Formularis del Drive
Com funciona aquest formulari
Això és un formulari resum col·laboratiu
Cada fórmula va acompanyada d’una breu explicació sobre què és, la seva utilitat i en quins casos es pot fer servir.
L’objectiu està en que al formulari hi hagi totes les fórmules necessàries per resoldre un examen.
Després a partir d’aquestes se’n genera un document d’Overleaf i el corresponent PDF.
Primer Tema
Fórmules de càlcul vectorial i àlgebra tensorial
Cartesianes
Gradient d’un camp escalar
Laplaciana d’un camp escalar
Divergència d’un camp vectorial
Rotacional d’un camp vectorial
Rotacional d’un camp vectorial en 2D
Laplaciana d’un camp vectorial
Gradient d’un camp vectorial = Jacobiana transposada
Contracció entre un camp vectorial i el seu gradient
Polars (cilíndriques en 2D)
Gradient d’un camp escalar
Laplaciana d’un camp escalar
Divergència d’un camp vectorial
Rotacional d’un camp vectorial (passem de a )
Laplaciana d’un camp vectorial
Gradient d’un camp vectorial
Contracció entre un camp vectorial i el seu gradient
“Divergència” d’un camp tensorial
Producte escalar entre un tensor i el gradient d’un camp vectorial
Cilíndriques
Gradient d’un camp escalar
Laplaciana d’un camp escalar (divergència del gradient)
Divergència d’un camp vectorial
Rotacional d’un camp vectorial
Laplaciana d’un camp vectorial (divergència del gradient d’un camp vectorial)
Gradient d’un camp vectorial
“Divergència” d’un camp tensorial
Contracció entre un camp vectorial i el seu gradient
Gradient de la divergència d’un camp vectorial
Producte escalar entre un tensor i el gradient d’un camp vectorial
Esfèriques
Gradient d’un camp escalar
Laplaciana d’un camp escalar
Divergència d’un camp vectorial
Rotacional d’un camp vectorial
Laplaciana d’un camp vectorial
Gradient d’un camp vectorial
Contracció entre un camp vectorial i el seu gradient
“Divergència” d’un camp tensorial
Producte escalar entre un tensor i el gradient d’un camp vectorial
Identitats útils
Producte doble punt entre tensors (
Equivalències útils
Amb dins el parèntesis
Amb dins el parèntesis
Solucions equacions diferencials
Nota 1: moltes vegades per finitud s’imposa .
Nota 2: En cas de ser derivades parcials i són funcions.
Material elàstic lineal, homogeni i isòtrop
Tensor de deformacions a partir del camp de desplaçaments
El tensor de deformacions (de Cauchy) es pot expressar com a:
Relació entre el tensor d’esforços i el de deformacions
“Tenim elasticitat lineal . Però al ser el material isòtrop, el tensor queda reduït a dues constants, o . I la relació entre el tensor d’esforços i el de deformacions queda simplificada a la Llei de Hooke”.
Llei de Hooke
Llei de Hooke inversa
Relacions entre paràmetres
Traça dels tensors
Mòdul de compressibilitat (bulk modulus)
Pressió hidroestàtica i compressibilitat isotèrmica
Treball elàstic de la deformació
Sempre es compleix
Termodinàmica de la deformació
“Aquestes fórmules jo encara no les he fet servir per cap examen”
Fórmules
Equació de Navier-Cauchy
Previ: 2a llei de Newton reexpressada
Juntament amb la Llei de Hooke i l’expressió del tensor de deformacions de Cauchy, s’arriba a l’equació de Navier-Cauchy pel camp de desplaçaments.
Expressada amb els altres coeficients .
Condicions de contorn
Tensor d’esforços: continuïtat dels esforços normals —>
Columna vertical sospesa lateralment
Torsió pura cilindre
Llei de St Vernard
Flexió pura uniforme
Equació de Bernoulli
Equilibri en barres
Condicions de contorn: Encastrada, recolzada, lliure en un extrem o força puntual en un extrem.
Inestabilitat de bucking
Equació d’Euler
Solució força umbral
Ones en un medi elàstic
Ones harmòniques planes
Que per ones longitudinals ()
Fluid Newtonià i incompressible
Equilibri hidroestàtic global i local
Línies equipotencials
Línies de corrent
Simplificacions de l’equació de Navier-Stokes
Si ideal
Si estacionari
Si es pot menysprear la força de la gravetat (no hi ha forces volúmiques)
Si les 3 a l’hora
On
Si el flux és irrotacional (hi ha línies de corrent)
L’equació de Navier Stokes se’ns simplifica al Teorema de Bernoulli.
Teorema de Bernoulli
On si es pot expressar com a
I si —> es pot expressar com a
Ritme de deformació
Vorticitat
Cabal
Equació de continuïtat (conservació de la massa)
Equació de balanç local del moment lineal (2a llei de Newton)
Que un cop aplicada la conservació de la massa queda
Si el fluid és ideal, queda
I si a més és estacionari, queda el teorema de Bernoulli
“Bernoulli s’aplica només dins de 1 mateixa línia de corrent, no es pot aplicar entre dues diferents!”.
Teorema de Bernoulli
On si el flux és irrotacional
I si —> es pot expressar com a
Viscositat fluids
El tensor d’esforços es pot expressar (en el cas més general) així
L’equació constitutiva d’un fluid és la següent expressió de tau (cas general)
Si és Newtonià (), tau queda [i incompressible??]
Si és ideal
Viscositat cinemàtica
CC: Stick boundary condition
CC: En la interfase entre dos fluids (continuïtat en la pressió)
Número de Reynolds
Si —> Viscositat domina —> flux laminar
Si —> Inèrcia domina —> flux turbulent
Per —> Turbulència considerable.
Maneres de procedir
Volem trobar la força sobre una superfície
En el cas general
Amb (per fluids)
Si el fluid és ideal
Per mirar com queda la força superficial, mirem què passa quan fem
Aleshores si el fluid és ideal, la força superficial queda
Si entre en un costat de la superfície tenim i en l’altre tenim aleshores cada pressió exercirà una força, amb un vector oposat a l’altre. La força neta total sobre la superfície serà
Quedant per tant la fórmula
Que és la força resultant que actua sobre la superfície causada pel fluid (però compensada parcialment per la pressió a l’altre costat).
Volem trobar perfil de velocitats sabent gradient de pressió i condicions de contorn
—> equació de Navier Stokes
En general degut a que la velocitat només té una component que depèn d’una altra component rollo o .
Quedant
Volem trobar la pressió en algun punt sabent el camp de velocitats i condicions de contorn
- si línies de corrent equiespaiades (irrotacional) —> bernoulli
- si línies de corrent no equiespaiades (rotacional) —> navier-stokes
Si el fluid és ideal, sol quedar
Si el fluid és ideal i irrotacional queda
On si és la gravetat
Procés deductiu sòlids
Previ
Relació entre el tensor d’esforços i el de deformacions
Si la elasticitat és lineal
Si també és isòtrop (diagonalitzable) —> Llei de Hooke
Balanç moment lineal
Cas general
Aplicant conservació de la massa
Quan és homogeni queda [????] —> ns en quin moment toca aplicar la homogeneïtat del sòlid.
Relació entre el tensor de deformacions i el camp de desplaçaments
Tensor de deformacions general
Tensor de deformacions de Cauchy (deformacions infinitesimals)
Ajuntant les 3, s’obté Navier-Cauchy
Navier-Cauchy cas general (sòlid homogeni, elàstic-lineal i isòtrop)
Procés deductiu fluids
Cas més general (qualsevol fluid) —> Balanç moment lineal + conservació de la massa
Amb
Si el fluid és Newtonià (sempre treballem amb fluid newtonians)
Si a més el fluid és incompressible, passen dues coses
Quedant, les equacions de Navier-Stokes, que són per un fluid Newtonià i incompressible