Pas 1) Un repàs sobre les estructures que ens trobàvem a 1r quan volíem construir els reals axiomàticament.
Conjunt
Qualsevol agrupació d’elements
Exemples: 🌶️👾
Grup
Conjunt amb operació
Ha de complir: propietat associativa, element neutre i element invers
Requisit implícit fonamental: Ha de ser tancat, és a dir l’operació entre dos elements del conjunt ha de donar un element que també pertany al conjunt.
Grup Abelià
Grup que a més compleix la propietat commutativa
Exemple: , nombres enters amb la suma.
Anell
Grup abelià amb una operació extra
Ha de complir: propietat associativa i element neutre amb la nova operació i propietat distributiva al combinar les dues operacions.
Nota: No cal que compleixi la propietat commutativa ni que tingui element invers.
Exemple: , nombres enters amb la suma i la multiplicació.
Anell de divisió (o cos no commutatiu)
Anell en què cada element té el seu element invers (per la segona operació) excepte el zero (l’element neutre de la primera operació).
Exemple: , nombres racionals amb la suma i la multiplicació.
Cos
Anell de divisió en què la segona operació (multiplicació) compleix la propietat commutativa
Exemple: , nombres complexes
Cos ordenat
Cos en què és possible ordenar els seus elements (pots comparar ) de manera compatible amb les seves operacions.
Exemple: , nombres reals
Pas 2) Entendre quina posició ocupa un espai vectorial dins de les diferents estructures algebraiques
Concepte d’estructura - Exemple
Quan a un conjunt podem aconseguir definir-hi unes operacions internes tals que es compleixin les propietats d’un grup (o anell o cos) passarem a dir que aquell conjunt té estructura de grup (o d’anell o de cos).
Per exemple podem dir
“Els nombres reals tenen estructura de cos”
“Els nombres enters tenen estructura d’anell”
Hi ha una jerarquia clara
Veiem ràpidament amb les seves definicions que tots els cossos són anells i tots els anells són grups. Però quan ens preguntem quina estructura tenen els nombres reals diem estructura de cos per ser la més restrictiva, és a dir la que millor ens descriu les seves característiques.
Cas General - Tipus d’estructures principals
Suposem que nosaltres tenim un conjunt que anomenarem conjunt principal. I el nostre objectiu és pensar quines operacions binàries (entre dos elements de conjunts) podem fer per tal que el resultat de l’operació sigui un element que pertany al nostre conjunt.
Doncs principalment hi han dos tipus d’operacions
- Operació interna (s’efectua entre dos elements del conjunt principal)
- Operació externa (s’efectua entre un element del conjunt principal i un element d’un conjunt extern)
Si només tenim 1 operació interna
En funció de les restriccions: (magma, semigrup, monoide, grup, bucle, quasigrup…)
Aviam? (no és important)
En funció de les restriccions que imposem resulten diferents estructures
- Sense restriccions (només ha de ser tancat) —> Magma
- Associativa —> Semigrup
- Associativa + Element neutre —> Monoide
- Associativa + Element neutre + Element invers —> Grup
- Element neutre + Element invers —> Bucle
- Element invers —> Quasigrup
Si per exemple un Semigrup complís també la propietat commutativa diríem “Semigrup commutatiu” o “Semigrup abelià”, i el mateix per totes les estructures.
Si tenim 2 operacions internes
En funció de les restriccions i el tipus d’operació: (semianell, pseudoanell, anell, cos, domini íntegre, àlgebra de boole, reticle…)
Aviam? (de veritat que no és important)
- +] Associativa + Commutativa; · ] Associativa —> Semianell
- +] Grup Abelià; · ] Associativa —> Pseudoanell
- +] Grup Abelià; · ] Associativa + Element neutre + Distributiva —> Anell
- +] Grup Abelià; · ] Anell + Commutativa —> Cos
En hi ha vàries més que són més abstractes. Més informació a Estructures Algebraiques
Si tenim 1 operació interna i 1 operació externa
Ens trobem 3 tipus d’estructures algebraiques principals
- Mòdul
- Espai vectorial
- Àlgebra sobre un cos
Just el que ens interessa. Anem a prestar especial atenció a aquestes estructures.
Mòdul, espai vectorial i àlgebra sobre un cos
Semblances - operació interna
Tan un mòdul, com un espai vectorial com una àlgebra sobre un cos són conjunts que amb la seva operació interna (suma) prenen l’estructura de grup abelià.
Diferències - operació externa
Però a més, la segona operació (multiplicació) enlloc d’estar definida dins del conjunt està definida sobre un conjunt extern.
- Mòdul —> (multiplicació) sobre un anell
- Espai vectorial —> (multiplicació) sobre un cos
Ja que un cos és un tipus d’anell tenim que un espai vectorial és un tipus de mòdul.
- Àlgebra sobre un cos —> És un tipus d’espai vectorial en què es defineix a més a més una multiplicació entre vectors (ho veurem més endavant).
Conclusió estructura d’espai vectorial
Aleshores un espai vectorial és un conjunt d’elements (que anomenarem vectors) que té una estructura concreta.
Aquesta estructura ha de complir tenir internament estructura de grup abelià per la suma, i ha de complir que si es pren un conjunt extern que té estructura de cos, aleshores la multiplicació entre vectors i escalars (elements d’un cos) dona un vector.
Pas 3) Diferents tipus d’espais vectorials
Espai vectorial - Definició
Un espai vectorial és un grup abelià sobre un cos.
Idea principal
sent un cos qualsevol i l’espai vectorial:
Això implica que dos vectors sumats sempre donaran lloc a un vector. I un escalar multiplicat per un vector, també donarà lloc a un vector.
Definició exacta
Definició equivalent
Si ens fixem quan diem que un espai vectorial és un grup abelià sobre un cos ja estem implícitament dient que compleix els 5 axiomes principals i només ens falta la propietat distributiva entre les dues operacions.
Al imposar les propietats distributives (juntament amb la propietat associativa de la suma i la multiplicació per escalars) automàticament tenim que l’espai vectorial és un espai lineal.
Tots els espais lineals són espais vectorials i viceversa
Coses importants a notar
- En cap moment hem definit un producte entre vectors.
- L’espai no té mètrica
- No existeix un producte escalar (ni vectorial ni tensorial ni exterior) entre dos vectors
- No podem definir angles entre vectors i per tant els vectors no estan ordenats
- La idea d’un vector com una fletxa que té magnitud i direcció passa a ser incorrecta
Això implica que en el cas més general un espai vectorial…
- L’única característica definitòria d’un espai vectorial general és el cos sobre el que actua
Hi ha molts tipus d’espais vectorials
Exemples (de cossos sobre els que podem definir un espai vectorial)
- ,
Veiem doncs que fins i tot els polinomis o les funcions de quadrat sumable o les matrius podem formar un espai vectorial.
Quin és el procés en què partint de la definició general anem a aquests casos concrets? Anem a enfocar-nos en el 1r, un espai vectorial sobre els reals o sobre els complexes.
La lògica ens indica que si per un espai vectorial general no podem pensar els vectors com a fletxes és que hi ha un tipus d’espai vectorial en què sí podem.
Aquest tipus d’espai vectorial és diu espai vectorial euclidià, o dit d’altre manera, els vectors que podem pensar com a fletxes s’anomenen vectors euclidians (o vectors geomètrics).
Abans d’endinsar-nos en la seva definició haurem de fer un breu incís sobre la idea d’espai euclidià, d’origen de coordenades, d’espai afí o de producte bilineal.