2 aspectes. 1) Quantització de l’energia 2) Sistema diluit o poc diluit —> est. clàs o quant
Sistema diluït | Estadística clàssica
Sistema dens | Estadística quàntica | S’ha de tenir en compte la coherència | i la simetria de la funció d’ona
Coses bàsiques del formalisme
Hamiltonià
Base de funcions ortonormals
Es pot superposar a través de funcions ortonormals
que compleixen
Estat quàntic pur es pot expressar com un vector en la seva base
on
Valor esperat observable O
Sigui un conjunt de N rèpliques del sistema cada un en un estat i
Operador matriu densitat de probabilitat
Aleshores…
Teorema Liouville clàssic
Evolució temporal eq. Schrödinger
Per les amplituds…
Estem fent mecànica estadística en l’equilibri —> les probabilitat dels estats no han de canviar al llarg del temps —> commuta amb el Hamiltonià És equivalent a els corchetes de Poisson pel Ta Liouville clàssic però ara amb commutadors.
Evolució temporal
Que s’anomena equació de Liouville
Que és súper súper súper important (és el que et permet superposar una funcio d’ona en els seus estat estacionaris en què com lenergia no varia si que i tens les eigen value equations.
Estadística quàntica en l’equilibri
Súper important en l’equilibri no canvia la matriu densitat de probabilitat
I això implica que
És a dir que commuten, i per tant la densitat de probabilitat és una funció de H
Recordem que . Aleshores
Per la base que diagonalitza
Aplicat a la microcanònica quàntica.
Equiprobabilitat a priori implica
Equiprobabilitat a priori és la mateixa amplitud, però en quàntica tenim la fase —> aleshores i pot haver-hi una diferència de fase entre diferents estats del sistema (o còpies d’aquest). Però pots fer el promig de la diferència de fase)
On
Si estan distribuits aleatoriament, el promig d’un desfasament aleatori és zero.
Colectivitat canònica quàntica
Aleshores
I també
El paper de les probabilitats el juga la matriu densitat, la manera de construir les funcions de partició és el mateix.
Colectivitat macrocanònica quàntica
Operador número de partícules
On n_s és el número de partícules (0,1,2…)
I
que ens dona
I per tant el mateix que abans
Partícules idèntiques i condicions de simetria
Indistingibles cap observable que ens les distingeixi.
L’operador —> permuta les partícules i, j
si
és funció pròpia de H amb la mateix energia E
Degeneració de intercanvi
N! permutacions d’un estat amb la mateixa energia
Estats físicament admisibles són
- Simètrics (+) —>
- Antisimètrics (-) —>
Teorema de connexió spin-estadística
Això ve de Teoria de grups de la teoria quàntica de camps.
Les funcions d’ona de un sistema de partícules amb
- Spin sencer —> —> han de ser simètriques —> BOSONS —> Estadística de Bose-Einstein —> Fotó i Heli 4
- Spin semi-enter —> —> La funció d’ona ha de ser antisimètrica —> FERMIONS —> Estadística de Fermi-Dirac —> Electró i Heli 3
Estadística Quàntica
Fermions (-)
Que s’anomena determinant de nsq
Bosons (+)
Exemple: 2 partícules lliures en 2 estats
Partícules a, b
Estats mono particulars —>
Sistema de 2 partícules —>
Base de funcions pròpies
{
}
“Quan les partícules són indistingibles l’estratègia és tractar-les com si fóssin distingibles i al final dividir per N!” —> calcules la traza de i divideixen per N! per trobar la funció de partició
Possibilitats
ㅤ | Maxwell-Boltzmann (sense restriccions) |
Estats mono particulars | phi1 phi2 |
Estats del sistema | a b |
ㅤ | a b |
ㅤ | b a |
ㅤ | ab |
Maxwell-Boltzmann (clàssica)
Com que no hi ha restriccions hi ha 4 estats possibles
La funció de partició serà
1r terme del sumatori —>
Al final tot junt queda
“Per les estadístiques quàntiques les partícules són intrínsecament indistingibles”
Bose-Einstein (bosons)
És com si no tinguessin color o numero (les boletes)
ㅤ | Bose-Einstein |
Estats mono particulars | phi1 phi2 |
Estats del sistema | aa |
ㅤ | a a |
ㅤ | aa |
Funció d’ona simètrica
L’estadística clàssica és una aproximació en el món real (i bona en el límit clàssic) però que no descriu el comportament quàntic correctament. (Crec)
Estadística de Fermi-Dirac (fermions)
Funció d’ona antisimètrica+restricció del principi d’exclusió de Pauli
ㅤ | Bose-Einstein |
Estats mono particulars | phi1 phi2 |
Estats del sistema | a a |
Notar que
És a dir que són diferents.
Tot i així en totes
Resum dimecres 15/11 que vas faltar
Números d’ocupació —>
“La solució és anar-se a la macrocanònica”
Funció de partició:
On és l’energia i és el potencial químic
Bosons —> a=-1
Fermions —> a=0
Maxwell-Boltzmann (clàssica) —> a=0
Estadística de números d’ocupació
Valor mitjà:
Amb queda
Per Bosons (a=1)
Per fermions (a=1)
Per Maxwell-Boltzmann (a=0)
DIBUIXET DE LES 3 ESTADÍSTIQUES —> en funció de
Fixar-se que quan el número d’ocupació és molt menor Límit Clàssic.
Que no deixa de ser el concepte de si el sistema està diluït o no.
Fluctuacions en el número d’ocupació
Recordem de la macrocanònica que (crec que venia d’aquí)
i que per tant arribes a la relació
Resum Mecànica Estadística Quàntica
Al calcular la funció de partició sempre és la de 1 partícula, després ja farem (Z_1)^N. Si són indistingibles Z=(Z_1)^N/N! Si són indistingibles (quàntica).