Overview conceptual
Per entendre medis realment només calen 4 coses:
- Saber àlgebra tensorial
- Saber resoldre EDOs i EDPs
- Entendre conceptualment els problemes i la seva geometria
- Aplicar les equacions (de Navier-Cauchy i Navier-Stokes) al cas concret del problema, trobar una solució analítica i aplicar condicions de contorn.
El temari s’estructura en 2 grans blocs:
- Sòlids (tensor d’esforços, tensor de deformacions, camp de desplaçaments, elasticitat, equilibri mecànic, pressió hidrostàtica, eqs. de Navier-Cauchy…)
- Fluids (eq. de continuïtat, perspectiva Euleriana i Lagrangiana, eqs. de Navier-Stokes, número de Reynolds, eq. de Bernoulli, fluxos potencials…)
- Fluids ideals (i la seva cinemàtica)
- Fluids viscosos (i la seva dinàmica)
Típics problemes d’examen (són tots així)
[P1]: Material elàstic, homogeni i isòtrop.
Et donen
- o
- Geometria del problema (Radis, dimensions…)
- Forces o moments de forces aplicats
- En general has d’ignorar la força gravitatòria així que no hi ha forces volúmiques
- Condicions de contorn (per exemple tenir un sòlid rígid indeformable al cantó)
Has de saber calcular
- Camp de desplaçaments
- A vegades et fan calcular la seva equació d’equilibri
- Tensor d’esforços
- Tensor de deformacions
- Condicions de contorn necessàries (menyspreant la P. atmosfèrica sempre)
- A vegades cal trobar el valor de les constants d’integració
- Forces i moments de forces (torque) que experimenta alguna regió del material
- A vegades et demanen el torque que experimenta el centre de masses
- Canvi relatiu del volum del sòlid
Nota: A vegades et barregen el problema 1 amb fluids, fen-te calcular l’esforç (i/o deformació) que experimenta la canonada.
[P2] Fluid no viscós, Newtonià, ideal i incompressible amb flux laminar.
Has de saber calcular
- Velocitat i àrees de secció del fluid
- Força o pressió que exerceix el fluid a les parets interiors de la canonada
- Camp de pressions al fluid
- Trobar la velocitat del fluid a la sortida (en cas que hi hagi un forat)
- Trobar el temps que tarda a buidar-se (en cas que hi hagi un forat)
- Calcular el cabal Q
- Un any et feien també demostrar a partir de l’eq. de continuïtat i del fet que és incompressible que el cabal ha de ser constant.
- Preguntes sobre el fluid tipus: És un flux potencial? és a dir comprovar que .
[P3] Fluid incompressible però viscós.
Has de saber calcular
- Perfil de velocitats (i seccions a vegades) en l’estat estacionari
- Força de fregament viscosa
- Radi al qual la velocitat és màxima
- Gradient de pressió per qual la velocitat s’anul·la
- EDPs en l’estat transitori (abans d’arribar a l’equilibri)
- Passar de l’equació d’Euler a la de Bernoulli en el cas que la canonada estigui rotant
Repàs general terminologia
Equacions de Navier-Cauchy pels sòlids elàstics i equacions de Navier-Stokes pels fluids
Nota 1: Navier-Cauchy són 3 equacions (forma vectorial 3D) i Navier-Stokes són 4 equacions (forma vectorial 3D + condició de incompressibilitat).
Nota 2: Les equacions de Navier-Cauchy són unes EDPs sobre el camp de desplaçaments , mentre que les equacions de Navier-Stokes són unes EDPs sobre el camp de velocitats . Complint-se —> (crec, no estic del tot segur)
NOTA 3: Crec que el camp de desplaçaments és el vector (llarg) entre l’estat inicial i el final de la deformació. En canvi el v=dr/dt dels fluids és el camp de velocitats en què dr es correspon a un desplaçament molt i molt petit (infinitesimal) i l’escales multiplicant-lo per 1/dt.
I diem camp de desplaçaments en el sentit de que cada punt del sòlid va a parar en un altre punt final (té un vector associat). Però realment no hi ha dependència temporal? És un camp vectorial fixe o què? Mentre que en un fluid cada punt va a un estat en un interval de temps dt i fa que a cada dt el camp vectorial sigui diferent (es va actualitzant). Tu no ho sé pas pfff
POTSER la part que diu es correspon a en el cas que al deformar el sòlid d’un estat A a un estat B, el camí triat afecti a la propia deformació. No ho sé realment.
Sòlids
Segons la reologia (relació entre el tensor d’esforços i el de deformacions)
- Rígid (indeformable)
- “Elàstic” (elàstic lineal)
Nota
“Tots els materials elàstics no lineals per deformacions suficientment petites es comporten de manera lineal.”
—> A se l’anomena “Tensor de deformacions de Cauchy” o també “Tensor infinitesimal de Green-Cauchy” per considerar sempre que són deformacions molt petites i per tant podem treballar amb elasticitat lineal.
Si les deformacions no fossin tan petites, hauríem de treballar amb els tensors de deformacions de “Green-Lagrange”, “Almansi” o “Finger” en el règim de la elasticitat no lineal per sòlids, que no entra dins el temari d’aquesta assignatura.
- Elàstic no lineal
- Plasticitat
- Viscositat
- Viscoelasticitat
- Altres
Segons si el material és igual a tot arreu (no depèn de la posició del SRI)
- Homogeni
- Heterogeni
Segons si el material és igual en totes les direccions (no depèn de l’orientació del SRI)
- Isòtrop (en totes les direccions)
—> El tensor d’esforços i el tensor de deformacions es poden diagonalitzar —> El tensor d’elasticitat queda caracteritzat per només dues components.
- Isòtrop cúbic (isòtrop en les direccions paral·leles als eixos principals i anisòtrop en les altres)
- Anisòtrop irregular