Tensor de Faraday
és el quadri-potencial o camp del fotó, un camp gauge.
El tensor de Faraday o tensor electromagnètic és
Per canviat de l’expressió contravariant a la covariant
En notació indicial a partir del quadr-potencial és
On es compleix que
Els camps elèctric i magnètic no són invariants sota transformacions de Lorentz (diversos observadors diferiran al mesurar-los) en canvi el tensor de Faraday sí que ho és.
I per tant, el que és invariant sota transformacions de Lorentz (de manera similar al interval espai-temps) és la resta dels dos “Poynting vectors” o densitats d’energia.
Extra
I és que resulta que aquesta quantitat escalar forma part de la contribució electromagnètica que juntament amb la correcció de fase (que involucra el quadri-potencial vector) s’afegeix al Lagrangià de Dirac.
Prenent els tres termes del Lagrangià, ara sí, invariant sota transformacions de Lorentz, donant lloc a l’electromagnetisme i amb simetria de fase local , s’obté el lagrangià pel que s’anomena l’Electrodinàmica Quàntica.
Recordem que aquí és la densitat lagrangiana, que s’ha d’integrar sobre tot l’espai
Si volem podem partir del principi de mínima acció o directament des de les equacions de Euler-Lagrange.
Solucionant-les s’obté l’equació diferencial fonamental de l’electrodinàmica quàntica (i per tant de l’electromagnetisme)
D’aquesta se’n poden derivar les dues equacions de Maxwell inhomogènies i la conservació de la càrrega elèctrica.
Si ara prenem una partícula relativista amb càrrega elèctrica sota el potencial , el lagrangià d’electrodinàmica quàntica prendrà la forma de
Demo
El primer terme està derivat a la wikipedia
El segon terme, el terme d’interacció es deriva a partir de
On és el temps propi de la partícula i la quadri-velocitat. I les equacions d’Euler Lagrange que seran
Resolent-les obtenim
La qual, si ens fixem bé, és la força de Lorentz camuflada.
Recordem que és una força sempre, en aquest cas tenim una quadri-força. Si expandim el quadrivector veurem que les tres components espacials donen la força de Lorentz
Dubte
I la component temporal? sembla que donaria algo tipus cosa que no té gaire sentit.
Extra: Derivada covariant
Es defineix a partir del quadri-potencial com a
i el lagrangià de l’electrodinàmica quàntica (QED) queda
