Algun dia ho entendré i estarà xetadíssim per explicar tensors, càlcul vectorial, el teorema de stokes…
Subpàgines
RotorsSpace-Time Algebra
Petit problema de la àlgebra geomètrica
No és gaire compatible amb els tensors
Llibres, Apunts, Playlists…
Introducció
l’Àlgebra Geomètrica, o Geometric Algebra. Fa referència a l’àlgebra que podem construir entre un tipus d’objectes matemàtics que anomenarem (geometric objectes), a la pràctica, poden ser segons considerem, des de vectors, bivectors, tensors i altres fins a rectes, plans, volums i altres a cercles, circumferències, esferes i altres. En general sempre es tracta de l’estudi de subespais vectorials i la àlgebra entre ells al produir diverses operacions geomètriques com ara una projecció, una intersecció, una rotació, una reflexió, una traslació….
Aritmètrica Geomètrica = Agafar un pla i pensar com definir un punt projectat a al pla per exemple (el que feiem a batxi per exemple)
Algebra Geomètrica = Un cop fetes aquestes definicions per cada cas particular (aritmètrica), procedim a una abstracció i trobem unes relacions generals entre instàncies abstractes d’aquests objectes (àlgebra)
Càlcul Geomètric = Un cop conegudes totes aquestes relacions (àlgebra), les utilitzem per aplicacions i usos que ens interessen, inventant noves definicions que ens puguin ajudar en problemes geomètrics (com rotar un objecte de 3 dimensions per exemple).
____
En canvi algebraic geometry o geometria algebraica, fa referència en la relació que hi ha entre la geometria i l’àlgebra, i és llenguatge que permet interpretar els resultats d’una en una altra i viceversa. Per exemple entre un cercle en R2 i la funció f(x,y)=+-sqrt(x^2+y^2).
En el sentit estricte algebraic geometry seria Scalar algebraic geometry
-A completely antisymmetric covariant tensor field of order k may be referred to as a differential k-form. -A completely antisymmetric contravariant tensor field may be referred to as a k-vector field.
Bivector = Tensor de rang 2 antisimètric
“A bivector is an element of the antisymmetric tensor product of a tangent space with itself.”
Multitensor rang 2 i dimensió 3= tensor rang 0 + pseudotensor de rang 0+tensor rang 1 i dimensió 3 + pseudotensor de rang 1 i dimensió 3 + tensor de rang 2 i dimensió 3 + pseudotensor de rang 2 i dimensió 3.
Multitensors: tensors + pseudotensors
1 dimensió —>
Tensors de rang 0 (i dimensió 1)
Escalar: , vector en 1 dimensió: magnitud (valor absolut) i direcció (signe)
Pseudoescalar (actua com a número imaginari): , pseudovector en 1 dimensió, també té valor absolut i direcció (signe)
—> No forma part de l’espai vectorial de però tampoc se’n va a
Número complex = multiescalar en 1 dimensió = Escalar + Pseudoescalar =
—> no es pot reduir en només escalars i pseudoescalars —> és una combinació lineal d’ells.
—> Es pot calcular les seves característiques com a multivector en 1 dimensió (2 components)
—> Components:
—> Magnitud:
—> Direcció: —>
2 dimensions
Tensors de rang 0 o 1 (i dimensió 2)
Multivector = escalar + vector + bivector(actua com a pseudovector)
—> Seria l’equivalent a un número complex en 2 dimensions
Escalar: Seria un vector unidimensional en una de les dues rectes reals.
Vector: , vector en 2 dimensions: magnitud (mòdul) i direcció (angle), o bé a1, a2.
Bivector: , pseudovector en 2 dimensions: magnitud (àrea) i direcció (sentit de gir)
3 dimensions
Tensors de rang 1 (i dimensió 3)
Multivector = escalar + vector + bivector + trivector(pseudovector)
Multitensor = tensor +