Recursos útils
Introducció: Rotació de 90º
Tenim que la matriu real de rotació 2D per angle és
Que en el cas de tenim
Això en el pla real 2D (cartesià). Però com representem una rotació de 90º en el pla complex?
La resposta, si ho recordem, és que multipliquem pel nombre imaginari
Gràfic
Nombres complexes com a vectors en el pla o com a matrius de rotació
D’acord, i si tracem una relació entre vectors reals 2D i nombres complexes?
Aleshores veiem que en aquesta relació que hem traçat, un nombre complex pot representar un vector, però també pot servir per aplicar una rotació, és a dir pot representar una matriu
Podem traçar més relacions com per exemple
Veiem fàcilment que la relació genèrica és
I si el que volem és que la transformació sigui una rotació pura (que no escali els eixos) aquesta serà del tipus
En aquest sentit, diem que hi ha un isomorfisme entre nombres complexes d’aquest tipus, matrius de rotació reals i vectors unitaris 2D.
Quaternions i matrius de Pauli
No entrarem gens en detall. Per més informació
Quaternions.
Simplificant moltíssim, de la mateixa manera que els nombres complexes es poden representar amb un tipus de matrius reals 2D, els quaternions es poden representar amb un tipus de matrius complexes 2D.
I també té relació amb el vector de Pauli
Anem a veure què passa amb els quaternions unitaris
Aquestes matrius, són la base d’una àlgebra, l’àlgebra de Clifford conjugada, té per base les matrius de Pauli
Mirar això
