Equacions constitutives
Newtonià (elàstic bé)
Si a més és incompressible
Reològic (es corba al final)
[GRÀFIC]
Classificació reològica per la dependència de la viscositat amb el temps
[GRÀFIC: normal, thixotròpic (iogurt), reopèctic (ciment)]
Thixotròpics —> disminueix amb
Reopèctic —> augmenta amb
“La història és important” (manera de preparació)
Viscoelasticitat
És un fluid que es comporta elàsticament o viscosament en funció de l’escala temporal (lo ràpid que fas l’esforç)
En sòlids (foto)
El fet que depengui de l’escala temporal fa que hi hagi un temps característic a partir del qual es comportarà com un fluid elàstic o un fluid viscós.
Exemple: l’aigua
Si —> sòlid elàstic
Si —> fluid
Més exemples
- Gels —>
- Mantell terrestre (plaques tectòniques) —>
Model de Maxwell
Aleshores
Si —> —> elàstic
Si —> —> fluid
[GRÀFIC en funció de ]
Equacions de Navier-Stokes
Ingredients que necessitem
- Equació de balanç local del moment lineal (un cop aplicada la conservació de la massa). Es compleix sempre per qualsevol fluid
—> 2a llei de Newton per unitat de volum
Tenim que es pot expressar de la forma (cas general per qualsevol fluid)
- Equació constitutiva fluid (cas més general de )
Que si ho fiques a l’expressió de i el que et doni a l’equació de balanç local del moment lineal, obtens
Que és el cas més general per un fluid (podent ser o no newtonià, podent ser o no viscós i podent ser o no incompressible).
En cas que sigui Newtonià
I al ser incompressible
Aleshores per un fluid Newtonià i incompressible queden les equacions de Navier-Stokes
On la primera et diu que és incompressible i la segona et diu que és newtonià.
De manera gens trivial, es pot obtenir una viscositat cinemàtica
Condicions de contorn
Paret sòlida
[GRÀFIC]
El fluid no pot travessar la paret aleshores
i
(la condició sobre la component tangencial del fluid depèn del tipus de fluid).
Fluid ideal (no viscós) —>
No hi ha restricció però el fluid no pot fer força tangencial
—> llisca —> en anglès “Slip boundary condition”
Fluid real (viscós) —>
Que s’anomena “Stick boundary condition”
*Per una paret sòlida* —> aleshores que s’anomena condició “stick” o “non slip”.
Vale això és just per l’extrem que toca la paret, però i si en lloc d’una paret sòlida tenim un altre fluid?
Condicions de contorn en la interfase entre 2 fluids
[dibuixet]
Continuïtat en la pressió
per una interfase plana
Component del tensor de deformacions que és tangencial a la força en la interfície.
Notar que si , en la interfase:
que és una condició de contorn de superfície lliure (si hi ha aire i aigua per exemple)
Adimensionalització de la equació de Navier-Stokes
Són trucos que s’han trobat per tal de resoldre-les en alguns casos particulars fent algunes dreceres. —> número de reynolds
Necessitem 3 variables característiques [MLT]
—> velocitat característica
—> longitud característica
—> densitat característica
Variables adimensionals
Ara anem a expressar les equacions de Navier-Stokes tot en funció de les variables adimensionals (i considerem )
Dividint als dos costats de la igualtat per i definit dues constants s’arriba a:
És a dir que hem tornat a obtenir la mateix equació diferencial però ara per variables adimensionals, i on la viscositat és d’alguna manera (realment no) inversament proporcional al nombre de Reynolds, el qual l’hem definit com la següent constant.
Quina és la gràcia? Que les eqs. de N-S són per fluids newtonians incompressibles (però no necessàriament ideals) i moltes vegades malgrat ser un fluid viscós, es comporta d’una manera laminar i ens agradaria saber-ho gestionar.
Si —> Viscositat domina —> flux laminar
Si —> Inèrcia domina —> flux turbulent
Per —> Turbulència considerable.
Tenim variables que no tenen unitats, que prenen un valor proper a 1 per problemes reals i que l’únic factor important per caracteritzar el fluid és el número de Reynolds.
Si resolem un problema amb el mateix número de reynolds, ens servirà per qualsevol altre problema amb un altre.
Paràmetres adimensionals
Moviment de Reynolds alt (
Si —> Inèrcia domina sobre la viscositat —> menyspreem la viscositat (encara que el valor de no és zero, tractem la equació com ho fos).
—> fem l’aproximació a “fluid ideal”
Equació de Euler i Bernoulli
Per un fluid ideal
Equació local balanç moment lineal per un fluid ideal
Més la condició de fluid incompressible —> equació d’Euler.
Recordem una identitat vectorial important
Ojut que potser és i ho he apuntat malament
Molt bé i què? Doncs podem re-escriure l’equació de balanç local del moment lineal com a
Recordem que les forces conservatives deriven d’un potencial
Que en cas que sigui incompressible , podem entrar la rho i treure factor comú.
Que tot i que escrita d’una altra manera, és l’Equació de Bernoulli.
Si el flux és estacionari —>
integrem al llarg d’una línia de corrent
Arribes al Teorema de Bernoulli
Si el flux també és irrotacional —> queda
la famosa equació de Bernoulli tal com la coneixiem a primer curs
És a dir
Tub de pitot
Llei de Torricelli
[DIBUIXET]
Condicions
- —> Equació de continuïtat —>
Posant-ho a l’equació de Bernoulli (de FOFT) s’obté
que és com una caiguda lliure.
L’únic que hem aplicat és conservació de la massa (eq. de continuitat) i conservació de l’energia (Tª de Bernoulli).
Efecte Venturi
[DIBUIXET]
Aplicant el Tª de Bernoulli per la mateixa y, més l’eq de continuïtat s’obté
—>
Tª de Kelvin - Vorticitat
Equació de Navier-Stokes per un fluid real:
Que recordem que es pot expressar com a
Fem (pq sí) el rotacional de cada terme de l’equació
Es defineix la vorticitat com a
Posant-ho a l’equació obtinguda tenim el que es coneix com “Equació de la vorticitat”
Que per un fluid ideal queda
Notar que si —>
Sense viscositat no poden crear ni matar la vorticitat. Un flux irrotacional no li podrem generar vorticitat si és ideal. Per molts objectes que li fiquem.
Circulació
Teorema de Klein
Relaciona la circulació (rotacional) en funció de la vorticitat amb les línies de corrent, dient que és constant en ella si el fluid és ideal i no presenta vorticitat.
Vorticitat propagantse —> aritos al fumar —> es manté
Matemàticament és
(Només per fluids ideals, incompressibles i conservatius).
Si el fluid no té vorticitat, no li podrem provocar. I si ja en té, aquesta no canviarà al llarg del temps (es conservarà).
La demostració del Teorema de Klain es pot tribar al llibre de text Guyon secció 7.2.1
Fluxos potencials
Per aquesta secció pot ser útil revisitar la pàgina 
Exemples de camps vectorials.
Si es compleix aleshores el camp deriva d’un potencial
Si a més és incompressible () tenim que aquest potencial compleix l’equació de Laplace ().
És anàleg a l’electroestàtica en què el camp elèctric era irrotacional i derivava d’un potencial i podíem expressar les equacions de l’electroestàtica en funció de o de .
Flux paral·lel uniforme
[Dibuixet]
En coordenades polars
Vòrtex potencial
[Dibuixet]
Malgrat ser un flux amb rotació, és un flux sense vorticitat! Si possesim un triangulet, aquest es mouria (traslació) seguint una rodona però no giraria (sense apuntaria cap amunt).
Les línies equipotencial aqui són d’angle costant, i les de corrent són de radi constant.
La vorticitat és nul·la, es pot calcular. És per això que és un flux potencial.
Fonts i embornals
el camp només divergeix o convergeix —>
Per —> font
Per —> embornal
- 2D
Per continuïtat —>
- 3D
Per continuïtat —>
Que és completament anàleg al potencial de Coulomb per 1 partícula.
Dipol
[Dibuixet]
Estudiarem el límit en què
- 2D
Camp de velocitats
- 3D
Pel cas 3D és anàleg al 2D
Flux al voltant d’un cilindre
[DIBUIXET]
Hipòtesis: És a dir que expressem el camp vectorial com la suma de un camp ideal i el generat per un dipol, anem a mirar si compleix les condicions de contorn.
NOOO!! la suma és dels potencials dels quals deriven aquests camps vectorials.
Camp de velocitats
*Condicions de contorn
- a
Anem a comprovar
—> el fluid no pot entrar en el cilindre
Per tal que es compleixi l’equació de contorn arribem a
que efectivament és així (si? segur?)
No imposem cc per la component angular ja que el fluid és ideal i no hi ha fricció amb la bola.
Aleshores la solució del potencial del qual deriva aquest camp de desplaçaments que hem expressat com una suma de dos conservatius, obtenim
Flux obstaculitzat per un cilindre en circulació
[DIBUIXET]
“El cilindre està girant per la vorticitat de la capa límit, però modelitzem tot el fluid excepte la capa límit com un fluid ideal”. És a dir podem estudiar el seu comportament general però no podem explicar com es produeix la rotació. “Tinc circulació però no tinc vorticitat en el fluid en general”.
Hipòtesis: el potencial és la suma de tres potencials, en què ara hi afegim la vorticitat
I ja els hem calculat tots així que
Obtenim els camps de velocitats simplement per tal que compleixin les condicions de contorn.
(que són les mateixes d’abans).
Punts d’estagnació sobre la superfície del cilindre.
—> obtenim
—> obtenim l’equació pels punt d’estagnació
Anem a observar com són aquests punts en funció de la vorticitat
- Si
Aleshores
[dibuixet] —> punts a
- Si
Teorema de Bernoulli (i ignorant gravetat)
Que ens dona
Força sobre el cilindre
La força en components
—> horitzontal = “drag force” —>
Ja que per exemple tan amb sin, com cos, com sin*cos, com sin^2cos compleixen
—> vertical = “lift force” —>
Al expandir l’expressió de p, tots els termes integrats donen zero excepte el que queda sin al quadrat.
—> Ajuntant les dues forces obtenim l’anomenada Força de Magnus.
Solucions Navier-Stokes resum
(passar a latex)
Flux unidireccional + incompressible —> v_x(y)
1) Flux pla de Couvette [dibuixet]
2) Flux pla de Poiseuille [diuixet]
3) Flux de Poiseuille cilíndric [dibuixet]
Elementary Fluid Dynamics - Acheson 1990
Integrant
I aplicant condicions de contorn
Aleshores
Vale, i si calculem el cabal? Trobem un resultat sorprenent, La Llei de Poiseuille:
“Per mantenir el mateix caudal de sang, si la vena redueix el seu radi, la pressió que fa el cor de bombejament s’haurà d’augmentar moltíssim”.
Quina força es fa sobre la paret?
Que per la component z queda
Que desenvolupant arribes
Que és un cas particular de la Llei de Stokes
“Tots els problemes és Navier-Stokes —> simplificació —> integrar una component —> un cop tens la velocitat en calcules caudals i tonteries”.
De moment tot això és per Reynolds alts —> la inèrcia domina sobre la viscositat —> negligim el terme de la viscositat
ara anem a fer per Reynolds baixos —>la viscositat domina sobre la inèrcia —> negligim el terme de la inercia
Moviment a Reynolds molt baixos
—> Per exemple microorganismes nadant en aigua Re~10^-5, o la lava o el mant terrestre que es mouen a una velocitats molt baixes, o una viscositat molt alta com ara la mel o el quitrà.
És a dir que estarem en aquests casos si és petita, si la és petita o si la és gran.
Equació de Stokes resultant
que s’anomena “creeping flow” o “stokes flow”.
Si s’arriba a
On
Si a més és incompressible —>
Prenent el rotacional tenim doncs que
“Propietats de l’equació de Stokes”
- Al ser lineal —> Si és lineal i trobes una solució —> és la solució única
- Té la mateixa solució en un sentit que en un altre —> És reversible!! —> Si gires glicerina amb colorant, es formen uns dibuixets turbulents, però si tornes a girar en sentit invers recuperes la forma original (?) lol.
—> Per això no podries nadar.
“Nosaltres nadem a Reynolds alts, nedem per inèrcia”. “Els microorganismes no poden nadar fent brasa, han de trencar la simetria del fluid sinó no es mourien anirien endavant i enrere”.
—> Sobre el tema “Life at low Reynolds numbers” - E.M. Parcell
Llei de Stokes
La derivació és bastant complicada (campus virtual).
Ja estaríem de tots els temes!!! :))