Recopilatori de coses
Imatges
Ising Model
Bla bla bla
Equació de Dirac, spinors i principi d’exclusió de Pauli
Bla bla bla
Imatges xules
Gas de fotons
Altres
Condensació de Bose Einsten
Sòlids
Frases
“It is important to understand that ε is not the vibrational energy of a single atom. It represents the energy of a vibrational mode in the material, to which many atoms contribute.”
“A vibrational mode with energy ε is called a phonon. Phonons are quanta of vibrational energy in a material.”
”for phonons, there is always a maximum frequency related to the number of particles in the object.”
“ is the number of states (vibrational modes) in the frequency range to .“
La màxima freqüència pel model de Debye és
Aquest últim mode vibracional té una energia associada.
Podem trobar la densitat d’energia de cada estat (mode vibracional) a partir de
On és la velocitat del so en el sòlid.
Podem definir la temperatura de Debye així
On és el nombre d’ona.
El punt clau que fa el model de Debye és assumir que els modes de ressonància no seran constants sinó que seran proporcionals al nombre d’ona (relació de dispersió) i per tant .
Límit (sistema temperatura ambient, clàssic)
Trobem els mateixos resultats que en el model d’Einstein.
Límit (sistema fred, quàntic)
L’energia interna del sòlid queda
I per tant
Fixem-nos que aquí no es fa zero (com es feia en el model d’Einstein). Aleshores pel cas quàntic, hem trobat un resultat nou (més precís de fet).
Bosons
Fotons: pressió i energia d’un estat
Bosons massius: pressió
Gas de bosons a altes temperatures
Gas de bosons a baixes temperatures
Condensació Bose Einstein. nombre de partícules en l’estat fonamental i nombre de partícules en estats excitats (1r, 2n…)
La temperatura de Bose-Einstein ve donada per
Més coses
From our previous analysis of the Maxwell-Boltzmann gas and
the Fermi gas, the density of states for spin-0 particles moving
freely in a box of volume V is:
Utilitat de la distribució de Bose-Einstein
La distribució, és el que ens genera la estadística. Aquesta és aplicable a
- Gas Bose-Einstein
- Col·lecció de fotons
- Vibracions en sòlids
Les 3 distribucions
Distribució de Maxwell-Boltzmann (partícules distingibles)
Nota: aquí fa referència als estats possibles de 1 partícula, no als nivells d’energia.
Distribució de Fermi-Dirac (fermions: partícules indistingibles + principi d’exclusió de Pauli)
Nota: aquí fa referència als diferents nivells d’energia del sistema (totes les partícules)
Distribució de Bose-Einstein (bosons: partícules indistingibles)
Per gran, és a dir per altes temperatures tenim que
Nota: sempre, ja que sinó voldria dir que tenim un nombre negatiu de partícules en un nivell d’energia (recordem que indica la possibilitat de tenir partícules al nivell ).
Conceptes de integrals
Preliminars
Funció de partició canònica
Per exemple per una partícula en 3D el Hamiltonià sol ser
Funció de Bose Einstein
Integral de Bose
Integral de Fermi-Dirac
Un valor particular important és .
Pressió de degeneració per un gas de Fermi
Nota: degeneració = vaps repetits, en el cas de la matriu operador hamiltonià això és mateixa energia per diferents estats, és a dir partícules en un mateix nivell d’energia.
Integral de Bose-Einstein (≠ integral de Bose)
Alguns valors particulars en són
Recordem que la integral general era
Material útil
Spin-statistics theorem i principi d’exclusió de Pauli
Apèndixs A i C llibre UB
Posar-los. (Ara que s’ha descarregat el llibre).
Magatzem de coses
Al Introduction to Quantum Mechanics - Griffiths, al final del capítol 5, parlen de física estadística
