Bla bla
L’equació de Schrödinger correctament
Equació de Schrödinger genèrica
L’equació de Schrödinger més genèrica possible (en notació de mecànica quàntica) és
Pel cas de la mecànica quàntica no-relativista (la que estudiem a FQ i MQ) el hamiltonià del sistema és
Hamiltonià independent del temps
Pel cas d’un potencial i per tant hamiltonià independent del temps, obtenim com a solució de l’equació diferencial
Per què?
No ho acabo de veure la veritat
Si tenim la següent equació diferencial, amb com a condició de contorn
Obtenim com a solució
Aleshores
On compleix la típica equació de valors propis.
Hamiltonià dependent del temps
No sé com s’hauria de procedir.
Notació correcta
Per si és útil més endevant:
Cas més general
Funció d’ona més general, per qualsevol sistema de partícules i dimensió
Equació de Schrödinger més general, per qualsevol sistema de partícules i dimensió
A l’operador que actua sobre la funció d’ona a la part esquerra de l’equació se l’anomena “Operador Hamiltonià”.
Conceptualment molt important: L’operador Hamiltonià és lineal
Per què és lineal?
Una derivada és lineal si?
Aleshores una derivada segona també ho és:
Per tant, l’operador Laplacià és un operador lineal
Molt bé, qualsevol suma, resta, multiplicació o divisió aplicada a una funció sempre serà un operador lineal (per què els reals compleixen la propietat distributiva).
I ja que la suma de dos operadors lineals és un operador lineal, l’operador Hamiltonià és un operador lineal
Què implica que l’operador Hamiltonià sigui lineal? Que si la funció d’ona es pot escriure com una
Podem escriure l’equació de Schrödinger com una “Eigenvalue Equation”.
Què més implica? Que en e
Nota: A l’assignatura de mecànica quàntica utilitzarem el sombreret (hat) per referir-nos als operadors , però a Física Quàntica simplifiquem la notació i no el posem .
Cas 1) El hamiltonià del sistema és independent del temps —> Podem separar la part temporal
On
Per què utilitzem per referir-nos a la solució de l’eq. de Schrödinger independent del temps?
Expressió de l’energia
Definim una transformada de Fourier
Nota:
En el cas de , tenim que: —> NO SÉ NO HO HE ACABAT D’ENTENDRE
Recordem la eq. de Schrödinger més general
Apliquem la transformada de Fourier a banda i banda
Si el potencial és independent del temps, el podem treure fora de l’integral i aleshores:
D’acord anem a gestionar el terme de la dreta. Primer de tot, comprovem que la següent igualtat és certa (derivada d’una multiplicació).
Per tant, la part dreta de l’eq. de Schrödinger la podem escriure així
Fent la derivada ens adonem que
Per tant l’equació de Schrödinger ens queda
I recordant que , i aprofitant l’expressió de l’operador Hamiltonià , ens queda:
Que és una “eigenvalue equation”. Cosa que implica que la transformació que fa sobre la funció és una transformació lineal (cosa que ja ens podíem esperar degut a ser lineal.
Relació entre diagonalització (matrius simètriques) i la eiegenvalue equation de l’operador hamiltonià?
- és lineal
- Al ser lineal, es pot representar mitjançant una matriu (3x1), que actua sobre un escalar () per donar un altre escalar. De la mateixa manera que una matriu (3x3) actuava sobre un vector (3x1) i donava un altre vector transformat.
- Això ja directament ens dona , que aplicat al nostre cas és .
- Una eigenvalue equation no deixa de ser el mateix concepte de diagonalització (per quan teníem vectors transformats linealment per matrius) a escalars transformats linealment per matrius (3x1).
- Què passa, que abans la condició per tal que una matriu (3x3) que transforma vectors fos diagonalitzable era que també fos simètrica. En el cas de matrius (3x1) que transformen escalars aquesta condició ja no és necessària.
- Ja està, és això. Un dia si cal m’ho miro encara més a fons respecte el espai vectorial de funcions i què implica formalment la diagonalització d’aquest espai vectorial i per què amb vectors cal la condició de simètrica i amb funcions (escalars) no.
Cas 2) El hamiltonià del sistema no és independent del temps però el hamiltonià de cada partícula sí que ho és. —> Podem escriure la funció d’ona com una superposició de funcions d’ona de cada partícula —> Cada partícula satisfarà la seva eq. de Schrödinger
Tenim ara un sistema de partícules en què el Hamiltonià del sistema no és independent del temps. Ara bé, es dona el cas que el hamiltonià de cada respectiva partícula sí.
Aleshores resulta que la funció d’ona (solució de l’eq de Schrödinger) es pot escriure com una superposició de funcions d’ona que descriuen els estats estacionaris possibles del sistema.
I trobem aquestes funcions d’ona corresponents als estats estacionaris, solucionant l’eq. de Schrödinger de cada partícula (un hamiltonià diferent per cada partícula).
Partícula 1
On cada estat estacionari possible és solució de la seva eq. de Schrödinger
Cas 3) Ni el Hamiltonià del sistema ni el Hamiltonià de cada partícula són independents del temps —> Ho tenim difícil per trobar una sol. analítica.
Deducció del valor esperat de l’energia
Deducció del valor esperat del moment angular
En canvi per és
On:
I per és:
On: