Matrius de rotació 2D - Nombres complexes | Matrius de Pauli

Recursos útils

https://vixra.org/pdf/1710.0198v1.pdf

Introducció: Rotació de 90º

Tenim que la matriu real de rotació 2D per angle

\theta

és

R_\theta=\begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}

Que en el cas de

\theta=\pi/2

tenim

R_{\frac{\pi}{2}}=\begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} b\\ -a \end{pmatrix}

Això en el pla real 2D (cartesià). Però com representem una rotació de 90º en el pla complex?

La resposta, si ho recordem, és que multipliquem pel nombre imaginari

i

(a+bi)\cdot i=ai-b

Gràfic

Nombres complexes com a vectors en el pla o com a matrius de rotació

D’acord, i si tracem una relació entre vectors reals 2D i nombres complexes?

a+bi\to\begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix} \qquad ai-b\to\begin{pmatrix} b\\ -a \end{pmatrix}

Aleshores veiem que en aquesta relació que hem traçat, un nombre complex pot representar un vector, però també pot servir per aplicar una rotació, és a dir pot representar una matriu

i\to\begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} \qquad i\sim\begin{pmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}

Podem traçar més relacions com per exemple

1\sim\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix} \qquad 1+i\sim\begin{pmatrix} 1&-1\\ 1&1 \end{pmatrix}

Veiem fàcilment que la relació genèrica és

\begin{pmatrix} a&-b\\ b&a \end{pmatrix}\sim a+bi\to\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}

I si el que volem és que la transformació sigui una rotació pura (que no escali els eixos) aquesta serà del tipus

a+bi=\cos\theta+i\sin\theta=e^{i\theta}\sim \begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\cos\theta\\ \sin\theta\end{pmatrix}

En aquest sentit, diem que hi ha un isomorfisme entre nombres complexes d’aquest tipus, matrius de rotació reals i vectors unitaris 2D.

Quaternions i matrius de Pauli

No entrarem gens en detall. Per més informació

Quaternions.

Simplificant moltíssim, de la mateixa manera que els nombres complexes es poden representar amb un tipus de matrius reals 2D, els quaternions es poden representar amb un tipus de matrius complexes 2D.