ( 1 0 ) ⊗ ( 1 0 ) + b ( 1 0 ) ⊗ ( 0 1 ) + c ( 0 1 ) ⊗ ( 1 0 ) + d ( 0 1 ) ⊗ ( 0 1 ) On, evidentment l’estat està normalitzat, és a dir
∣ a ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 + ∣ c ∣ 2 + ∣ d ∣ 2 = 1 \textcolor{gray}{|a|^2+|b|^2+|c|^2+|d|^2=1} ∣ a ∣ 2 + ∣ b ∣ 2 + ∣ c ∣ 2 + ∣ d ∣ 2 = 1 Recordem que per una partícula sola (amb spin up o down en l’eix
n n n ) teníem
∣ n + ⟩ = ( cos θ 2 sin θ 2 e i ϕ ) ∣ n − ⟩ = ( − sin θ 2 e − i ϕ cos θ 2 ) \ket{n_+}=\begin{pmatrix}
\cos\frac{\theta}{2}
\\[0.5em]
\sin\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
\end{pmatrix}
\qquad\quad
\ket{n_-}=\begin{pmatrix}
-\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
\\[0.5em]
\cos\frac{\theta}{2}
\end{pmatrix} ∣ n + ⟩ = ( cos 2 θ sin 2 θ e i ϕ ) ∣ n − ⟩ = ( − sin 2 θ e − i ϕ cos 2 θ ) Aquestes expressions matricials són en la base
{ ∣ z + ⟩ , ∣ z − ⟩ } \small\{\ket{z_+},\ket{z_-}\} { ∣ z + ⟩ , ∣ z − ⟩ } .
Així doncs, si volguéssim expressar l’estat del nostre sistema en la base
{ n } \small\{n\} { n } (perquè ara la mesura del Stern-Gerlach la farem en l’eix n n n ) , hauríem de saber expressar els elements d’una base en funció dels de l’altra
∣ + + ⟩ ∣ + − ⟩ ∣ − + ⟩ ∣ − − ⟩ ⟺ ? ∣ n + n + ⟩ ∣ n + n − ⟩ ∣ n − n + ⟩ ∣ n − n − ⟩ \begin{aligned}
\ket{++}
\\
\ket{+-}
\\
\ket{-+}
\\
\ket{--}
\end{aligned}
\quad
\overset{?} \iff
\quad
\begin{aligned}
\ket{n_+n_+}
\\
\ket{n_+n_-}
\\
\ket{n_-n_+}
\\
\ket{n_-n_-}
\end{aligned} ∣ + + ⟩ ∣ + − ⟩ ∣ − + ⟩ ∣ − − ⟩ ⟺ ? ∣ n + n + ⟩ ∣ n + n − ⟩ ∣ n − n + ⟩ ∣ n − n − ⟩ Pel cas general això es pot fer bastant feixuc
Aviam Els elements de la base
{ n } \small\{n\} { n } en funció dels de la
{ z } \small\{z\} { z } seria
∣ n + ⟩ ⊗ ∣ n + ⟩ = ( cos θ 2 sin θ 2 e i ϕ ) ⊗ ( cos θ 2 sin θ 2 e i ϕ ) = ( cos 2 θ 2 cos θ 2 sin θ 2 e i ϕ sin θ 2 cos θ 2 e i ϕ sin 2 θ 2 e 2 i ϕ ) \small
\ket{n_+}\otimes \ket{n_+}
=
\begin{pmatrix}
\cos\frac{\theta}{2}
\\[0.5em]
\sin\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
\cos\frac{\theta}{2}
\\[0.5em]
\sin\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos^2\frac{\theta}{2}
\\[0.5em]
\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
\\[0.5em]
\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
\\[0.5em]
\sin^2\frac{\theta}{2}e^{2i\phi}
\end{pmatrix} ∣ n + ⟩ ⊗ ∣ n + ⟩ = ( cos 2 θ sin 2 θ e i ϕ ) ⊗ ( cos 2 θ sin 2 θ e i ϕ ) = ⎝ ⎛ cos 2 2 θ cos 2 θ sin 2 θ e i ϕ sin 2 θ cos 2 θ e i ϕ sin 2 2 θ e 2 i ϕ ⎠ ⎞ ∣ n + ⟩ ⊗ ∣ n − ⟩ = ( cos θ 2 sin θ 2 e i ϕ ) ⊗ ( − sin θ 2 e − i ϕ cos θ 2 ) = ( − cos θ 2 sin θ 2 e − i ϕ cos 2 θ 2 − sin 2 θ 2 sin θ 2 cos θ 2 e i ϕ ) \small
\ket{n_+}\otimes \ket{n_-}
=
\begin{pmatrix}
\cos\frac{\theta}{2}
\\[0.5em]
\sin\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
-\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
\\[0.5em]
\cos\frac{\theta}{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
\\[0.5em]
\cos^2\frac{\theta}{2}
\\[0.5em]
-\sin^2\frac{\theta}{2}
\\[0.5em]
\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
\end{pmatrix} ∣ n + ⟩ ⊗ ∣ n − ⟩ = ( cos 2 θ sin 2 θ e i ϕ ) ⊗ ( − sin 2 θ e − i ϕ cos 2 θ ) = ⎝ ⎛ − cos 2 θ sin 2 θ e − i ϕ cos 2 2 θ − sin 2 2 θ sin 2 θ cos 2 θ e i ϕ ⎠ ⎞ ∣ n − ⟩ ⊗ ∣ n + ⟩ = ( − sin θ 2 e − i ϕ cos θ 2 ) ⊗ ( cos θ 2 sin θ 2 e i ϕ ) = ( − cos θ 2 sin θ 2 e − i ϕ − sin 2 θ 2 cos 2 θ 2 sin θ 2 cos θ 2 e i ϕ ) \small
\ket{n_-}\otimes \ket{n_+}
=
\begin{pmatrix}
-\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
\\[0.5em]
\cos\frac{\theta}{2}
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
\cos\frac{\theta}{2}
\\[0.5em]
\sin\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
\\[0.5em]
-\sin^2\frac{\theta}{2}
\\[0.5em]
\cos^2\frac{\theta}{2}
\\[0.5em]
\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
\end{pmatrix} ∣ n − ⟩ ⊗ ∣ n + ⟩ = ( − sin 2 θ e − i ϕ cos 2 θ ) ⊗ ( cos 2 θ sin 2 θ e i ϕ ) = ⎝ ⎛ − cos 2 θ sin 2 θ e − i ϕ − sin 2 2 θ cos 2 2 θ sin 2 θ cos 2 θ e i ϕ ⎠ ⎞ ∣ n − ⟩ ⊗ ∣ n − ⟩ = ( − sin θ 2 e − i ϕ cos θ 2 ) ⊗ ( − sin θ 2 e − i ϕ cos θ 2 ) = ( sin 2 θ 2 e − 2 i ϕ − sin θ 2 cos θ 2 e − i ϕ − sin θ 2 cos θ 2 e − i ϕ cos 2 θ 2 ) \small
\ket{n_-}\otimes \ket{n_-}
=
\begin{pmatrix}
-\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
\\[0.5em]
\cos\frac{\theta}{2}
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
-\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
\\[0.5em]
\cos\frac{\theta}{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sin^2\frac{\theta}{2}e^{-2i\phi}
\\[0.5em]
-\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
\\[0.5em]
-\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
\\[0.5em]
\cos^2\frac{\theta}{2}
\end{pmatrix} ∣ n − ⟩ ⊗ ∣ n − ⟩ = ( − sin 2 θ e − i ϕ cos 2 θ ) ⊗ ( − sin 2 θ e − i ϕ cos 2 θ ) = ⎝ ⎛ sin 2 2 θ e − 2 i ϕ − sin 2 θ cos 2 θ e − i ϕ − sin 2 θ cos 2 θ e − i ϕ cos 2 2 θ ⎠ ⎞ I els elements de la base
{ z } \{z\} { z } en funció dels de la
{ n } \{n\} { n } fa encara més mandra de calcular.
Ho podríem fer si volguéssim sabent que
∣ z + ⟩ = cos θ 2 ∣ n + ⟩ − sin θ 2 e i ϕ ∣ n − ⟩ ∣ z − ⟩ = sin θ 2 e − i ϕ ∣ n + ⟩ + cos θ 2 ∣ n − ⟩ \small
\ket{z_+}=\cos\frac{\theta}{2}
\ket{n_+}-\sin\frac{\theta}{2}e^{i\phi}\ket{n_-}
\qquad
\ket{z_-}=\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}\ket{n_+}+\cos\frac{\theta}{2}\ket{n_-} ∣ z + ⟩ = cos 2 θ ∣ n + ⟩ − sin 2 θ e i ϕ ∣ n − ⟩ ∣ z − ⟩ = sin 2 θ e − i ϕ ∣ n + ⟩ + cos 2 θ ∣ n − ⟩ Però no cal, ara veurem perquè.
Per sort no ens caldrà, ja que ens demanen simplement probabilitats, que es calculen amb
bra-kets i són independents de la base. A més, tal com diu l’enunciat, no estem en el cas general, i el nostre estat només té components no nul·les pels elements
∣ + − ⟩ \ket{+-} ∣ + − ⟩ i
∣ − + ⟩ \ket{-+} ∣ − + ⟩ .
Apartat A El nostre estat és
∣ ψ ⟩ = 1 2 ( ∣ + − ⟩ + ∣ − + ⟩ ) \ket{\psi}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{+-}+\ket{-+}) ∣ ψ ⟩ = 2 1 ( ∣ + − ⟩ + ∣ − + ⟩ ) Matricialment
(en la base { z } \small\{z\} { z } ) això és
∣ ψ ⟩ { z } = 1 2 ( 0 1 1 0 ) \ket{\psi}_{\{z\}}=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
0\\1\\1\\0
\end{pmatrix}
∣ ψ ⟩ { z } = 2 1 ⎝ ⎛ 0 1 1 0 ⎠ ⎞ O si volem també…
∣ ψ ⟩ { z } = 1 2 [ ( 1 0 ) ⊗ ( 0 1 ) + ( 0 1 ) ⊗ ( 1 0 ) ] \textcolor{gray}{
\ket{\psi}_{\{z\}}=\frac{1}{\sqrt{2}}
\left[
\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
0\\1
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
0\\1
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
1\\0
\end{pmatrix}
\right]
} ∣ ψ ⟩ { z } = 2 1 [ ( 1 0 ) ⊗ ( 0 1 ) + ( 0 1 ) ⊗ ( 1 0 ) ] Ens demanen calcular la probabilitat de mesurar l’estat
∣ n + n + ⟩ \ket{n_+n_+} ∣ n + n + ⟩ .
Com sabem això es fa així
P ( n + n + ) = ∣ ⟨ n + n + ∣ ψ ⟩ ∣ 2 \newcommand{\alquadrat}[1]{
|\hspace{-2pt}#1\hspace{-2pt}|^2
}
P(n_+n_+)=\alquadrat{\braket{n_+n_+|\psi}} P ( n + n + ) = ∣ ⟨ n + n + ∣ ψ ⟩ ∣ 2 Nosaltres farem el càlcul matricial d’aquest
bra-ket en la base
{ z } \small\{z\} { z } , però com sabem e
ls bra-kets donen el mateix en qualsevol base, així que si volguéssim també podríem expressar l’estat en la base { n } \small\{n\} { n } i després fixar-nos en la component de ∣ n + n + ⟩ \ket{n_+n_+} ∣ n + n + ⟩ . No ho fem així perquè tardaríem bastant més. Tenim que l’element
∣ n + n + ⟩ \ket{n_+n_+} ∣ n + n + ⟩ és
∣ n + n + ⟩ = ∣ n + ⟩ ⊗ ∣ n + ⟩ = ( cos θ 2 sin θ 2 e i ϕ ) ⊗ ( cos θ 2 sin θ 2 e i ϕ ) = ( cos 2 θ 2 cos θ 2 sin θ 2 e i ϕ sin θ 2 cos θ 2 e i ϕ sin 2 θ 2 e 2 i ϕ ) \small
\ket{n_+n_+}=\ket{n_+}\otimes \ket{n_+}
=
\begin{pmatrix}
\cos\frac{\theta}{2}
\\[0.5em]
\sin\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
\cos\frac{\theta}{2}
\\[0.5em]
\sin\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos^2\frac{\theta}{2}
\\[0.5em]
\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
\\[0.5em]
\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
\\[0.5em]
\sin^2\frac{\theta}{2}e^{2i\phi}
\end{pmatrix} ∣ n + n + ⟩ = ∣ n + ⟩ ⊗ ∣ n + ⟩ = ( cos 2 θ sin 2 θ e i ϕ ) ⊗ ( cos 2 θ sin 2 θ e i ϕ ) = ⎝ ⎛ cos 2 2 θ cos 2 θ sin 2 θ e i ϕ sin 2 θ cos 2 θ e i ϕ sin 2 2 θ e 2 i ϕ ⎠ ⎞ I per tant el bra-ket serà
⟨ n + n + ∣ ψ ⟩ = ( cos 2 θ 2 cos θ 2 sin θ 2 e − i ϕ sin θ 2 cos θ 2 e − i ϕ sin 2 θ 2 e − 2 i ϕ ) 1 2 ( 0 1 1 0 ) = = 1 2 [ cos θ 2 sin θ 2 e − i ϕ + cos θ 2 sin θ 2 e − i ϕ ] = 1 2 sin θ e − i ϕ \braket{n_+n_+|\psi}=
\footnotesize
\begin{pmatrix}
\cos^2\frac{\theta}{2}
&
\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
&
\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
&
\sin^2\frac{\theta}{2}e^{-2i\phi}
\end{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
0\\1\\1\\0
\end{pmatrix}
=
\\
=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\left[
\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
+
\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
\right]=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta e^{-i\phi} ⟨ n + n + ∣ ψ ⟩ = ( cos 2 2 θ cos 2 θ sin 2 θ e − i ϕ sin 2 θ cos 2 θ e − i ϕ sin 2 2 θ e − 2 i ϕ ) 2 1 ⎝ ⎛ 0 1 1 0 ⎠ ⎞ = = 2 1 [ cos 2 θ sin 2 θ e − i ϕ + cos 2 θ sin 2 θ e − i ϕ ] = 2 1 sin θ e − i ϕ On hem utilitzat la
relació trigonomètrica 2 sin θ 2 cos θ 2 = sin θ \small
2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}
=
\sin\theta 2 sin 2 θ cos 2 θ = sin θ .
Així doncs la probabilitat que ens demanen serà
P ( n + n + ) = ∣ ⟨ n + n + ∣ ψ ⟩ ∣ 2 = ∣ 1 2 sin θ e − i ϕ ∣ 2 = 1 2 sin 2 θ \newcommand{\alquadrat}[1]{
|\hspace{-2pt}#1\hspace{-2pt}|^2
}
\colorbox{00d000}{$\displaystyle
P(n_+n_+)$}=\alquadrat{\braket{n_+n_+|\psi}}=\left|
\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta e^{-i\phi}
\right|^2=
\colorbox{00d000}{$\displaystyle
\frac{1}{2}\sin^2\theta
$} P ( n + n + ) = ∣ ⟨ n + n + ∣ ψ ⟩ ∣ 2 = ∣ ∣ 2 1 sin θ e − i ϕ ∣ ∣ 2 = 2 1 sin 2 θ Apartat B Ara hem de calcular
P ( n − n − ) P(n_-n_-) P ( n − n − ) , seguirem el mateix procediment.
∣ n − ⟩ ⊗ ∣ n − ⟩ = ( − sin θ 2 e − i ϕ cos θ 2 ) ⊗ ( − sin θ 2 e − i ϕ cos θ 2 ) = ( sin 2 θ 2 e − 2 i ϕ − sin θ 2 cos θ 2 e − i ϕ − sin θ 2 cos θ 2 e − i ϕ cos 2 θ 2 ) \small
\ket{n_-}\otimes \ket{n_-}
=
\begin{pmatrix}
-\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
\\[0.5em]
\cos\frac{\theta}{2}
\end{pmatrix}
\otimes
\begin{pmatrix}
-\sin\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
\\[0.5em]
\cos\frac{\theta}{2}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sin^2\frac{\theta}{2}e^{-2i\phi}
\\[0.5em]
-\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
\\[0.5em]
-\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}
\\[0.5em]
\cos^2\frac{\theta}{2}
\end{pmatrix} ∣ n − ⟩ ⊗ ∣ n − ⟩ = ( − sin 2 θ e − i ϕ cos 2 θ ) ⊗ ( − sin 2 θ e − i ϕ cos 2 θ ) = ⎝ ⎛ sin 2 2 θ e − 2 i ϕ − sin 2 θ cos 2 θ e − i ϕ − sin 2 θ cos 2 θ e − i ϕ cos 2 2 θ ⎠ ⎞ El bra-ket que busquem serà
⟨ n − n − ∣ ψ ⟩ = ( sin 2 θ 2 e 2 i ϕ − sin θ 2 cos θ 2 e i ϕ − sin θ 2 cos θ 2 e i ϕ cos 2 θ 2 ) 1 2 ( 0 1 1 0 ) = = 1 2 [ − sin θ 2 cos θ 2 e i ϕ − sin θ 2 cos θ 2 e i ϕ ] = − 1 2 sin θ e i ϕ \braket{n_-n_-|\psi}=
\footnotesize
\begin{pmatrix}
\sin^2\frac{\theta}{2}e^{2i\phi}
&
-\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
&
-\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
&
\cos^2\frac{\theta}{2}
\end{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
0\\1\\1\\0
\end{pmatrix}
=
\\
=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\left[
-\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
-
\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}e^{i\phi}
\right]=-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta e^{i\phi} ⟨ n − n − ∣ ψ ⟩ = ( sin 2 2 θ e 2 i ϕ − sin 2 θ cos 2 θ e i ϕ − sin 2 θ cos 2 θ e i ϕ cos 2 2 θ ) 2 1 ⎝ ⎛ 0 1 1 0 ⎠ ⎞ = = 2 1 [ − sin 2 θ cos 2 θ e i ϕ − sin 2 θ cos 2 θ e i ϕ ] = − 2 1 sin θ e i ϕ I la probabilitat
P ( n − n − ) = ∣ ⟨ n − n − ∣ ψ ⟩ ∣ 2 = ∣ − 1 2 sin θ e i ϕ ∣ 2 = 1 2 sin 2 θ \newcommand{\alquadrat}[1]{
|\hspace{-2pt}#1\hspace{-2pt}|^2
}
\colorbox{00d000}{$\displaystyle
P(n_-n_-)$}=\alquadrat{\braket{n_-n_-|\psi}}=\left|
-\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta e^{i\phi}
\right|^2=
\colorbox{00d000}{$\displaystyle
\frac{1}{2}\sin^2\theta
$} P ( n − n − ) = ∣ ⟨ n − n − ∣ ψ ⟩ ∣ 2 = ∣ ∣ − 2 1 sin θ e i ϕ ∣ ∣ 2 = 2 1 sin 2 θ Apartat C Ens demanen
⟨ S n ⟩ \langle S_n\rangle ⟨ S n ⟩ , on
S n S_n S n és l’observable spin del sistema corresponent a la mesura d’un Stern-Gerlach en l’eix
n n n .
Camí 1
Recordem que
S S S sols pot donar com a valors propis
s = − ℏ s=-\hbar s = − ℏ ,
s = 0 s=0 s = 0 o
s = ℏ s=\hbar s = ℏ . Aquest spin total es correspon a la suma de spins individuals
s = s 1 + s 2 s=s_1+s_2 s = s 1 + s 2 prenent els quatre casos possibles, és a dir amb
s 1 = ± ℏ 2 s_1=\pm\frac{\hbar}{2} s 1 = ± 2 ℏ i
s 2 = ± ℏ 2 s_2=\pm\frac{\hbar}{2} s 2 = ± 2 ℏ .
Com hem vist la teoria, al calcular el valor esperat d’una matriu spin, sempre ens queda la mitjana ponderada dels seus valors propis amb la probabilitat de cadascun.
I on les probabilitats són el mòdul de les components al quadrat de l’estat en aquella base. Que per la base
{ n } \small\{n\} { n } són:
P ( ↑ n ↑ n ) = ∣ ⟨ n + n + ∣ ψ ⟩ ∣ 2 = 1 2 sin 2 θ P ( ↑ n ↓ n ) = ∣ ⟨ n + n − ∣ ψ ⟩ ∣ 2 P ( ↓ n ↑ n ) = ∣ ⟨ n − n + ∣ ψ ⟩ ∣ 2 P ( ↓ n ↓ n ) = ∣ ⟨ n − n − ∣ ψ ⟩ ∣ 2 = 1 2 sin 2 θ \newcommand{\alquadrat}[1]{
|\hspace{-2pt}#1\hspace{-2pt}|^2
}
P(\uparrow_n\uparrow_n)=\alquadrat{\braket{n_+n_+|\psi}}=\textstyle\frac{1}{2} \sin^2\theta
\\[1em]
P(\uparrow_n\downarrow_n)=\alquadrat{\braket{n_+n_-|\psi}}
\\[1em]
P(\downarrow_n\uparrow_n)=\alquadrat{\braket{n_-n_+|\psi}}
\\[1em]
P(\downarrow_n\downarrow_n)=\alquadrat{\braket{n_-n_-|\psi}}=\textstyle\frac{1}{2} \sin^2\theta P ( ↑ n ↑ n ) = ∣ ⟨ n + n + ∣ ψ ⟩ ∣ 2 = 2 1 sin 2 θ P ( ↑ n ↓ n ) = ∣ ⟨ n + n − ∣ ψ ⟩ ∣ 2 P ( ↓ n ↑ n ) = ∣ ⟨ n − n + ∣ ψ ⟩ ∣ 2 P ( ↓ n ↓ n ) = ∣ ⟨ n − n − ∣ ψ ⟩ ∣ 2 = 2 1 sin 2 θ Com veiem dues ja les havíem calculat als apartats anteriors. I a més, estem de sort, ja que el valor esperat de les que hauríem de calcular és
s = 0 s=0 s = 0 (zero!), de manera que no cal ni que les calculem.
⟨ S n ⟩ = P ( ↑ n ↑ n ) ⋅ ℏ + P ( ↑ n ↓ n ) ⋅ 0 ℏ a b + P ( ↓ n ↑ n ) ⋅ 0 ℏ a b + P ( ↓ n ↓ n ) ⋅ ( − ℏ ) = = ℏ 1 2 sin θ + ( − ℏ 1 2 sin θ ) = 0 \colorbox{00d000}{$\langle S_n\rangle$}
=
P(\uparrow_n\uparrow_n)\cdot\hbar
+
\cancel{P(\uparrow_n\downarrow_n)\cdot0\hbar \vphantom{\frac{a}{b}}}
+
\cancel{P(\downarrow_n\uparrow_n)\cdot0\hbar \vphantom{\frac{a}{b}}}+
P(\downarrow_n\downarrow_n)\cdot(-\hbar)=\\[1em]
=\hbar\frac{1}{2}\sin\theta+(-\hbar \frac{1}{2}\sin\theta)=\colorbox{00d000}{$0$} ⟨ S n ⟩ = P ( ↑ n ↑ n ) ⋅ ℏ + P ( ↑ n ↓ n ) ⋅ 0ℏ b a + P ( ↓ n ↑ n ) ⋅ 0ℏ b a + P ( ↓ n ↓ n ) ⋅ ( − ℏ ) = = ℏ 2 1 sin θ + ( − ℏ 2 1 sin θ ) = 0 Camí 2
També ho podríem haver fet calculant
S n S_n S n explícitament en forma matricial i fent el
bra-ket .
Procés Anem a fer el bra-ket de manera explícita
Recordem que
S = S ( 1 ) ⊗ I + I ⊗ S ( 2 ) S=S^{(1)}\otimes \mathbb{I}+\mathbb{I}\otimes S^{(2)} S = S ( 1 ) ⊗ I + I ⊗ S ( 2 ) I que en l’eix
n ^ \hat{n} n ^ la matriu de spin d’una sola partícula era
S n ( 1 ) = ℏ 2 σ n = ℏ 2 ( cos θ sin θ e − i ϕ sin θ e i ϕ − cos θ ) S_n^{(1)}=\frac{\hbar}{2}\sigma_n=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta e^{-i\phi}\\
\sin\theta e^{i\phi}&-\cos\theta
\end{pmatrix} S n ( 1 ) = 2 ℏ σ n = 2 ℏ ( cos θ sin θ e i ϕ sin θ e − i ϕ − cos θ ) Així doncs podem calcular la matriu
S n S_n S n del sistema.
S n = ℏ 2 ( cos θ sin θ e − i ϕ sin θ e i ϕ − cos θ ) ⊗ ( 1 0 0 1 ) + ( 1 0 0 1 ) ⊗ ℏ 2 ( cos θ sin θ e − i ϕ sin θ e i ϕ − cos θ ) = = ℏ 2 ( cos θ 0 0 0 0 cos θ 0 0 0 0 − cos θ 0 0 0 0 − cos θ ) + ℏ 2 ( cos θ sin θ e − i ϕ 0 0 sin θ e i ϕ − cos θ 0 0 0 0 cos θ sin θ e − i ϕ 0 0 sin θ e i ϕ − cos θ ) = = ℏ 2 ( 2 cos θ sin θ e − i ϕ 0 0 sin θ e i ϕ 0 0 0 0 0 0 sin θ e − i ϕ 0 0 sin θ e i ϕ − 2 cos θ ) \footnotesize
S_n=\frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta e^{-i\phi}\\
\sin\theta e^{i\phi}&-\cos\theta
\end{pmatrix}\otimes
\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
1&0\\0&1
\end{pmatrix}\otimes
\frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta e^{-i\phi}\\
\sin\theta e^{i\phi}&-\cos\theta
\end{pmatrix}=\\[1em]=
\frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
\cos\theta&0&0&0\\
0&\cos\theta&0&0\\
0&0&-\cos\theta&0\\
0&0&0&-\cos\theta
\end{pmatrix}+
\frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta e^{-i\phi}&0&0\\
\sin\theta e^{i\phi}&-\cos\theta&0&0\\
0&0&\cos\theta&\sin\theta e^{-i\phi}\\
0&0&\sin\theta e^{i\phi}&-\cos\theta
\end{pmatrix}=\\[1em]
=
\frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
2\cos\theta&\sin\theta e^{-i\phi}&0&0\\
\sin\theta e^{i\phi}&0&0&0\\
0&0&0&\sin\theta e^{-i\phi}\\
0&0&\sin\theta e^{i\phi}&-2\cos\theta
\end{pmatrix} S n = 2 ℏ ( cos θ sin θ e i ϕ sin θ e − i ϕ − cos θ ) ⊗ ( 1 0 0 1 ) + ( 1 0 0 1 ) ⊗ 2 ℏ ( cos θ sin θ e i ϕ sin θ e − i ϕ − cos θ ) = = 2 ℏ ⎝ ⎛ cos θ 0 0 0 0 cos θ 0 0 0 0 − cos θ 0 0 0 0 − cos θ ⎠ ⎞ + 2 ℏ ⎝ ⎛ cos θ sin θ e i ϕ 0 0 sin θ e − i ϕ − cos θ 0 0 0 0 cos θ sin θ e i ϕ 0 0 sin θ e − i ϕ − cos θ ⎠ ⎞ = = 2 ℏ ⎝ ⎛ 2 cos θ sin θ e i ϕ 0 0 sin θ e − i ϕ 0 0 0 0 0 0 sin θ e i ϕ 0 0 sin θ e − i ϕ − 2 cos θ ⎠ ⎞ Tot això expressat en la base
{ z } \small\{z\} { z } .
El valor esperat el calcularem fent
⟨ S n ⟩ = ⟨ ψ ∣ S n ∣ ψ ⟩ { z } = ⟨ ψ ∣ { z } S n { z } ∣ ψ ⟩ { z } \braket{S_n}=\braket{\psi|S_n|\psi}_{\{z\}}=\bra{\psi}_{\{z\}}{S_n}_{\{z\}}
\ket{\psi}_{\{z\}} ⟨ S n ⟩ = ⟨ ψ ∣ S n ∣ ψ ⟩ { z } = ⟨ ψ ∣ { z } S n { z } ∣ ψ ⟩ { z } Nota sobre bases i bra-kets Els bra-kets són invariants en bases unitàriament semblants, és a dir ⟨ ψ ∣ { n } O { n } ∣ ψ ⟩ { n } = ⟨ ψ ∣ { z } O { z } ∣ ψ ⟩ { z } \bra{\psi}_{\{n\}}~O_{\{n\}}
~\ket{\psi}_{\{n\}}
=
\bra{\psi}_{\{z\}}~O_{\{z\}}
~\ket{\psi}_{\{z\}} ⟨ ψ ∣ { n } O { n } ∣ ψ ⟩ { n } = ⟨ ψ ∣ { z } O { z } ∣ ψ ⟩ { z } S n S_n S n S z S_z S z { n } \small\{n\} { n } S n { z } = S z { n } {S_n}_{\{z\}}={S_z}_{\{n\}} S n { z } = S z { n } Expressions per si cal clarificar Per si de cas algú ho necessita, aquí els valors dels diferents observables en les diferents bases.
S n { z } = S z { n } = ℏ 2 ( 2 cos θ sin θ e − i ϕ 0 0 sin θ e i ϕ 0 0 0 0 0 0 sin θ e − i ϕ 0 0 sin θ e i ϕ − 2 cos θ ) {S_n}_{\{z\}}={S_z}_{\{n\}}=\small
\frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
2\cos\theta&\sin\theta e^{-i\phi}&0&0\\
\sin\theta e^{i\phi}&0&0&0\\
0&0&0&\sin\theta e^{-i\phi}\\
0&0&\sin\theta e^{i\phi}&-2\cos\theta
\end{pmatrix} S n { z } = S z { n } = 2 ℏ ⎝ ⎛ 2 cos θ sin θ e i ϕ 0 0 sin θ e − i ϕ 0 0 0 0 0 0 sin θ e i ϕ 0 0 sin θ e − i ϕ − 2 cos θ ⎠ ⎞ S z { z } = S n { n } = ( ℏ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − ℏ ) {S_z}_{\{z\}}={S_n}_{\{n\}}=\small
\begin{pmatrix}
\hbar&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&0\\
0&0&0&-\hbar
\end{pmatrix} S z { z } = S n { n } = ⎝ ⎛ ℏ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − ℏ ⎠ ⎞ ∣ ψ ⟩ { z } = 1 2 ( 0 1 1 0 ) ∣ ψ ⟩ { n } = 1 2 ( sin θ e − i ϕ cos θ cos θ − sin θ ) \ket{\psi}_{\{z\}}=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
0\\1\\1\\0
\end{pmatrix}
\qquad\qquad
\ket{\psi}_{\{n\}}=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
\sin\theta e^{-i\phi}\\\cos\theta\\\cos\theta\\-\sin\theta
\end{pmatrix} ∣ ψ ⟩ { z } = 2 1 ⎝ ⎛ 0 1 1 0 ⎠ ⎞ ∣ ψ ⟩ { n } = 2 1 ⎝ ⎛ sin θ e − i ϕ cos θ cos θ − sin θ ⎠ ⎞ Que matricialment és
⟨ S n ⟩ = 1 2 ( 0 1 1 0 ) ℏ 2 ( 2 cos θ sin θ e − i ϕ 0 0 sin θ e i ϕ 0 0 0 0 0 0 sin θ e − i ϕ 0 0 sin θ e i ϕ − 2 cos θ ) 1 2 ( 0 1 1 0 ) = = ℏ 4 ( 0 1 1 0 ) ( sin θ e − i ϕ 0 0 sin θ e i ϕ ) = 0 \footnotesize
\colorbox{00d000}{$
\langle S_n\rangle$}=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
0&1&1&0
\end{pmatrix}
\frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
2\cos\theta&\sin\theta e^{-i\phi}&0&0\\
\sin\theta e^{i\phi}&0&0&0\\
0&0&0&\sin\theta e^{-i\phi}\\
0&0&\sin\theta e^{i\phi}&-2\cos\theta
\end{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
0\\1\\1\\0
\end{pmatrix}
=\\[1em]
=\frac{\hbar}{4}
\begin{pmatrix}
0&1&1&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\sin\theta e^{-i\phi}\\0\\0\\\sin\theta e^{i\phi}
\end{pmatrix}=
\colorbox{00d000}{$0$} ⟨ S n ⟩ = 2 1 ( 0 1 1 0 ) 2 ℏ ⎝ ⎛ 2 cos θ sin θ e i ϕ 0 0 sin θ e − i ϕ 0 0 0 0 0 0 sin θ e i ϕ 0 0 sin θ e − i ϕ − 2 cos θ ⎠ ⎞ 2 1 ⎝ ⎛ 0 1 1 0 ⎠ ⎞ = = 4 ℏ ( 0 1 1 0 ) ⎝ ⎛ sin θ e − i ϕ 0 0 sin θ e i ϕ ⎠ ⎞ = 0 Nota del redactor: en la solució “alternativa” oficial el producte també dona zero però el ket S n ∣ ψ ⟩ S_n\ket{\psi} S n ∣ ψ ⟩ dona diferent. No aconsegueixo veure d’on surt el seu ket, així que suposaré que s’han equivocat. Si algú creu que efectivament la solució oficial és la correcta i troba l’error que deixi un comentari. Solució oficial Apartat D Si abans teníem
“Suma" ⟹ S n ( 1 ) ⊗ I + I ⊗ S n ( 2 ) s = s 1 + s 2 \text{``Suma"}
\quad
\implies
\quad
\begin{aligned}
S_n^{(1)}\otimes \mathbb{I}
+ \mathbb{I}\otimes S_n^{(2)}
\\[1em]
s=s_1+s_2\hspace{1.5em}
\end{aligned} “Suma" ⟹ S n ( 1 ) ⊗ I + I ⊗ S n ( 2 ) s = s 1 + s 2 Ara tenim
“Producte" ⟹ S n ( 1 ) ⊗ S n ( 2 ) s = s 1 s 2 \text{``Producte"}
\quad
\implies
\quad
\begin{aligned}
S_n^{(1)}\otimes S_n^{(2)}
\\[1em]
s=s_1s_2 \hspace{5pt}
\end{aligned}
\qquad\qquad “Producte" ⟹ S n ( 1 ) ⊗ S n ( 2 ) s = s 1 s 2 Per què? Tenim que
S n ( 1 ) ⋅ S n ( 2 ) = ( S n ⊗ I ) ⋅ ( I ⊗ S n ) = S n ⊗ S n S_n^{(1)}\cdot S_n^{(2)}=(S_n\otimes \mathbb{I})\cdot(\mathbb{I}\otimes S_n)=S_n\otimes S_n S n ( 1 ) ⋅ S n ( 2 ) = ( S n ⊗ I ) ⋅ ( I ⊗ S n ) = S n ⊗ S n Ja que al distribuir el producte tensorial, es fa de manera que cada operador actua només en el seu subespai
( A ⊗ B ) ( C ⊗ D ) = ( A C ) ⊗ ( B D ) (A\otimes B)(C\otimes D)=(AC)\otimes (BD) ( A ⊗ B ) ( C ⊗ D ) = ( A C ) ⊗ ( B D ) El valor esperat serà també (en el discret sempre és així), la mitjana ponderada dels valors propis possibles, cadascun amb la seva probabilitat associada.
És a dir que
s ( ↑ ↑ ) = ℏ 2 ⋅ ℏ 2 = ℏ 2 4 P ( ↑ n ↑ n ) = 1 2 sin 2 θ s(\uparrow\uparrow)=\frac{\hbar}{2}\cdot\frac{\hbar}{2}=\frac{\hbar^2}{4}
\qquad\qquad
P(\uparrow_n\uparrow_n)=\frac{1}{2}\sin^2\theta s ( ↑↑ ) = 2 ℏ ⋅ 2 ℏ = 4 ℏ 2 P ( ↑ n ↑ n ) = 2 1 sin 2 θ s ( ↑ ↓ ) = ℏ 2 ⋅ − ℏ 2 = − ℏ 2 4 P ( ↑ n ↓ n ) = ? s(\uparrow\downarrow)=\frac{\hbar}{2}\cdot\frac{-\hbar}{2}=-\frac{\hbar^2}{4}
\qquad\qquad
P(\uparrow_n\downarrow_n)=~? s ( ↑↓ ) = 2 ℏ ⋅ 2 − ℏ = − 4 ℏ 2 P ( ↑ n ↓ n ) = ? s ( ↓ ↑ ) = − ℏ 2 ⋅ ℏ 2 = − ℏ 2 4 P ( ↓ n ↑ n ) = ? s(\downarrow\uparrow)=\frac{-\hbar}{2}\cdot\frac{\hbar}{2}=-\frac{\hbar^2}{4}
\qquad\qquad
P(\downarrow_n\uparrow_n)=~? s ( ↓↑ ) = 2 − ℏ ⋅ 2 ℏ = − 4 ℏ 2 P ( ↓ n ↑ n ) = ? s ( ↓ ↓ ) = ℏ 2 ⋅ ℏ 2 = ℏ 2 4 P ( ↓ n ↓ n ) = 1 2 sin 2 θ s(\downarrow\downarrow)=\frac{\hbar}{2}\cdot\frac{\hbar}{2}=\frac{\hbar^2}{4}
\qquad\qquad
P(\downarrow_n\downarrow_n)=\frac{1}{2}\sin^2\theta s ( ↓↓ ) = 2 ℏ ⋅ 2 ℏ = 4 ℏ 2 P ( ↓ n ↓ n ) = 2 1 sin 2 θ Abans no ens calia calcular aquests probabilitats perquè el seu valor esperat era zero, ara a priori pensaríem que ja no tenim aquesta sort.
⟨ S n ( 1 ) ⊗ S n ( 2 ) ⟩ = ℏ 2 4 1 2 sin 2 θ + − ℏ 2 4 P ( ↑ n ↓ n ) + − ℏ 2 4 P ( ↓ n ↑ n ) + ℏ 2 4 1 2 sin 2 θ = = ℏ 2 4 [ sin 2 θ − [ P ( ↑ n ↓ n ) + P ( ↓ n ↑ n ) ] ] \small
\langle S_n^{(1)}\otimes S_n^{(2)}\rangle
=
\frac{\hbar^2}{4}\frac{1}{2}\sin^2\theta
+\frac{-\hbar^2}{4}P(\uparrow_n\downarrow_n)
+
\frac{-\hbar^2}{4}P(\downarrow_n\uparrow_n)
+
\frac{\hbar^2}{4}\frac{1}{2}\sin^2\theta
=\\[1em]
=
\frac{\hbar^2}{4}\bigg[\sin^2\theta
-\big[P(\uparrow_n\downarrow_n)+P(\downarrow_n\uparrow_n)
\big]
\bigg] ⟨ S n ( 1 ) ⊗ S n ( 2 ) ⟩ = 4 ℏ 2 2 1 sin 2 θ + 4 − ℏ 2 P ( ↑ n ↓ n ) + 4 − ℏ 2 P ( ↓ n ↑ n ) + 4 ℏ 2 2 1 sin 2 θ = = 4 ℏ 2 [ sin 2 θ − [ P ( ↑ n ↓ n ) + P ( ↓ n ↑ n ) ] ] Tot i així, si tenim un moment de clarividència, veure que realment tampoc cal que les calculem.
El fet clau està en que la probabilitat està normalitzada (les quatre sumades donen
1 1 1 ), de manera que
P ( ↑ n ↓ n ) + P ( ↓ n ↑ n ) = 1 − P ( ↑ n ↑ n ) − P ( ↓ n ↓ n ) = 1 − sin 2 θ = cos 2 θ P(\uparrow_n\downarrow_n)+P(\downarrow_n\uparrow_n)=1-P(\uparrow_n\uparrow_n)-P(\downarrow_n\downarrow_n)
=1-\sin^2\theta=\cos^2\theta P ( ↑ n ↓ n ) + P ( ↓ n ↑ n ) = 1 − P ( ↑ n ↑ n ) − P ( ↓ n ↓ n ) = 1 − sin 2 θ = cos 2 θ I per tant
⟨ S n ( 1 ) ⊗ S n ( 2 ) ⟩ = ℏ 2 4 [ sin 2 θ − cos 2 θ ] = − ℏ 2 4 cos ( 2 θ ) \colorbox{00d000}{$\langle S_n^{(1)}\otimes S_n^{(2)}\rangle$}
=\frac{\hbar^2}{4}\bigg[\sin^2\theta
-\cos^2\theta
\bigg]=
\colorbox{00d000}{$\displaystyle
-\frac{\hbar^2}{4}\cos(2\theta)$} ⟨ S n ( 1 ) ⊗ S n ( 2 ) ⟩ = 4 ℏ 2 [ sin 2 θ − cos 2 θ ] = − 4 ℏ 2 cos ( 2 θ ) On hem utilitzat la
identitat trigonomètrica cos 2 θ − sin 2 θ = cos ( 2 θ ) \small\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos(2\theta) cos 2 θ − sin 2 θ = cos ( 2 θ ) .
També ho podríem haver calculat explícitament de manera matricial (camí alternatiu).
Camí alternatiu Fa bastanta mandra però també és una opció…
1) Calculem S n ( 1 ) ⊗ S n ( 2 ) S_n^{(1)}\otimes S_n^{(2)} S n ( 1 ) ⊗ S n ( 2 ) de manera explícita S n ( 1 ) ⊗ S n ( 2 ) = ℏ 2 ( cos θ sin θ e − i ϕ sin θ e i ϕ − cos θ ) ⊗ ℏ 2 ( cos θ sin θ e − i ϕ sin θ e i ϕ − cos θ ) = = ℏ 2 4 ( cos 2 θ cos θ sin θ e − i ϕ cos θ sin θ e − i ϕ sin 2 θ e − 2 i ϕ cos θ sin θ e i ϕ − cos 2 θ sin 2 θ − cos θ sin θ e − i ϕ cos θ sin θ e i ϕ sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ e − i ϕ sin 2 θ e 2 i ϕ − cos θ sin θ e i ϕ − cos θ sin θ e i ϕ cos 2 θ ) \small
S_n^{(1)}\otimes S_n^{(2)}
=\frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta e^{-i\phi}\\
\sin\theta e^{i\phi}&-\cos\theta
\end{pmatrix}\otimes
\frac{\hbar}{2}
\begin{pmatrix}
\cos\theta&\sin\theta e^{-i\phi}\\
\sin\theta e^{i\phi}&-\cos\theta
\end{pmatrix}=
\\[1em]
=
\frac{\hbar^2}{4}
\begin{pmatrix}
\cos^2\theta
&
\cos\theta\sin\theta e^{-i\phi}
&
\cos\theta\sin\theta e^{-i\phi}
&
\sin^2\theta e^{-2i\phi}
\\ %%%%%%%%%%%%%%
\cos\theta\sin\theta e^{i\phi}
&
-\cos^2\theta
&
\sin^2\theta
&
-\cos\theta\sin\theta e^{-i\phi}
\\ %%%%%%%%%%%%%%
\cos\theta\sin\theta e^{i\phi}
&
\sin^2\theta
&
-\cos^2\theta
&
-\cos\theta\sin\theta e^{-i\phi}
\\ %%%%%%%%%%%%%%%
\sin^2\theta e^{2i\phi}
&
-\cos\theta\sin\theta e^{i\phi}
&
-\cos\theta\sin\theta e^{i\phi}
&
\cos^2\theta
\end{pmatrix}
S n ( 1 ) ⊗ S n ( 2 ) = 2 ℏ ( cos θ sin θ e i ϕ sin θ e − i ϕ − cos θ ) ⊗ 2 ℏ ( cos θ sin θ e i ϕ sin θ e − i ϕ − cos θ ) = = 4 ℏ 2 ⎝ ⎛ cos 2 θ cos θ sin θ e i ϕ cos θ sin θ e i ϕ sin 2 θ e 2 i ϕ cos θ sin θ e − i ϕ − cos 2 θ sin 2 θ − cos θ sin θ e i ϕ cos θ sin θ e − i ϕ sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ e i ϕ sin 2 θ e − 2 i ϕ − cos θ sin θ e − i ϕ − cos θ sin θ e − i ϕ cos 2 θ ⎠ ⎞ 2) L’apliquem al ket estat
ℏ 2 4 ( cos 2 θ cos θ sin θ e − i ϕ cos θ sin θ e − i ϕ sin 2 θ e − 2 i ϕ cos θ sin θ e i ϕ − cos 2 θ sin 2 θ − cos θ sin θ e − i ϕ cos θ sin θ e i ϕ sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ e − i ϕ sin 2 θ e 2 i ϕ − cos θ sin θ e i ϕ − cos θ sin θ e i ϕ cos 2 θ ) 1 2 ( 0 1 1 0 ) = = ℏ 2 4 1 2 ( 2 cos θ sin θ e − i ϕ sin 2 θ − cos 2 θ sin 2 θ − cos 2 θ − 2 cos θ sin θ e i ϕ ) \footnotesize
\frac{\hbar^2}{4}
\begin{pmatrix}
\cos^2\theta
&
\cos\theta\sin\theta e^{-i\phi}
&
\cos\theta\sin\theta e^{-i\phi}
&
\sin^2\theta e^{-2i\phi}
\\ %%%%%%%%%%%%%%
\cos\theta\sin\theta e^{i\phi}
&
-\cos^2\theta
&
\sin^2\theta
&
-\cos\theta\sin\theta e^{-i\phi}
\\ %%%%%%%%%%%%%%
\cos\theta\sin\theta e^{i\phi}
&
\sin^2\theta
&
-\cos^2\theta
&
-\cos\theta\sin\theta e^{-i\phi}
\\ %%%%%%%%%%%%%%%
\sin^2\theta e^{2i\phi}
&
-\cos\theta\sin\theta e^{i\phi}
&
-\cos\theta\sin\theta e^{i\phi}
&
\cos^2\theta
\end{pmatrix}
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
0\\1\\1\\0
\end{pmatrix}=
\\[1em]
=
\frac{\hbar^2}{4}\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
2\cos\theta\sin\theta e^{-i\phi}
\\
\sin^2\theta-\cos^2\theta
\\
\sin^2\theta-\cos^2\theta
\\
-2\cos\theta\sin\theta e^{i\phi}
\end{pmatrix} 4 ℏ 2 ⎝ ⎛ cos 2 θ cos θ sin θ e i ϕ cos θ sin θ e i ϕ sin 2 θ e 2 i ϕ cos θ sin θ e − i ϕ − cos 2 θ sin 2 θ − cos θ sin θ e i ϕ cos θ sin θ e − i ϕ sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ e i ϕ sin 2 θ e − 2 i ϕ − cos θ sin θ e − i ϕ − cos θ sin θ e − i ϕ cos 2 θ ⎠ ⎞ 2 1 ⎝ ⎛ 0 1 1 0 ⎠ ⎞ = = 4 ℏ 2 2 1 ⎝ ⎛ 2 cos θ sin θ e − i ϕ sin 2 θ − cos 2 θ sin 2 θ − cos 2 θ − 2 cos θ sin θ e i ϕ ⎠ ⎞ 3) Calculem el bra-ket
⟨ S n ( 1 ) ⊗ S n ( 2 ) ⟩ = 1 2 ( 0 1 1 0 ) ℏ 2 4 1 2 ( 2 cos θ sin θ e − i ϕ sin 2 θ − cos 2 θ sin 2 θ − cos 2 θ − 2 cos θ sin θ e i ϕ ) = = ℏ 2 4 1 2 ( sin 2 θ − cos 2 θ + sin 2 θ − cos 2 θ ) = ℏ 4 4 ( sin 2 θ − cos 2 θ ) = − ℏ 4 4 cos ( 2 θ ) \small
\colorbox{00d000}{$
\langle S^{(1)}_n\otimes S^{(2)}_n\rangle$}=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
0&1&1&0
\end{pmatrix}
\frac{\hbar^2}{4}\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{pmatrix}
2\cos\theta\sin\theta e^{-i\phi}
\\
\sin^2\theta-\cos^2\theta
\\
\sin^2\theta-\cos^2\theta
\\
-2\cos\theta\sin\theta e^{i\phi}
\end{pmatrix}=\\[1em]=
\frac{\hbar^2}{4}\frac{1}{2}\big(\sin^2\theta-\cos^2\theta+\sin^2\theta-\cos^2\theta)=\frac{\hbar^4}{4}\big(\sin^2\theta-\cos^2\theta\big)=
\colorbox{00d000}{$\displaystyle
-\frac{\hbar^4}{4}\cos(2\theta)$} ⟨ S n ( 1 ) ⊗ S n ( 2 ) ⟩ = 2 1 ( 0 1 1 0 ) 4 ℏ 2 2 1 ⎝ ⎛ 2 cos θ sin θ e − i ϕ sin 2 θ − cos 2 θ sin 2 θ − cos 2 θ − 2 cos θ sin θ e i ϕ ⎠ ⎞ = = 4 ℏ 2 2 1 ( sin 2 θ − cos 2 θ + sin 2 θ − cos 2 θ ) = 4 ℏ 4 ( sin 2 θ − cos 2 θ ) = − 4 ℏ 4 cos ( 2 θ ) On hem utilitzat la mateixa
identitat trigonomètrica cos 2 θ − sin 2 θ = cos ( 2 θ ) \small\cos^2\theta-\sin^2\theta=\cos(2\theta) cos 2 θ − sin 2 θ = cos ( 2 θ ) , i veiem que efectivament obtenim el mateix resultat.
