Link Drive
‣
Enunciats
2024
2023
Solucions
2024 - Maria García (la millor)
2024- Altres entregues escanejades
Solucions Entrega 1
Solucions Entrega 2
Solucions Entrega 3
Solucions Col·laboratives
2024: Entrega 1 - Relativitat Espacial
Exercici 1 - Trs. Galileu formen un Grup
Enunciat
Recordatori
Transformacions de Galileu
- Un Boost (en aquest cas de Galileu) és quan passem d’un SRI a un altre en moviment respecte el primer.
Imatge
- Un translació temporal és quan dins del mateix SRI passa el temps
- Una translació espacial és quan observem des d’un altre punt de l’espai (quiet respecte el SRI)
Imatge
- Una rotació d’eixos espai és quan, amb el SRI fixe en un punt de l’espai (i del temps), rotem els eixos.
Imatge
Matrius ortogonals i grups O(3) i SO(3)
Una matriu ortogonal és aquella que compleix . Una matriu ortogonal sempre és quadrada. La dimensió d’una matriu quadrada és el seu nombre de files o de columnes.
El conjunt de matrius de dimensió que són ortogonals li diem . Es pot demostrar per propietats dels determinants que les matrius ortogonals compleixen .
Si el determinant és -1 diem que la matriu representa una rotació impròpia (hi ha hagut una reflexió). Quan en determinant és +1, representa una rotació pura, es tracta d’un cas especial de matriu ortogonal i ho denotem dient que pertany a “Special Orthogonal matrix”.
Per més informació: .
Rotacions en 3 dimensions
Podem descriure una rotació amb una matriu ortogonal . Hi ha diverses maneres d’expressar una rotació, la manera més típica és amb els angles d’Euler .
Una rotació al llarg d’un eix arbitrari sempre es pot pensar com una composició de 3 rotacions al llarg de 3 eixos ortogonals (per exemple ). D’aquesta manera expressem la matriu com una composició de 3 rotacions, una respecte l’eix , una respecte l’eix i una respecte l’eix .
Expressions de les 3 matrius de rotació
Crec que no estan bé. De fet crec que conceptualment està malament ja que a la que gires sobre sobre un eix, et canvien els altres.
Per més informació:
Grup de transformacions
Un grup és un conjunt amb una operació binària (suma o composició pel que ens interessa) que és tancat, té un element neutre, un element invers i compleix la propietat associativa.
Pel que respecta al nostre exercici, tenim dos coses diferents: el conjunt de matrius amb l’operació suma, i el conjunt de transformacions lineals (associades a aquestes matrius) amb l’operació composició, és aquest últim el que ens interessa.
Nota breu
El conjunt de matrius quadrades (per exemple ortogonals) sempre compleixen la definició de grup amb l’operació suma, però no és aquest grup el que ens interessa.
El conjunt de transformacions lineals que representen aquestes matrius quadrades poden o no complir la definició de grup. La compliran quan les matrius siguin invertibles (per exemple matrius ortogonals).
Aleshores, quan diem “el grup ”, ens referim doncs a l’estructura de les transformacions associades a les matrius i no a les matrius en si mateixes.
Totes les matrius ortogonals () tenen inversa, i per tant les transformacions lineals que representen formen un grup.
A més, podem estendre el nostre grup de transformacions lineals amb transformacions extres (com ara una transformació afí, que canviï l’origen de coordenades), que si aquestes tenen una inversa i la transformació resultant d’una composició forma part del grup, estarem igualment davant d’un grup.
Definició formal
Un conjunt de transformacions (tinguin expressió matricial associada o no) compleixen la definició de grup si… per , , sent transformacions qualsevols dins d’un conjunt , es compleix:
- (tancat per la composició)
- (propietat associativa)
- (element neutre o transformació identitat)
- (element invers)
I ja estaria, no hi ha més condicions. Això sí, s’ha de complir .
Apartat (i)
Una transformació uniparamètrica és aquella que només depèn d’un paràmetre (, , …). Dit d’altra manera és aquella que només modifica una variable .
Recompte de transformacions uniparamètriques
Tenim 3 boosts de Galileu
Tenim 3 translacions espacials i 1 translació temporal
Tenim 3 rotacions espacials (el grup SO(3) és un subgrup del grup de Galileu).
Així doncs tenim un total de 3+3+1+3=10 rotacions uniparamètriques.
Al grup d’aquestes transformacions se l’anomena grup de Galileu, .
Nota: Totes les transformacions de Galileu són lineals (condició necessària ja que volem que els vectors posició possibles formin un espai vectorial).
Apartat (ii)
Anem a demostrar que aquestes 10 transformacions uniparamètriques formen un grup.
Per una banda podem demostrar que cada una de les transformacions uniparamètriques per separat formen un grup. I podem també provar composicions entre diferents transformacions uniparamètriques i veure que segueixen pertanyent al grup de Galileu.
“Per simplificar les coses suposa que el boost sigui en la direcció X i que en el cas de les rotacions fas una rotació simple d’angle φ al voltant de l’eix Z. No cal tractar rotacions generals d’Euler en l’espai.”
Translacions
Les funcions de la forma formaran un grup ja que , i és un cos (un tipus de grup).
El mateix amb els les translacions espacials en els eixos i , i amb la translació temporal .
Combinacions d’aquestes, també formaran un grup, ja que és simplement una composició de les 3 translacions espacials uniparamètriques.
Boosts
De la mateixa manera, ja que , els boosts en l’eix també formaran un grup. I el mateix amb els altres eixos.
Per la mateixa raó, combinacions de boosts en diferents eixos també formaran un grup, al ser composicions simples dels 3 boosts uniparamètrics.
Rotacions
De la mateixa manera, rotacions simples respecte el mateix eix, sempre formaran un grup (no estem canviant d’eix de rotació).
El que costaria de demostrar seria que la composició de rotacions forma un grup, però això com hem vist és degut a que les matrius són invertibles. Aleshores tampoc té molta dificultat.
Nota
Sincerament no entenc la gràcia d’aquest exercici.
Exercici 2 - Grup Afí
Enunciat
Solució
Vale hem de demostrar les 3 propietats (tancat per la composició, element invers i element neutre).
Propietat 1
Tenim que
La composició serà
On hem pres que
Si fem la notació i veiem que es compleix la propietat que havíem de demostrar
Propietat 2 i 3
És que és literalment la propietat però aplicada a una velocitat, no té més.
Exercici 3 - Grup de Lorentz ⭐
Enunciat
Context
Boost en l’eix
Imaginem dos sistemes de referència i movent-se al llarg de l’eix amb una velocitat relativa . Definim . Això equival a un boost de Lorentz.
Les transformacions de Lorentz per aquest boost són
Nota: Recordem que es correspon a una rotació hiperbòlica de l’espai temps, després ho veurem.
La matriu , corresponent a un boost de Lorentz en l’eix serà
Cas general boost de Lorentz
Rotacions hipeprbòliques
Vídeo xulo
Apartat (i)
Mandra.
Apartat (ii)
Mandra.
Apartat (iii)
També mandra.
Apartat (iv)
Un dia que tingui més temps, l’intento entendre.
Apartat (v)
Fàcil. Ràpid de veure diria jo (ja que la matriu és simètrica per definició), l’altra també ho serà? O no va per aquí?
Apartat (vi)
Important. Pinta prou important i interessant. Un dia més endavant assegurar-se d’haver-ho entès.
Exercici 4 - Boost de Lorentz eix
Exercici 5 - Rotacions i geometria hiperbòlica ⭐
Exercici 7 - Velocitats en les transformacions de Lorentz
Exercici 8 - Sistemes de referència i . Temps propi
Exercici 9 - Components covariants d’un quadrivector ⭐
Enunciat
Apartat (i)
Mira, aquest potser el faig i tot.
Apartat (ii)
Simplement fer el càlcul, però quina mandra.
Apartat (iii)
Ojut. La matriu de Lorentz és la Jacobiana d’un boost de Lorentz ens diu? No sé si ho he entès. Més endavant mirar-s’ho bé i fer-lo aquest apartat. O si més no intentar entendre’l.
Exercici 11 - Simultaneitat ⭐
Exercici 14 - El problema de les bessones
Exercici 15 - Quadrivelocitat
Exercici 16 - Quadriacceleració
Exercici 18 - Aberració de la llum ⭐
Exercici 19 - Efecte Doppler i aberració de la llum
Exercici 22 - Producte escalar de quadrivectors invariant
Exercici 23 - Tensors en un altre sistema de referència ⭐
Enunciat
Solució
Ens fan passar al sistema i saber quina és la representació matricial del tensor . Ples 3 casos (contravariant, covariant i mixt).
Nota: Els dos tensors mixtos són equivalents (i per tant el producte escalar es pot expressar de les dues maneres?) únicament perquè el tensor és simètric.
