Introducció més oficial
Què és la física estadística?
La física estadística té el seu origen en la necessitat d’explicar la termodinàmica (model macroscòpic) a partir de les lleis de la mecànica clàssica.
Degut a que estem fent l’estudi de sistemes que tenen de l’ordre de partícules, una descripció microscòpia exacta de tot el sistema és inviable, i no es pot calcular ni analíticament ni computacionalment.
Aquí és on entra l’estadística, si coneixem alguns detalls microscòpics del sistema (com ara el hamiltonià que regeix el comportament de les partícules) i fem alguna assumpció o hipòtesis (com ara que com més energia tingui una configuració arbitrària del sistema, menys probable serà), podrem calcular propietats macroscòpiques del sistema (com ara el valor esperat de l’energia).
Molt bé, aleshores la Física Estadística, també anomenada Mecànica Estadística, és un model teòric que aplica l’estadística a sistemes físics, més concretament a sistemes físics en equilibri termodinàmic.
L’objectiu inicial és poder establir una relació entre un sistema de partícules del qual coneixem el seu hamiltonià (ja sigui clàssic o quàntic), i les seves propietats macroscòpiques resultants.
La idea de col·lectivitat
Tota la física estadística es basa en un concepte fonamental, la idea de col·lectivitat.
Per a entendre’l anem a considerar un exemple ben senzill, imaginem que tirem dos daus i els sumem, i volem saber quina és la probabilitat d’obtenir cada valor possible.
Si no sabéssim res de física estadística segurament el que faríem seria sumar en quants casos es dona un valor i dividir aquells casos pels casos totals (per exemple el número el podem obtenir de maneres diferents, i tenim un total de casos doncs ).
I és en aquesta línia que funciona la física estadística. A cada cas possible que podríem obtenir l’anomenem microestat. Aleshores cada microestat tindrà unes propietats macroscòpiques resultants (en aquest cas simplement en tenim una, el valor de la suma dels dos daus), i a cada instància de propietats macroscòpiques l’anomenarem macroestat.
La gràcia està en que diversos microestats donen lloc al mateix macroestat. Aleshores tindrem que alguns macroestats seran més probables que d’altres.
La col·lectivitat, és doncs el constructe abstracte de totes les possibles configuracions del sistema, és a dir al conjunt de microestats possibles totals (en l’exemple dels daus seria justament la taula amb els valors possibles).
Col·lectivitat Microcanònica
Imaginem-nos ara un gas ideal com un sistema tancat, aïllat i en equilibri, el qual ocupa un cert volum , té una energia fixada, i conté un cert nombre de partícules . A nivell microscòpic, cada una d’aquestes partícules pot ocupar una posició qualsevol dins el volum i tenir una velocitat qualsevol.
Nota: donat un Hamiltonià clàssic, amb aquestes 6 variables per cada partícula (3 dimensions) en fem prou per trobar quina energia aporta cada una a l’energia total.
Aleshores, els microestats seran les possibles configuracions del sistema que puguem tenir, és a dir els valors concrets de les variables .
Fixem-nos que cada configuració possible tindrà una energia (propietat macroscòpica) associada, els macroestats possibles del sistema seran doncs .
Però nosaltres tenim que el sistema es troba aïllat, i per tant té una fixada (i un fix). Aleshores del constructe mental de configuracions possibles que podrien existir (col·lectivitat) únicament ens hem de quedar amb les que siguin compatibles amb el nostre macroestat.
Aleshores si imposem constant, el nombre de microestats associats a aquesta energia concreta l’anomenem o a vegades també .
Nota: en el cas continu, haurem de definir una densitat d’estats .
I ara ve la pregunta més important, quina probabilitat té de sortir cada microestat? Doncs tal com en el cas dels daus, per la col·lectivitat microcanònica ( fixada), es postula que tots els microestats tenen la mateixa probabilitat de donar-se (postulat d’equiprobabilitat a priori).
Col·lectivitat Canònica
Ara els sistema ja no té una energia fixada constant, sinó que té una temperatura fixada constant i la energia pot patir fluctuacions. Tot i així, en l’equilibri el valor esperat de l’energia es manté constant.
Ara però no seran tots els microestats igual de probables, sinó que degut a aquestes fluctuacions, els que tinguin menys energia seran més probables.
Ara no calcularem un nombre de microestats, sinó la constant de normalització per tal que la suma de probabilitats de microestats doni . Aquesta l’anomenarem funció de partició .
I ara el nombre de microestats, cada un amb una energia associada, indicarem el nombre de microestats amb aquella energia (degeneració) a partir de o en el continu ara tenim que ho escrivim així .
Estadística clàssica (Maxwell-Boltzmann)
i estadística quàntica
Estadística quàntica per fermions (Fermi-Dirac)
sdf
Estadística quàntica per bosons (Bose-Einstein)
MAPA LUCIDCHART
Món microscòpic
Tenim models que descriuen el món microscòpic —> mecànica clàssica i mecànica quàntica
(tot considerant
La física estadística és el model matemàtic que tenim per fer una connexió entre els models
Sistemes en equilibri
Sistemes ideals (no interactuants)
_ _ _
CASOS TOTALS
ㅤ | Hamiltonia clàssic | Energia continua | Hamiltonià Quàntic | Energia discreta |
ㅤ | distingibles | distingibles | dist | indist | dist | indist |
Clàssica (MB) | x | x | x | x | x | x |
Quàntica BE | ㅤ | x | x | x | x | |
Quàntica FD | ㅤ | ㅤ | x | x | x | x |
14 casos?
Hamiltonia clàssic-quàntic = nivells d’energia continus-discrets???
es pot fer estadística quàntica per un sistema clàssic? seveix d’alguna cosa?