Vídeos útils playlist d’Algebra para todos
Espais vectorials
Com trobar la base d'un subespai vectorial:
Base d'un espai vectorial de matrius:
Determinant matriu 4x4:
Transformacions lineals
Nucli i imatge:
Trobar nucli i imatge d'una TL:
Trobar TL sabent nucli i imatge:
Matriu (A) associada a una Transformació Lineal:
Tipus de Transformacions Lineals:
Trobar matriu de TL en una base diferent a la canònica:
Concepte matriu canvi de base, saltable fins minut 6:56.
Exemple calcular matriu canvi de base:
Anar d'una matriu B a una B', passant per la canònica com a truc:
Transformació lineal en bases noves A' i B', relació amb diagonalització D = P^-1*A*P:
Representació matricial del canvi de base
Diagonalització ràpida
Vídeos sobre diagonalització
Diagonalitzar una matriu 2x2 en 5 minuts (minuts 2:30 - 6:40)
Diagonalitzar una matriu 3x3:
Entendre visualment la diagonalització, els valors propis i els vectors propis:
Exemple
Volem diagonalitzar , és a dir trobar , i tals que es compleixi
Polinomi Característic
Obtenint
Quan un autovalor apareix dues vegades diem que té multiplicitat algebraica 2. Formalment els autovalors serien
Aleshores la matriu diagonal, tindrà aquests autovalors a la seva diagonal. Els podem posar en qualsevol ordre (és a dir hi ha 3 versions de possibles), però després hem de posar els autovectors en amb el mateix ordre que hàgim triat.
Per trobar la matriu de canvi de base primer hem de calcular els autovectors corresponents a cada autovalor.
Opció 1
Opció 2
Obtenint que la base que compleix és
I per tant
Fent el mateix per l’altre autovector obtenim que la base que compleix és
És a dir que
Quedant la matriu de la següent forma
I si calculem la inversa a través dels adjunts (pico y pala) obtenim
Gram-Schmidt
Idea principal
Bàsicament es tracta d’agafar una base i ortonormalitzarla.
Referències externes
Links útils
Explicació del Procés
Idea clau: si volem dos vectors ortogonals hem d’aconseguir que el seu producte escalar doni zero.
Intuïció
Imaginem que tenim 2 vectors i en , i volem que siguin ortogonals.
“L’objectiu serà aconseguir uns i tals que ”.
Anem a provar una cosa com a experiment, anem a restar els dos vectors, però un l’escalem per la constant que dona el seu producte escalar.
Ara tenim que
Això ens dona una idea, si directament el vector estigués normalitzat (i amb ) tindríem que…
Eureka. Per ortonormalitzar dos vectors i podem fer doncs el següent procés.
Procés per 2 vectors
- Normalitzem un dels vectors
- Restem els dos vectors però escalem el normalitzat per la constant que dona el seu producte escalar.
- Normalitzem el segon vector
I si tenim 3 vectors?
Doncs realment és el mateix.
Fixem-nos que en el procés d’abans no hem escrit en cap moment explícitament les components dels vectors. És a dir que els nostres vectors i poden viure en com poden viure en o qualsevol i seguiran sent ortogonals entre ells.
Aleshores si tenim 3 vectors , i el primer pas serà fer ortogonals els dos primers, quedant-nos amb , i . I ara només hem d’aconseguir transformar en un que sigui ortogonal als altres dos.
Com ho podríem fer? Doncs amb el mateix truc que abans.
Anem a construir primer de tot un vector que sigui ortogonal a .
I ara anem a construir un altre vector diferent, que sigui ortogonal a .
La pregunta que ens hauríem de fer és, podem crear un vector que sigui ortogonal als dos restant simplement els dos termes? És a dir
I la resposta és que sí!
Per què? (Explicació)
Anem a pensar-ho de la següent forma:
Els 3 vectors, els podem expressar des de la base que vulguem. En general ho fem des de , però res ens impedeix fer-ho per exemple des de .
En aquesta base
Aleshores des d’aquesta base (que podríem pensar com un sistema de referència rotat), podem fixar-nos millor el que passa als vectors (objectes matemàtics independents de la base).
En aquesta base tenim que s’expressa formalment (amb els vectors base i no pas en forma matricial) tal que així
I per tant quan ens construïm el vector … ara sí, des d’aquesta base podem veure que clarament el que estem fent és restar-li les components en la direcció dels altres vectors.
No ens confonem amb la representació matricial tan xula que resulta, ni el vector està normalitzat, ni té aquestes components tan simples en la base . Però això ens ha servit per adonar-nos que fent aquest procés aconseguim que no tingui components en la direcció dels altres vectors.
Una altra manera de veure-ho, és que si enlloc de cancelar termes haguéssim factoritzat escrivint , veiem que aquesta és l’única manera d’aconseguir que la component, és a dir la projecció de sobre (és a dir ) sigui zero.
Per tant les dues restes són independents, I la conclusió lògica és que el nostre “truc” (restar al vector que volem normalitzar un vector unitari escalat per el producte escalar entre el vector unitari i el que volem normalitzar) funciona precisament perquè aquesta resta consisteix en treure-li al vector la component en la direcció del vector unitari del qual el volem fer ortogonal.
Molt bé, ja podem detallar el procés de construir una base ortonormal a partir de 3 vectors qualsevols linealment independents.
Procés de Gram-Schmidt detallat
- Normalitzem un primer vector
- Restem a un segon vector el primer vector normalitzat i escalat per la constant que dona el seu producte escalar.
- Normalitzem el segon vector
- Restem a un tercer vector els vectors unitaris resultants i escalats cada un d’ells per la constant que donen al fer el producte escalar amb el tercer vector.
- Normalitzem el tercer vector
- Si tinguéssim un 4t vector faríem i el normalitzaríem. I si en tinguéssim 5, el mateix…
Procés de Gram-Schmidt compacte
Generalització a vectors qualsevols
Fixem-nos que en cap moment hem expressat els vectors a partir de les seves components, és a dir no necessitem que els vectors siguin vectors euclidians (tuples de nombres reals), poden ser qualsevol cosa, vectors complexes, matrius quadrades, polinomis, funcions de quadrat sumable, derivades…
Mentre hi puguem definit un producte intern , com que el producte intern sempre indueix una norma , tenim que ja tenim totes les eines necessàries per poder aplicar Gram-Schmidt.
Aleshores en la notació d’un espai vectorial general tenim .