Concepte Principal
És el conjunt de matrius ortogonals. És a dir matrius quadrades i reals que compleixen
Nota: considerarem matrius de dimensió 3, però tot és generalitzable a .
Es pot demostrar molt fàcilment que les matrius ortogonals compleixen
Demostració
Ja que tenim que
Si pensem que el determinant d’una matriu 3x3 representa un “volum”, i veiem aquest volum s’ha de mantenir constant o ha de canviar de signe, vol dir que les transformacions lineals seran rotacions o reflexions o rotacions combinades amb una reflexió.
Aleshores les dividirem en dos tipus, les rotacions pures, també anomenades rotacions pròpies (determinant positiu, grup ) i la resta, que pot ser una reflexió o una rotació i una reflexió (determinant negatiu).
Resulta que qualsevol rotació es pot expressar a partir d’un número parell de reflexions. I al mateix temps, un número parell de reflexions, és equivalent a una rotació.
Exemples de matrius de rotació 3D
Exemples de matrius com a reflexions en 3D
Cas general - Rotació 2D i Reflexió 2D
Cas general - Rotació 3D