Pinzellada conceptual: espai de solucions lineals i analogia del barquer
En la Mecànica Quàntica tenim sistemes (totalment) descrits pel que anomenem la funció d’ona . La qual satisfà una única equació, l’equació de Schrödinger.
És a dir quan “obrim el capó de l’univers” (com diu el T. Fiol) obtenim que el món a escala microscòpica està governat (molt sorprenentment) per una equació que és lineal i complexa.
“Sorprenent en el sentit que quasi totes les interaccions que observem a l’univers presenten comportaments no lineals”“Sorprenent també en el sentit que en el món en el que vivim només podem mesurar nombres reals, i ens trobem davant d’una equació complexa (la solució de la qual serà també complexa).”
Idees que ens dona el fet que sigui lineal
Al ser l’equació diferencial lineal, tenim que si i són solucions de l’equació de Schrödinger aleshores també en serà solució (amb ).
Recordem:
Quan un sistema d’equacions és lineal l’espai de solucions és un espai vectorial
Un camp vectorial descrit per una equació diferencial lineal compleix el principi de superposició
Com podem pensar-ho això?
Vale fixem-nos en el següent. Sabem de FQ que si i corresponguessin a estats estacionaris amb energia ben definida, aleshores podríem construir-nos una sense una energia ben definida, que malgrat tot seria una solució igual de vàlida que les altres. Com pot ser això?
“Enlloc d’intentar entendre la mecànica quàntica des de la clàssica, hem d’intentar entendre la clàssica des de la quàntica”
Navegar un mar sense direccions privilegiades
Anem a fer un exercici mental, imaginem-nos un barquer que està navegant per la mar.
Resulta però, que aquest barquer no coneix la naturalesa de la mar, i porta tota la seva vida navegant només en dues direccions de Nord a Sud i de Est a Oest.
I un bon dia, després d’anys navegant sol per la mar en aquestes direccions es troba un altre barquer, que aparentment sembla estar navegant en una direcció diagonal.
Aleshores el nostre barquer es queda sorprès i s’escandalitza: “Estàs navegant en una direcció que és una superposició entre Nord-Sud i Est-Oest, estàs en superposició!”
I l’altre barquer pensa aquest home no s’entera ni del clima i decideix ignorar-lo i passar de llarg.
Quin era el problema conceptual aquí?
El nostre barquer es pensava que en la mar hi havia unes direccions privilegiades (que podrien ser Gat Viu - Gat Mort, Spin Up - Spin Down…) i qualsevol direcció diferent a aquella l’entenia com una superposició.
Un dels principis de la Interpretació de Copenhaguen (interpretació de la Mecànica Quàntica més globalment acceptada entre els físics) és justament el fet que
“the results provided by measuring devices are essentially classical”. És a dir que si el nostre barquer protagonista (que viu al món clàssic) mesura la direcció de l’altre barquer (món quàntic), obtindrà experimentalment o que viatja Nord o que viatja Sud o que viatja Est o que viatja Oest.I si féssim un seguit d’experiments (que d’aquí poc veurem) podríem arribar a inferir que la naturalesa real del barquer (la direcció en la que viatja) no és ni Nord, ni Sud, ni Est ni Oest, sinó una superposició d’aquestes i que és només quan nosaltres el mesurem que obtenim un dels resultats esperats.
La següent frase (del T. Fiol) serveix com a pinzellada conceptual sobre com podríem arribar a interpretar/pensar la Mecànica Quàntica (malgrat hi hagi molta filosofia amb diverses opinions al darrera ens serà útil interpretar-ho de moment així).
“La pregunta realment important no és ‘per què existeix una mar sense direccions privilegiades a escala subatòmica?’, la pregunta que ens hauríem de fer tots és ‘per què en el límit clàssic (quan mesurem) apareixen efectivament unes bases privilegiades?’.”
Quina és la resposta a la pregunta?
Doncs hi ha moltes teories i models, però de moment no hi ha cap model que permeti explicar el col·lapse de la funció d’ona d’una manera suficientment sòlida. Dit d’altra manera, de moment ningú ho sap.
És a dir de per si no és estrany concebre conceptualment que el món es pugui comportar de manera complexa a una escala molt petita, l’estrany és justament que a escala macroscòpica només es pugui comportar amb nombres reals.
Vale va sortim de l’analogia
Al mateix temps doncs, si podem trobar totes les funcions d’ona que són solució de l’equació de Schrödinger, no ens hauria d’estranyar que es pugui expressar en funció de i (de fet podríem expressar en funció de i o com volguéssim, no deixa de ser un espai vectorial). El que ens hauria d'estranyar és que de tot aquest espai vectorial de solucions, sorprenentment quan mesurem, només podem obtenir aquells estats i que són estacionaris (és a dir que tenen propietats com l’energia en els reals).
Veiem doncs que hi ha un concepte que no acabem d’entendre relacionat amb “mesurar”, el fet d’obligar el món quàntic a mostrar-se clàssicament (a vegades anomenat “col·lapsar” la funció d’ona).
Estaria bé dir que això ho detallarem més endavant, però la veritat és que tot el que serien interpretacions filosòfiques no formen part del formalisme matemàtic base de la teoria.
Aquí una pàgina per aquestes: .
El principal en el que ens hauríem de quedar és el següent
- L’espai de solucions és un espai vectorial (ja veurem més endavant que concretament és un espai de Hilbert i que cada estat quàntic o propietat física es representa amb un vector en aquest espai, expressat en una notació especial anomenada notació de Dirac)
- Haurem d’assumir com a axioma (sense entendre per què ni saber interpretar què significa sobre la realitat que ens envolta) que al fer una mesura d’un estat quàntic de cop el forcem a prendre uns valors concrets que són clàssics i es poden mesurar amb nombres reals.
Algunes frases extres del T. Fiol
“La mecànic quàntica és lineal, és un espai vectorial sense bases privilegiades, i és quan fem un experiment que privilegiem alguna de les bases.”
“La funció d’ona no és mesurable.”
“La funció d’ona en general no viu a , viu a l’espai de configuracions (al món hi ha més de 1 partícula) així que en general viu pràcticament a , o més aviat a .”
“La mecànica quàntica té una aleatorietat intrínseca.”
Significat físic mesurable de la funció d’ona
Si tal que i són els dos estats estacionaris que pot prendre una partícula, aleshores els coeficients i ens donen l’amplitud de la densitat de probabilitat de trobar aquella partícula en aquell estat estacionari ( i ).
Ho veurem més endavant (forma part de l’anomenada Regla de Born).
Sobre la complexitat d’aquesta assignatura
Aquesta assignatura pot semblar en un principi molt complicada conceptualment i matemàticament, però al cap i a la fi tampoc ho és tantíssim. Aquí un desglossament.
Requisits conceptuals de matemàtiques
- Canvis de base, diagonalització, descomposició espectral, degeneració, etc. (Àlgebra Lineal)
- Projeccions ortogonals a subespais vectorials (Àlgebra Lineal)
- Conceptes bàsics de probabilitat de variable discreta i variable continua (Mètodes 1)
- Identitats dels commutadors (Mec. Teòrica)
- Espai dual i covectors (Àlgebra lineal)
- Tipus de matrius: hermítica, idempotent, unitària, etc. (Àlgebra Lineal, Nou)
- Espais de Hilbert (Nou, però segueix sent Àlgebra Lineal)
- Producte tensorial (de Kronecker) entre vectors i espais vectorials (Àlgebra Tensorial, Nou)
- Matrius com a exponents (Nou)
- Integrals complexes (Mètodes I, Fis Quàntica)
Requisits per poder aplicar la teoria
- Conèixer la notació de Dirac (Nou)
- Conèixer els 6 postulats de la mecànica quàntica (Fis Quàntica, Nou)
- Saber interpretar físicament commutadors i simetries (Mec. Teòrica)
- Saber interpretar físicament observables, valors propis i vectors propis (Àlgebra Lineal, Postulats MQ)
- Entendre el pas del discret al continu (Mètodes I, Càlcul II)
Temari
- Spin d’un electró (experiment de Stern-Gerlach, matrius de Pauli, etc.)
- Mesura (probabilitat d’obtenir un resultat, col·lapse com a projecció, etc.)
- Sistemes compostos
- Hamiltonià com a observable (per sistemes de spin 1 (fotons) o spin 1/2 (electrons))
- Desigualtats de Bell (i no-localitat de la mecànica quàntica)
- Evolució temporal (valors esperats i operador evolució temporal)
- Equació de Schrödinger i espais de Hilbert de dimensió infinita (pas al continu)
- Teorema de Ehrenfest (per l’espai de posicions i l’espai de moments)
- Principi d’incertesa (a partir de desviacions estàndard i commutadors)
- Spin, nombres quàntics i moment angular (i coeficients de Clebsch-Gordan)
- Àtom d’hidrogen i harmònics esfèrics
- Oscil·lador harmònic quàntic
- Simetries (rotacions, translacions, teorema de Noether…)
- Teoria de pertorbacions
- Mètodes variacionals
Coses que només s’adquireixen amb la pràctica (fer molts exercicis)
- Saber operar amb agilitat al utilitzar la notació de Dirac
- Identificar ràpidament matrius unitàries, hermítiques, projectors, etc.
- Diagonalitzar i canviar de base fàcilment
- Saber fer la discussió de degeneració, valors propis i vectors propis comuns
- Saber quins observables commuten i quins no de moments angulars
- Saber utilitzar la taula de coeficients de Clebsch-Gordan
- Saber aplicar teoria de pertorbacions pel cas degenerat
- Per mètodes variacionals, conèixer ja prèviament la constant de normalització i el terme de l’energia cinètica per les funcions d’ona més típiques (com ara una gaussiana)