On, evidentment l’estat està normalitzat, és a dir
En l’eix
Recordem que per una partícula sola (amb spin up o down en l’eix ) teníem
Aquestes expressions matricials són en la base .
Així doncs, si volguéssim expressar l’estat del nostre sistema en la base (perquè ara la mesura del Stern-Gerlach la farem en l’eix ), hauríem de saber expressar els elements d’una base en funció dels de l’altra
Pel cas general això es pot fer bastant feixuc
Aviam
Els elements de la base en funció dels de la seria
I els elements de la base en funció dels de la fa encara més mandra de calcular.
Ho podríem fer si volguéssim sabent que
Però no cal, ara veurem perquè.
Per sort no ens caldrà, ja que ens demanen simplement probabilitats, que es calculen amb bra-kets i són independents de la base. A més, tal com diu l’enunciat, no estem en el cas general, i el nostre estat només té components no nul·les pels elements i .
Apartat A
El nostre estat és
Matricialment (en la base ) això és
O si volem també…
Ens demanen calcular la probabilitat de mesurar l’estat .
Com sabem això es fa així
Nosaltres farem el càlcul matricial d’aquest bra-ket en la base , però com sabem els bra-kets donen el mateix en qualsevol base, així que si volguéssim també podríem expressar l’estat en la base i després fixar-nos en la component de . No ho fem així perquè tardaríem bastant més.
Ara hem de calcular , seguirem el mateix procediment.
El bra-ket que busquem serà
I la probabilitat
Apartat C
Ens demanen , on és l’observable spin del sistema corresponent a la mesura d’un Stern-Gerlach en l’eix .
Camí 1
Recordem que sols pot donar com a valors propis , o . Aquest spin total es correspon a la suma de spins individuals prenent els quatre casos possibles, és a dir amb i .
Com hem vist la teoria, al calcular el valor esperat d’una matriu spin, sempre ens queda la mitjana ponderada dels seus valors propis amb la probabilitat de cadascun.
I on les probabilitats són el mòdul de les components al quadrat de l’estat en aquella base. Que per la base són:
Com veiem dues ja les havíem calculat als apartats anteriors. I a més, estem de sort, ja que el valor esperat de les que hauríem de calcular és (zero!), de manera que no cal ni que les calculem.
Camí 2
També ho podríem haver fet calculant explícitament en forma matricial i fent el bra-ket.
Procés
Anem a fer el bra-ket de manera explícita
Recordem que
I que en l’eix la matriu de spin d’una sola partícula era
Així doncs podem calcular la matriu del sistema.
Tot això expressat en la base .
El valor esperat el calcularem fent
Nota sobre bases i bra-kets
Els bra-kets són invariants en bases unitàriament semblants, és a dir
és en si mateix l’observable expressat en la base , és a dir
Expressions per si cal clarificar
Per si de cas algú ho necessita, aquí els valors dels diferents observables en les diferents bases.
Que matricialment és
Nota del redactor: en la solució “alternativa” oficial el producte també dona zero però el ket dona diferent. No aconsegueixo veure d’on surt el seu ket, així que suposaré que s’han equivocat. Si algú creu que efectivament la solució oficial és la correcta i troba l’error que deixi un comentari.
Solució oficial
Apartat D
Si abans teníem
Ara tenim
Per què?
Tenim que
Ja que al distribuir el producte tensorial, es fa de manera que cada operador actua només en el seu subespai
El valor esperat serà també (en el discret sempre és així), la mitjana ponderada dels valors propis possibles, cadascun amb la seva probabilitat associada.
És a dir que
Abans no ens calia calcular aquests probabilitats perquè el seu valor esperat era zero, ara a priori pensaríem que ja no tenim aquesta sort.
Tot i així, si tenim un moment de clarividència, veure que realment tampoc cal que les calculem.
El fet clau està en que la probabilitat està normalitzada (les quatre sumades donen ), de manera que
