Fonaments de l’estàtica de fluids
Fluid: Substància que es deforma contínuament sota esforços constants
En repos no soporta esforços constants
Pressió hidroestàtica = fluids en repos
Principi de Pascal
“La pressió en un fluid en repòs és la mateixa en totes les direccions”
Prova del principi de Pascal
[DIBUIXET TETRAEDRE]
en una cara pressió i a les altres 3:
Quina és la força en la cara que apunta cap endalt del tetraedre?
que en el límit de tetraedre petit dona
que és el principi de Pascal.
Equilibri hidroestàtica global
En equilibri:
és a dir que
El tensor d’esforços de la hidroestàtica és
I la força volúmica en principi sol és la gravetat amb
Aleshores l’equació d’equilibri hidroestàtic queda:
A partir del teorema de la divergència obtenim que la condició és
que si com a força volúmica només hi ha la gravetat
En components
Que era la equació diferencial de la hidroestàtica, que per densitat uniforme quedava:
Paradoxa hidroestàtica
[Dibuixet dels 4 recipients amb volums i seccions diferents però amb la mateixa altura d’aigua]
Principi d'Arquimedes
Al canviar el volum d’aigua per un volum d’un objecte amb diferent densitat, la condició d’equilibri queda
En esfèriques
Trajectòria
Línies de corrent (funció que les descriu)
[DIBUIXETS per t=0 i t=1]
Cinemàtica
Línia de corrent = stream line
Matemàticament conjunt de punts tals que dM es tangent a cada punt al vector velocitat
En cartesianes
En cilíndriques
Que és l’equació d’una línia de corrent.
Trajectòria i són iguals si
Trajectòries
Que és l’equació de la trajectòria
Matemàticament les equacions de trajectòria i de línia de corrent no són les mateixes —>“No és un flux estacionari”
Descripció de Euler i de Lagrange
Descripció Lagrangiana
Trajectòries
i
El vas seguint des d’una posició de SRI que va amb el propi objecte (i per tant només el veus canviar).
A google maps seria un cop li has donat a Inicia
ja que R no depèn del temps.
Descripció Euleriana
Línies de corrent
i
SRI fixe com una càmera que observa tot (graella fixe i la partícula va passant per les diferents caselles)
Al google maps seria el mode de visualització normal.
Connexió amb la lagrangiana:
Acceleració
Concepte de “Derivada total”, “derivada material” o “derivada convectiva”.
Exemples
Tensor ritme de deformació
Caracterització de les deformacions en fluids.
[DIBUIXET seccio rectangular de fluid]
El ritme de deformació no ve donada per la velocitat sinó pel TENSOR gradient de la velocitat
Anàlogament
i per tant
Això era per les components perpendiculars al cubet de fluid. Per les components que no estan a la diagonal de la matriu (tensor ritme de deformacions), que són les de ritme de deformació de cisalla (o tallants).
[DIBUIXET que seria com un trapezi de fluid, on és l’angle que s’ha deformat]
“Hem aplicat l’aproximació per deformacions petites, així que realment tot el que estem fent és simplement per deformacions petites, si féssim deformacions brusques, això no ho estem estudiant a medis continus, hauria de ser a física de l’estat sòlid o jks, però no a medis.”
I ara volem saber com varia l’angle en el temps
Descomposició del tensor gradient
el primer és el ritme de canvi de volum relatiu, el dos seguents és el ritme de deformacio a volum constant i l’ultim és el ritme de rotació. Es cancelen el 1r i el 3r termes.
e —> simètrica
a —> antisimètrica
Ritme de deformació angular
Velocitat angular local de rotació
Vorticitat
Velocitat angular de rotació
Tipus de fluxes
- Flux incompressible —>
- Flux compressible —>
- Flux irrotacional —>
- Flux rotacional —>
- Flux estacionari —> és a dir
Funció corrent
Si
Només està definida per fluxos incompressibles. És una funció escalar que permet descriure un flux 2D o un 3D amb simetria axial.
2D
Necessitem dues funcions vx i vy —> però tenim cond. incompressibilitat ho podem fer de manera que amb una funcio \psi ja estigui —> les seves derivades parcials creuades donen zero.
\psi=ctt defineix les línies de corrent
Demo: un altre dia.
2D en polars
3D
Cilíndriques i esfèriques
Potencial velocitat
Només fluxos irrotacionals
si
se l’anomena potencial velocitat
Les línies de són perpendiculars a les línies de corrent
En cartesianes
Exemple
No cal no?
Equacions de balanç
Volum de control: regió d’interès delimitada per una superfície de control
Exemple: Vull estudiar el vent al meu teulat —> la superfície del teulat és fixe. Hi ha un volum de control al voltant.
[3 DIBUIXETS} Fix, Mòbil i deformable
Flux de volum
dQ és petit però no diferencial
Aleshores
Cas arbitrari
Flux d’una magnitud arbitrària B
Flux de B =
Resum
Eq balanç
Eq continuitat
<v1>A1=<v2>A2
Eq balanç global moment lineal
1r terme —> flux de moment lineal. 2n terme —> forces superficials. 3r terme —> forces volúmiques
Flux estacionari i incompressible
Aviam això és en el cas més general
on és l’esforç viscós.
Exemple
Força exercida per un flux ideal, estacionari i incompressible sobre un tub de secció variable
—> Arribant a calcular el flux (amb integrals) a dues seccions —> arribes a l’eq. de Bernoulli
Balanç local del moment
En global donava l’eq de continuitat (crec). En local és
que és la 2a llei de Newton per unitat de volum (l’hem derivat).